張素芬, 袁 梅

（樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息工程系,四川樂(lè)山614000）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

近年來(lái),各類變分不等式的理論、算法及其應(yīng)用的研究得到廣泛的關(guān)注［1-14］.2001年,黃南京等［15］引進(jìn)了廣義m-增生算子,在Banach空間中對(duì)廣義m-增生算子給出了預(yù)解算子的定義.接著文獻(xiàn)［16-21］在Banach空間中研究了許多增生算子,諸如 H-增生算子、（H,η）-增生算子和H（·,·）-增生算子,還定義了預(yù)解算子,運(yùn)用預(yù)解算子技巧發(fā)展了一些變分包含解的迭代算法.最近,X.P.Luo等［22］在Banach空間中引進(jìn)了廣義H-η-增生算子的概念,為Banach空間中廣義m-增生算子和廣義H-η-單調(diào)算子提出了統(tǒng)一的框架,對(duì)H-η-增生算子研究了預(yù)解算子的一些性質(zhì),給出了在Banach空間中求解變分包含的一些應(yīng)用.

受上述研究的啟發(fā),本文在Banach空間中引進(jìn)了廣義H（·,·）-η-增生算子的概念,它是H（·,·）-增生算子和H-η-增生算子的推廣；對(duì)廣義H（·,·）-η-增生算子給出預(yù)解算子的定義,證明它的Lipschitz連續(xù)性；作為一個(gè)應(yīng)用,還研究了一類涉及廣義H（·,·）-η-增生算子的變分包含的可解性且運(yùn)用預(yù)解算子的技巧,構(gòu)造了一個(gè)求解變分包含的迭代算法.在適當(dāng)?shù)臈l件下,證明了變分包含解的存在性和迭代序列的收斂性.設(shè)X是實(shí)Banach空間具有對(duì)偶空間X*,模和X與X*之間的對(duì)偶對(duì)分別記為‖·‖和〈·〉,記2X記為X的所有子集簇.正規(guī)對(duì)偶映射J:X→2X定義為

2 廣義H（·,·）-η-增生算子

定義2.1設(shè)X和Y分別是具有對(duì)偶空間X*和Y*的Banach空間,A,B:X→X,H（·,·）:X×X→Y,η:X×X→Y*是單值映射,M:X→2Y是多值映射.稱M關(guān)于A,B是廣義H（·,·）-η-增生的,如果M是廣義m-松弛η-增生的并且

3 應(yīng)用

［1］ Ding X P,Feng H R.Algorithm for solving a new class of generalized nonlinear implicit qusi-variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2009,208（2）:547-555.

［2］ Fang Y P,Huang N J.Iterative algorithm for a system of variational inclusions involving H-accretive operators in Banach spaces［J］.Acta Math Hungar,2005,108（3）:183-195.

［3］熊廷見(jiàn).關(guān)于一般混合變分不等式的g-單調(diào)迭代算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,23（1）:17-23.

［4］丁協(xié)平.解非線性混合似變分不等式的預(yù)測(cè)-校正迭代算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,26（1）:1-5.

［5］何詣然.具有集值映射變分不等式的理論分析［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33（6）:840-848.

［6］毛秀珍,何詣然.擬單調(diào)廣義向量變分不等式［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,30（2）:134-137.

［7］方長(zhǎng)杰,鄭繼明,吳慧蓮.Banach空間中一類廣義集值非線性混合似變分不等式解的存在性與算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,30（1）:40-44.

［8］袁梅,梁濤.一類含廣義m-增生算子的廣義變分包含系統(tǒng)解的存在唯一性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33（1）:339-341.

［9］邱丹,邱濤,何詣然.一類二次投影算法的擾動(dòng)分析［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33（6）:741-744.

［10］萬(wàn)波,江曉濤.求解多值廣義混合隱似平衡問(wèn)題的迭代算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34（2）:197-200.

［11］李濤,夏福全.Hilbert空間中廣義變分不等式的投影算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34（5）:610-614.

［12］袁梅,梁濤,劉愛(ài)華.一類含廣義m-增生算子的廣義變分包含系統(tǒng)解的迭代算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34（1）:51-54.

［13］吳艷秋,夏福全.Hilbert空間中變分不等式組的兩步投影算法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34（5）:615-620.

［14］方長(zhǎng)杰,何詣然.廣義變分不等式的優(yōu)質(zhì)泛函［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34（4）:450-453.

［15］黃南京,方亞平.Banach空間中一類廣義m-增生算子［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,38（4）:591-592.

［16］ Fang Y P,Huang N J.H-monotone operator and resolvent operator technique for variational inclusions ［J］.Appl Math Comput,2003,145（2/3）:795-803.

［17］ Fang Y P,Huang N J.H-accretive operators and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Lett,2004,17（6）:647-653.

［18］ Lan H Y,Cho Y J,Verma R U.Nonlinear relaxed cocoercive variational inclusions involving （A,η） -accretive mappings in Banach spaces［J］.Comput Math Appl,2006,51（9/10）:1529-1538.

［19］Zou Y Z,Huang N J.H（-,-） -accretive operator with an application for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2008,204（2）:809-816.

［20］ Zou Y Z,Huang N J.A new system of variational inclusions involving H（ -,-） -accretive operator in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2009,212（1）:135-144.

［21］ Li X,Huang N J.Graph convergence for the H（ -,-） -accertive operator in Banach spaces with an application［J］.Appl Math Comput,2011,217:9053-9061.

［22］ Luo X P,Huang N J.Generalized H-accretive operators in Banach spaces with application to variational inclusions ［J］.Appl Math Mech,2010,31（4）:501-510.

［23］ Petryshyn W V.A characterization of strictly convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings ［J］.J Funct Anal,1970,6（2）:282-291.

［24］ Xia F Q,Huang N J.Variational inclusions with a general H-monotone operator in Banach spaces［J］.Comput Math Appl,2007:54（1）:24-30.

［25］ Fang Y P,Huang N J.H（-,-）-accretive operator and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Lett,2004,17（6）:647-653.