孫建英，王顯昌，陳建云

（1.青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東青島 266106；2.大連海洋大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116023；3.德樂生軟件有限公司，北京 100020）

馬爾科夫鏈推廣模型在股指預(yù)測中的應(yīng)用*

孫建英1，王顯昌2，陳建云3

（1.青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東青島 266106；2.大連海洋大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116023；3.德樂生軟件有限公司，北京 100020）

將狀態(tài)集空間法引入到馬爾科夫鏈預(yù)測模型中，并且分析了狀態(tài)集空間對預(yù)測結(jié)果的影響.同時(shí)將這種新型的馬爾科夫推廣模型，應(yīng)用于股指數(shù)據(jù)的預(yù)測問題.發(fā)現(xiàn)這種方法不僅符合馬氏檢驗(yàn)的條件，而且預(yù)測的準(zhǔn)確率也有所提高.

馬爾科夫鏈；滬深300；狀態(tài)集空間法；馬氏檢驗(yàn)

馬爾科夫鏈模型，得名于俄羅斯的數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫，是一種非常重要的隨機(jī)決策模型.它的最顯著的特性是：預(yù)測時(shí)刻的狀態(tài)只與隨機(jī)變量當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān)，而與歷史狀態(tài)無關(guān)，這種“無后效性”的特點(diǎn)使得該模型廣泛地應(yīng)用在投資決策、橋梁技術(shù)、植被變化、股票價(jià)格、匯率預(yù)測［1－4］等方面，并取得了很多令人滿意的成果.

本文引入了狀態(tài)集，提出了狀態(tài)集空間法，通過將t個(gè)狀態(tài)作為一個(gè)狀態(tài)，來預(yù)測下一個(gè)大盤交易日狀態(tài)的方法，結(jié)果是準(zhǔn)確率隨t的增加大幅上升，這種馬爾科夫鏈推廣算法，應(yīng)用到滬深300樣本股2010.1.30－2012.4.5的數(shù)據(jù)，預(yù)測2012.1.31－2012.4.5的股指變化情況，發(fā)現(xiàn)這種新方法不僅符合馬氏檢驗(yàn)的條件，而且預(yù)測的準(zhǔn)確率也有所提高.

1 馬爾科夫鏈模型

1.1 馬爾科夫鏈的定義

定義1：對離散空間I中的隨機(jī)序列｛Xn，n＝0，1，2，…，｝若在任意時(shí)刻n，以及任意的狀態(tài)i0，i1，…，in－1，i，j滿足：

則隨機(jī)序列｛Xn，n＝0，1，2，…｝即為馬爾科夫鏈，簡記｛Xn，n≥0｝．馬爾科夫鏈?zhǔn)亲詈唵蔚囊活愸R爾科夫過程.

1.2 一步轉(zhuǎn)移概率

定義2：設(shè)｛Xn，n≥0｝為一馬氏鏈，條件概率

稱為在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率.

由于從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移以后，必須到達(dá)狀態(tài)空間I的一個(gè)狀態(tài)，且只能夠到達(dá)一個(gè)狀態(tài)，故一步轉(zhuǎn)移概率pij（n）應(yīng)滿足下列條件：

若馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移pij（n）與n無關(guān)，則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈，這時(shí)，記pij為元素構(gòu)成的矩陣

稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣.

若狀態(tài)空間I是有限集.則稱｛Xn，n≥0｝為有限馬氏鏈.

1.3 馬爾科夫鏈預(yù)測模型

定理1：設(shè)｛Xn，n≥0｝是一個(gè)齊次馬氏鏈，具有初始概率分布p0（i），i∈I，且其n步轉(zhuǎn)移概率為p（n）ij，i，j∈I，n≥0，則

式中（1）式表明，在n時(shí)刻的絕對概率分布完全被初始概率分布和n步轉(zhuǎn)移概率所確定，式中（2）式就是著名的查普曼－科爾莫格羅夫（Chapman－Kolmogorov）方程，（2）式的矩陣形式即為：

由上式進(jìn)一步得到：P（n）＝（P（1））n，由此可見，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣獲得.

2 馬爾科夫鏈推廣模型及實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)集

數(shù)據(jù)來源：http：／／www2.resset.cn／product／

訓(xùn)練數(shù)據(jù)集：滬深300樣本股2010.1.30－2012.4.5

預(yù)測數(shù)據(jù)集：滬深300樣本股2012.1.30－2012.4.5

2.2 狀態(tài)集空間法

狀態(tài)集空間法是將T作為一個(gè)狀態(tài)，用T這個(gè)狀態(tài)來預(yù)測下一個(gè)大盤交易日的股指期貨的變化情況.T＝1，2，3，…，n.

T＝1表示將一天的數(shù)據(jù)作為初始狀態(tài)矩陣，再和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣相乘來預(yù)測下一交易日的變化情況.T＝2表示，將連續(xù)兩個(gè)大盤交易日的數(shù)據(jù)作為一個(gè)狀態(tài)，來預(yù)測下一交易日的股指期貨的變化情況，依次類推.

通過實(shí)驗(yàn)分析，T越大，預(yù)測準(zhǔn)確率也會越大.我們將狀態(tài)空間分為三個(gè)狀態(tài)，規(guī)定大盤指數(shù)下降超過20點(diǎn)為大跌，記為3；下降點(diǎn)數(shù)在20點(diǎn)到上漲20點(diǎn)之間保持不變，記為2；上漲在20點(diǎn)以上為大漲，記為1.隨T變化此方法預(yù)測的準(zhǔn)確率匯總表見表1（MATLAB6.5）.

表1 狀態(tài)集空間法預(yù)測準(zhǔn)確率統(tǒng)計(jì)表

由上表我們可見狀態(tài)集空間法的馬爾科夫鏈對股指的預(yù)測有很好的效果，在一定范圍內(nèi)，T越大，準(zhǔn)確率越高.

2.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

由狀態(tài)集空間法，我們研究將連續(xù)兩天的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，來預(yù)測下一個(gè)大盤交易日的漲跌情況.

由初始可能出現(xiàn)的狀態(tài)1到下一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移情況，在此狀態(tài)空間有3*3種情況，在將這兩個(gè)已知狀態(tài)作為初始狀態(tài)預(yù)測下一個(gè)交易日的狀態(tài)，共有3*3*3種情況，也就是說狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣S為3*3*3的三維矩陣.利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，我們求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

s（：，：，1）表示有已知兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向狀態(tài)1，即大漲的頻數(shù).

s（：，：，2）表示有已知兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向狀態(tài)2，即保持不變的頻數(shù).

s（：，：，3）表示有已知兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向狀態(tài)3，即大跌的頻數(shù).

將上述三個(gè)矩陣合起來就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.

2.4 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣也是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，在狀態(tài)集空間法下，我們把已知的兩個(gè)狀態(tài)作為初始狀態(tài)，來看轉(zhuǎn)向下一狀態(tài)的概率，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分析，我們可知狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣也為

根據(jù)概率的性質(zhì)，有：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

p（：，：，3）表示有已知兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向狀態(tài)3，即下跌的概率.

我們對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行分析，對 p（：，：，1）、p（：，：，2）和p（：，：，3）進(jìn)行分析，這三個(gè)3*3的矩陣對應(yīng)相同位置表示由已知前兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1、2和3的概率，且其概率和為1.

由此我們可知相同位置上概率最大的就是前兩個(gè)狀態(tài)最可能轉(zhuǎn)移到那個(gè)狀態(tài)，我們?nèi)〕鲞@三個(gè)矩陣中每個(gè)位置概率最大的值重新組成一個(gè)新矩陣fmax．

由fmax矩陣，我們可以得出前兩個(gè)狀態(tài)對應(yīng)最可能轉(zhuǎn)移到那個(gè)狀態(tài)值，狀態(tài)值組成矩陣Q．

從而我們可以通過已知的初始狀態(tài)預(yù)測其下一個(gè)可能轉(zhuǎn)移的狀態(tài).

2.5 數(shù)據(jù)分析

我們以2012／2／21和2012／2／22日的大盤交易狀態(tài)為初始狀態(tài)集對2012／2／23到2012／4／6日的大盤交易的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表2所示.

表2 2012.2.21－2012.4.05期間31個(gè)大盤交易日的預(yù)測狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)對比

通過統(tǒng)計(jì)得出其準(zhǔn)確率為50%，其準(zhǔn)確率相對較高，說明此種改進(jìn)的馬爾科夫鏈方法對股指期貨的預(yù)測效果還是明顯的.

2.6 馬氏檢驗(yàn)

在此我們將馬氏檢驗(yàn)的公式進(jìn)行推廣：

設(shè)nijr（k）表示k期X1，X2，…，Xn從狀態(tài)集（i，j）經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)k的頻數(shù)，并記頻數(shù)矩陣：

在此Pijr表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的第（i，j，r）個(gè)元素，即由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到j(luò)再轉(zhuǎn)移到r的概率.

統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（m－1）（n－1）（h－1）（t－1）的χ2分布.選定置信度α，查表得χ2α（（m－1）（n－1）（h－1）（t－1）），令

3 結(jié)論

通過對改進(jìn)算法進(jìn)行的馬氏檢驗(yàn)和準(zhǔn)確率分析可知，改進(jìn)后的算法有可行性，此種算法可以應(yīng)用到其他經(jīng)濟(jì)決策領(lǐng)域中.但是不可否認(rèn)，馬爾科夫鏈模型只是一種概率預(yù)測模型，只是說明未來的一種趨勢，而不是絕對的狀態(tài).同時(shí)狀態(tài)集的劃分和樣本容量的大小等都會對預(yù)測的準(zhǔn)確性有一定的影響，在應(yīng)用過程中要注意具體問題具體分析，靈活運(yùn)用.

［1］耿波，王君杰，張謝東.橋梁技術(shù)狀況預(yù)測的灰色馬爾科夫鏈模型研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，（1）：107－110.

［2］李暉，白楊，楊樹華，等.基于馬爾科夫模型在怒江流域中段植被動態(tài)變化預(yù)測［J］.生態(tài)學(xué)雜志，2009，（2）：371－1376.

［3］劉宗明，賈志洵，李興莉.基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預(yù)測［J］.華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，（1）：30－34.

［4］陳渝，謝天添，林濤，等.兩種馬爾科夫鏈菜單預(yù)測模型建模［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，（2）：255－260.

（責(zé)任編校：晴川）

App lication of M arkov Chain Expansion M odel in the Predication of Stock M arket

SUN Jianying1，WANG Xianchang2，CHEN Jianyun3
（1.Qindao College，Qingdao Technological University，Qingdao Shandong 266106，China；2.College of Science，Dalian Ocean University，Liaoning Dalian 116023，China；3.CRM－factory，Beijing 100020，China）

A new concept of State of Spacemethod is introduced in Markov chain predication model and its effect on predication result is analyzed in this paper.The new method is applied to the predication of stock market.It is not only in conformity with the Markov test，and the prediction accuracy is also improved.

Markov chain；Hu－Shen 300；state of spacemethod；Markov chain test

F064

A

1008－4681（2014）05－0100－03

2014－08－15

孫建英（1979－），女，山東煙臺人，青島理工大學(xué)琴島學(xué)院講師，碩士.研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).