馬志民, 孫峪懷

（1.成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,四川 樂 山614000； 2.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川 成 都610066）

形如

的Sharma-Tasso-Olver方程［1-2］,首次是由A.S.Sharma和H.Tasso［1］作為Burgers方程族的一個推廣提出的,這里α是任意實(shí)數(shù),u（x,t）是依賴時間變量t和空間變量x的未知函數(shù).該方程作為一個重要的數(shù)理模型,引起了數(shù)理學(xué)家們的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［3-6］探討了Sharma-Tasso-Olver方程的對稱性并構(gòu)造了該方程的一些孤立波解和周期解,其中在文獻(xiàn)［6］中還討論了尋找Sharma-Tasso-Olver方程行波解中常見的幾種問題.近年來,已經(jīng)有許多有效的方法［7-16］應(yīng)用在非線性偏微分方程行波解的構(gòu)造中,如推廣的Riccati方程法［7-8］、廣義的輔助微分方程法［9］、試探函數(shù)法［10］、其次平衡法［11］和定性理論的相平面分析法［12］等.在2008年,M.L.Wang等［13］提出了一種名為（G′/G）-展開法來構(gòu)造非線性偏微分方程的行波解.利用此方法,許多非線性偏微分方程的行波解［14-15］已經(jīng)被獲得.此后,A.R.Shehata［16］對（G′/G）-展開法做了修改,使這一修改方法獲得的行波解結(jié)構(gòu)更為廣義,也更符合物理背景.下面先將介紹這種修改的（G′/G）-展開法構(gòu)造非線性偏微分方程的行波解的具體過程.

1 修改的（G′/G）-展開方法的描述

考慮下面的非線性偏微分方程

其中,ai（i＝0,1,2…）,c是待定量,正整數(shù)m可以通過平衡方程（3）中的最高次耗散項(xiàng)和最高次非線性項(xiàng)來確定,G滿足如下的常微分方程

其中,λ、μ是常數(shù).

將（4）式代入到方程（3）,然后令（G′/G）i（i＝1,2,…,m）的各次冪系數(shù)為零,得到一個關(guān)于ai、c的代數(shù)方程組.借助Maple求解這個代數(shù)方程組,并利用方程（5）的解［15］,獲得方程（2）的行波解.下面具體應(yīng)用此方法來探討Sharma-Tasso-Olver方程.

2 方程（1）的解

要得到方程（1）的解,首先將變換

借助Maple解上面的代數(shù)方程組,得到a-1、a0、a1和c為如下的結(jié)果:

結(jié)果1:a-1＝-μ,a0＝0,a1＝1,c＝α λ2-4α μ；

結(jié)果2:a-1＝0,a0＝λ,a1＝2,c＝α λ2-4α μ；

結(jié)果3:a-1＝-2μ,a0＝-λ,a1＝0,c＝α λ2-4α μ.這里,令Δ＝λ2-4μ.

將結(jié)果1代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解:

情況1當(dāng)Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況2當(dāng)Δ＜0,方程（1）有如下的三角函數(shù)形式解

情況3當(dāng)Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

將結(jié)果2代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解.

情況4當(dāng)Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況5當(dāng)Δ＜0,方程（1））有如下的三角函數(shù)形式解

情況6當(dāng)Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

將結(jié)果3代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解.

情況7當(dāng)Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況8當(dāng)Δ＜0,方程（1）有如下的三角函數(shù)形式解

情況9當(dāng)Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

3 結(jié)論

通過使用修改的（G′/G）-展開法得到了廣義Sharma-Tasso-Olver方程的多種新的行波解,在對其中一些解的相關(guān)系數(shù)做特殊的變換后可以得到了幾種孤立子解形式.在這些結(jié)果中u3和u4與文獻(xiàn)［4］是類似的,但u1、u2、u5和u6還沒有在其它文獻(xiàn)中出現(xiàn)過.由上述可知該方法對Sharma-Tasso-Olver方程行波解的構(gòu)造是非常有力的.

［1］ Sharma A S,Tasso H.Connection between wave envelope and explicit solution of a nonlinear dispersive equation ［R］.Repot IPP,1974:6/158.

［2］ Olver P J.Evolution equations possessing infinitely many symmetries［J］.J Math Phys,1977,18（6）:1212-1215.

［3］ Lian Z J,Lou S Y.Symmetries and exact solutions of the Sharma-Tass-Olver equation［J］.Nonlinear Anal,2005,63:1167-1177.

［4］ Shang Y D,Qin J H,Huang Y,et al.Abundant exact and explicit solitary wave and periodic wave solutions to the Sharma-Tasso-Olver equation［J］.Appl Math Comput,2008,202（2）:532-538.

［5］ Ma W X,Chen M.Do symmetry constraints yield exact solutions［J］.Chaos,Solitons ＆ Fractals,2007,32（4）:1513-1517.

［6］ Kudryashov N A.Seven common errors in finding exact solutions of nonlinear differential equations ［J］.Commun Nonlinear Sci Num Simulat,2009,14（9/10）:3507-3529.

［7］洪寶劍,盧殿臣,張大珩.帶強(qiáng)迫項(xiàng)變系數(shù)組合KdV-Burgers方程的顯式精確解［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,25（1）:17-20.

［8］孫峪懷,楊少華,王佼,等.非線性Chaffee-Infante反應(yīng)擴(kuò)散方程的新精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,35（3）:293-296.

［9］ Sun Y H,Ma Z M,Li Y.Explicit solutions for generalized（2+1） -dimensional nonlinear Zakharov-Kuznetsov equation［J］.Commun Theory Phys,2010,54（3）:397-400.

［10］趙云梅.利用試探函數(shù)法求耦合KdV方程組的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,35（6）:746-748.

［11］曹瑞,張健.一類非線性方程的顯示精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,30（2）:131-133.

［12］ Ma Z M,Sun Y H,Liu F S.Explicit solutions and bifurcations for a class of generalized boussinesq wave equation ［J］.Commun Theory Phys,2013,59（3）:307-310.

［13］ Wang M L,Li X Z,Zhang J.The （G′/G） -expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Phys Lett,2008,A372（4）:417-423.

［14］李靈曉,張金良.擴(kuò)展的（G′/G）-展開法和gZK方程的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,33（5）:626-629.

［15］馬志民,孫峪懷,孫陽,等.廣義變系數(shù)Gardner方程新的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,35（4）:435-438.

［16］ Shehata A R.The traveling wave solutions of the perturbed nonlinear Schr ? dinger equation and the cubic-quintic Ginzburg Landau equation using the modified （G′/G）-expansion method［J］.Appl Math Comput,2010,217（1）:1-10.