王偉珠

（遼寧對外經(jīng)貿(mào)學院基礎(chǔ)課教研部，遼寧大連 116052）

城市交通的熱傳導分布模型研究*

王偉珠

（遼寧對外經(jīng)貿(mào)學院基礎(chǔ)課教研部，遼寧大連 116052）

運用熱傳導理論來建立城市交通分布模型，并通過平面熱傳導方程來對建立城市交通分布模型的可行性進行了研究，給出了熱傳導分布模型及初始條件和求解方法.

交通規(guī)劃；交通預(yù)測；交通分布模型；熱傳導分布模型

交通分布預(yù)測是交通需求預(yù)測的關(guān)鍵.對于交通分布模型已經(jīng)開發(fā)出好多種，如重力模型、熵模型、平衡模型、Logit模型等，并且應(yīng)用在實際的規(guī)劃中也都取得了不錯的效果，但都存在一定的局限性.因此進一步完善交通分布的模型，建立更準確的交通分布預(yù)測理論很有必要.

1 交通分布模型的重要性

預(yù)測分布矩陣的方法還在不斷發(fā)展.交通分布的預(yù)測在交通規(guī)劃中占有中心的位置，掌握了一個城市未來交通的分布矩陣，進行交通規(guī)劃就十分主動了，反之，不能正確估計未來交通的OD矩陣，規(guī)劃就失去了指南，就會產(chǎn)生重大失誤.可見深入比較、分析、研究各種分布模型，不斷積累資料，經(jīng)常修正OD矩陣，在交通規(guī)劃中是十分重要的.

交通分布的研究中預(yù)測未來OD矩陣比預(yù)測交通生成的數(shù)據(jù)多得多，目前最為廣泛應(yīng)用的分布模型有三種，總結(jié)如下：

第一種是平均增長系數(shù)法.它在預(yù)測未來OD矩陣前，需要事先估計出各小區(qū)的交通生成量和交通吸引量.

第二種常用的模型是重力模型.交通分布預(yù)測重力模型（Gravity Model）是：

重力模型與萬有引力定律十分相似，只是增加了幾個待定常數(shù).為了標定這些參數(shù)，要利用現(xiàn)狀OD表的tij，現(xiàn)狀交通的生成和吸引因素Mi和Mj，距離OD矩陣dij.在準備好這些數(shù)據(jù)后，再對重力模型取對數(shù)將其線性化，然后就可以利用多元線性回歸求出k，α，β，γ四個參數(shù).

第三種模型是熵模型（Entropy Model），它的公式是：

這里pij是未來OD矩陣的出行概率，pi*，p*j是未來小區(qū)交通的生成和吸引概率，它要在總交通量估計的基礎(chǔ)上，事先計算出來.熵模型需要的條件與平均增長系數(shù)法相同，在分布預(yù)測中也常使用并有許多發(fā)展.

2 熱傳導方程

城市的發(fā)展是人口增加和土地的不斷開發(fā)利用的結(jié)果，它往往是由一個中心開始向四周擴展，經(jīng)過長期演化形成單中心或多中心城市，這和物理中的熱傳導現(xiàn)象很類似.熱量總是由溫度高的地方向溫度低的地方擴散，熱傳導的結(jié)果，使溫差減小，從而使熵增大.某個點的溫度，對周圍的區(qū)域影響較大，對距離遠的地方則影響較小.這些與重力模型和熵模型有相似之處.因此，我們嘗試來探討和建立熱傳導分布模型.

先分析一下平面熱傳導方程的建立過程，函數(shù)u（x，y，t）表示物體G在位置（x，y）處及時刻t的溫度，如果t固定，則u（x，y，t）是僅與（x，y）有關(guān)的溫度數(shù)量場.

n＝（cosα，cosβ）T，其中α，β分別是n與x，y軸的方向夾角，ds在x，y軸上的投影分別為cosβds＝－dx，cosαds＝dy．如圖1所示.小.在時刻（t1，t2）內(nèi)，對傳導流過閉曲線Γ的熱量積分，得到區(qū)域Ω內(nèi)熱量變化為，

圖1 法向量夾角

其中f（x，y，t）＝F（x，y，t）／cρ，（3）式稱為齊次熱傳導方程，（4）式稱為非齊次熱傳導方程.

熱傳導方程的初始條件為u（x，y，0）＝φ（x，y）；

最常用的邊界條件為u（x，y，t）（x，y，t）∈Γ＝φ（x，y）．

3 城市發(fā)展的熱傳導分布模型

如果我們將人口的分布作為函數(shù)u（x，y，t），選取適當?shù)膫鲗禂?shù)a，初始條件為現(xiàn)狀人口分布，邊界條件為城市未來邊界土地上的人口，熱源項f（x，y，t）在舊城區(qū)取人口機械增長平均值，新城區(qū)取未來人口規(guī)劃增長平均值.那么求解這個非齊次熱傳導方程就可以得到城市未來人口分布.人口密度與熱傳導現(xiàn)象如圖2所示，

從圖2可以看到，原來人口集中度很高的城市，隨著城市發(fā)展，人口密度向周圍擴展，這與熱傳導現(xiàn)象是一致的.

圖2 人口密度與熱傳導現(xiàn)象

得到未來人口分布后，計算未來小區(qū)之間的交通OD分布量，可以采取兩種方法：

（1）以現(xiàn)狀交通OD分布為基礎(chǔ)，令第i個小區(qū)的交通生成量為Fi，其余小區(qū)交通生成量為零，這作為初始條件，邊界條件都為零.

解齊次熱傳導方程的Cauchy問題，得到第i個小區(qū)對第j個小區(qū)的熱傳導影響u（x，y，t）．如果將傳導看成各方向均勻的，這時，各小區(qū)得到的交通量將只取決于與第i個小區(qū)的距離.但是，現(xiàn)狀各小區(qū)的交通量是不同的，這種差異，正好可以用熱傳導系數(shù)a來包容.我們可以采用變系數(shù)，令a＝a（x，y），根據(jù)各小區(qū)獲得的u（x，y，t）與實際交通量的比值，確定a（x，y）．該系數(shù)將用于計算未來兩個小區(qū)的傳導交通量.

方程的求解可以利用數(shù)值解法，同時也有許多軟件，例如，MATLAB的偏微分方程求解模塊PDETool.

這種方法，可歸結(jié)為偏微分方程反問題.偏微分方程正問題，是在一定的初值與邊界條件下求解非線性的偏微分方程，而反問題則是將動力模式和不同時刻觀察資料作為一個整體同時考慮，充分利用兩方面作用，以確定未知東西.我們利用現(xiàn)狀OD矩陣確定熱傳導系數(shù)，就是一種反問題.同樣地，我們還可以根據(jù)現(xiàn)狀OD矩陣，對方程本身進行改進，提出若干新的傳導擴散模式，這可更多地利用 OD矩陣的信息［1－4］.

反問題的解往往是不適定的，也就是解往往不唯一，我們要在恰當?shù)募s束下，求解它的最優(yōu)解、近似解，這方面數(shù)學提供了豐富的文獻和工具.

（2）直接利用現(xiàn)狀交通OD分布矩陣，建立多維熱傳導方程如下：

這里，（x，y）為出行起點坐標，（w，z）為出行終點坐標，u（x，y，w，z，t）為t時刻由（x，y）出發(fā)到（w，z）的交通量.

初始條件，u（x，y，w，z，0）＝T0，T0為現(xiàn)狀OD矩陣.因為不考慮對外交通，只考慮城市內(nèi)部交通，因此，當（x，y）和（w，z）在邊界上時，u（x，y，w，z，t）＝0，所以可以看成邊界條件為零.

對于熱源項f（x，y，w，z，t），原OD矩陣的交通量tij在未來發(fā)展中總是要增長的，因此，可以近似看成線性的，例如f（x，y，w，z，t）＝ct＋d，對于老城區(qū)，d＝0，而新規(guī)劃區(qū)，是在一個新的基礎(chǔ)上增長，則d＞0．

該方法，同樣要確定傳導系數(shù)a，熱源函數(shù)f（x，y，w，z，t）＝ct＋d中的參數(shù).這可以先利用二元插值，加密OD矩陣，然后利用與前面相同的方式計算.該方法的表達比第一種方法更明確、簡單，但是計算將比較復(fù)雜.

4 熱傳導分布模型與已有模型的比較

上面我們從理論上討論了建立城市交通熱傳導分布模型的可行性，該模型用到了較多的數(shù)學知識，也不如三種經(jīng)典模型簡單，但是它有顯著的優(yōu)點：

（1）它描述了交通分布發(fā)展變化的過程，是動態(tài)模型，而前三種都是靜態(tài)的.

（2）它既有初始條件，又有邊界條件，還有可隨位置和時間變化的傳導系數(shù)、熱源函數(shù)，同時方程本身，無論從變量個數(shù)，還是方程本身形式，都可以有多種選擇.這種豐富的數(shù)學內(nèi)涵，可以更好地描述交通分布的不同特征.

（3）由于它是動態(tài)模型，不僅可以得到規(guī)劃年限的交通OD分布，而且可以得到各個不同年份的交通OD分布，這不僅對各階段的規(guī)劃有指導意義，更可以作為交通管理和設(shè)施建設(shè)的依據(jù).對它的深入研究，對交通控制也具有現(xiàn)實意義.

5 小結(jié)

本章引入熱傳導理論推導出齊次熱傳導方程和非齊次熱傳導方程，指出了該方程的初始條件和求解方法，并最終利用現(xiàn)狀交通OD分布矩陣建立多維熱傳導方程；最后對該模型與前述三種模型進行分析比較，總結(jié)了新的理論基礎(chǔ).交通規(guī)劃是城市規(guī)劃領(lǐng)域中最具科學性的部分，但是數(shù)學工具的使用還不夠.結(jié)合分布模型研究，我們應(yīng)該在理論探討的同時，結(jié)合具體城市情況開展數(shù)值實驗，更好地解決實際生活中的問題.

［1］毛保華，增會欣，袁振洲，等.交通規(guī)劃模型及其應(yīng)用［M］.北京：中國鐵道出版社，1999.

［2］谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數(shù)學物理方程［M］.北京：人民出版社，1979.

［3］郭寶琦.拋物型偏微分方程的反問題［M］.哈爾濱：黑龍江科學技術(shù)出版社，1988.

［4］陸君安，尚濤，謝進，等.偏微分方程的Matlab解法［M］.武漢：武漢大學出版社，2001.

（責任編校：晴川）

Study on the Distribution M odel for Heat Conduction

WANGWeizhu
（Liaoning University of International Business and Economics，Dalian Liaoning 116052，China）

This paper establishes the urban traffic distribution model by using heat－conduction theories，studies the feasibility of urban traffic distribution models through the heat conduction equation，and provides the heat transfer distributionmodel aswell as the initial conditions and its solutions.

transportation planning；traffic forecast；traffic distribution model；distribution model for heat conduction

U121；O172

A

1008－4681（2014）05－0017－03

2014－07－07

王偉珠（1976－），女，黑龍江哈爾濱人，遼寧對外經(jīng)貿(mào)學院基礎(chǔ)課教研部副教授，碩士.研究方向：應(yīng)用數(shù)學.