孔令彬，金前德

(東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江大慶 163318)

三階非線性三點邊值問題的正解

孔令彬，金前德

(東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江大慶 163318)

利用Krasnoselskii不動點定理及Ascoli-Arzela定理，研究含參數(shù)的非線性三階三點邊值問題，證明當(dāng)參數(shù)取值范圍不同時，該邊值問題的正解存在性與不存在性.

非線性三階三點邊值問題；存在性；正解

0 引言

非線性三階三點邊值問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理等領(lǐng)域，已受到人們重視和研究[1-15].Sun Y在文獻[16]研究下述非線性三階三點邊值問題，即

式(3)、(4)較式(1)、(2)更一般些.當(dāng)ρ=0時，式(3)、(4)與式(1)、(2)相類似，可采用文獻[16]的方法考慮正解存在性.筆者考慮ρ＞0情形，通過適當(dāng)變換，再利用Krasnoselskii不動點定理和Ascoli-Arzela定理，討論參數(shù)變化時式(3)、(4)是否存在正解，所采用的方法與文獻[16]不同，獲得新結(jié)果.

假設(shè)：

(H1)對每個固定的u∈[0，+∞)，f(t，u)在t∈[0，1]上非負連續(xù)，對幾乎所有的t∈[0，1]，f(t，u)關(guān)于u≥0單調(diào)非增；

定義 稱函數(shù)u(t)為式(3)、(4)的一個正解，如果它滿足

(ⅰ)u∈C1[0，1]∩C2(0，1)并在(0，1)內(nèi)u(t)＞0；

(ⅱ)u(t)滿足式(3)和式(4).

主要結(jié)論為

定理1 假設(shè)(H1)、(H2)成立，則存在λ*∈(0，+∞).當(dāng)λ∈(0，λ*]時，式(3)、(4)至少存在一個正解；當(dāng)λ∈(λ*，+∞)時，式(3)，(4)不存在正解.

1 式(3)、(4)的等價形式及預(yù)備引理

設(shè)C[0，1]是[0，1]上連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，C+[0，1]={v∈C[0，1]；v(t)≥0}，定義映射J：C+[0，1]→C+[0，1]，則

容易知道，若u(t)滿足式(3)、(4)，令u′(t)+ρu(t)=-v(t)，則v(t)滿足式(6)、(7)，其中Jv(t)由式(5)給出.反之，若v(t)滿足式(6)、(7)，令u(t)=Jv(t)，則u(t)滿足式(3)、(4)，因此邊值問題式(3)、(4)與邊值問題式(6)、(7)等價.

為證明文中主要結(jié)論，給出5個引理.

的解，則v″(t)-ρv′(t)+ρ2v(t)=-h(t)的任何解可表示為v(t)=C1φ1(t)+C2φ2(t)+φ0(t)，其中h∈C+[0，1]，C1，C2是任意常數(shù).

證明 直接驗證即可.

2 定理1的證明

即Φv∈K或Φ(K)?K.另外，易證Φ是全連續(xù)的.

引理7 假設(shè)(H1)、(H2)成立，若λ充分大，則式(6)、(7)無正解.

3 結(jié)束語

研究含參數(shù)的非線性三階邊值問題，給出該問題的Green函數(shù)，進而將該邊值問題轉(zhuǎn)化為等價的積分方程，在適當(dāng)?shù)目臻g上定義映射，通過利用Green函數(shù)的性質(zhì)和錐不動點定理，證明正解的存在性.

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O175.8

A

2095-4107(2014)05-0121-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.04.015

2014-04-09；編輯關(guān)開澄

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12541076)

孔令彬(1956-)男，碩士，教授，主要從事非線性微分方程邊值問題方面的研究.