王志軍，陳英偉

（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，河北石家莊 050061）

在逼近論中，中心逼近定理即為Jackson定理和Bernstein定理，其揭示了插值空間理論和整函數(shù)理論的緊密聯(lián)系.Jackson定理［1］是逼近論中處理函數(shù)關(guān)于多項(xiàng)式偏差的重要結(jié)果.經(jīng)典的結(jié)果主要是在連續(xù)函數(shù)及周期連續(xù)函數(shù)，然而，通過(guò)全純擴(kuò)展或考慮周期連續(xù)函數(shù)在單位圓盤(pán)中的調(diào)和延拓，自然會(huì)考慮單位圓盤(pán)上函數(shù)的逼近定理.基于此，Lipschitz函數(shù)類中的Jackson定理已拓展到復(fù)平面上的Jordan域［2］及單位圓盤(pán)上Qp空間［3］中.更多的結(jié)果可見(jiàn)文獻(xiàn)［1，4－8］.

對(duì)于多復(fù)函數(shù)空間，最近，多復(fù)變專家利用向量形式把新的Jackson定理延拓到多圓柱上的一些全純函數(shù)空間［9］，例如Bergman型空間，Hardy空間［10］.筆者也曾推廣至另一些空間［11－12］.

令U表示復(fù)平面C上的單位圓盤(pán).Sewell考慮了圓盤(pán)代數(shù)上的多項(xiàng)式逼近A（U）：＝H（U）∩C

定理1［13］對(duì)任f∈A（U），k∈N，有

其中Mk為次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式集.

問(wèn)題是如何利用高階光滑模在更廣的定義域上建立更廣義Jackson定理.

本文中，Ω表示Cn中的有界對(duì)稱域.本文目的是引入球代數(shù)A（Ω）函數(shù)空間，拓展了Jackson定理，并得到Lipschitz函數(shù)類的正逼近結(jié)果.

定義1 代數(shù)A（Ω）為Ω中的全純函數(shù)集合且連續(xù)開(kāi)拓至Ω邊界，模為

在Ω代數(shù)中，函數(shù)逼近采用了如下高階光滑模.

定義2 令χ為Ω上具有半?！ぁ瑇的函數(shù)空間.對(duì)任f∈χ，δ＞0，r∈N，f的r階光滑模

定義3 定義Ek（f，χ）：＝inf‖f－Mk‖χ為最佳多項(xiàng)式逼近，其中下確界取為遍歷次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式集Mk.

本文中，C表示與k和z無(wú)關(guān)的正常數(shù)，不同的地方取值可能不同.

1 多項(xiàng)式逼近

令r∈N∪｛0｝，引入重要積分算子

將作為最佳逼近多項(xiàng)式.這里（φ）為廣義Jackson核

證明：對(duì)任固定ρ∈（0，1），取變量變換λ＝ρeiφ，可得

對(duì)任｜ω｜＜1，由二項(xiàng)展開(kāi)，易得

注意到第2項(xiàng)在單位圓盤(pán)｜λ｜＜1上全純，由留數(shù)定理可知其在｜λ｜＝ρ上積分為0.從第1項(xiàng)可得

易知gm（λ）在單位圓盤(pán)上除原點(diǎn)外全純，由留數(shù)定理得

為計(jì)算留數(shù)，利用f的Taylor展開(kāi)和二項(xiàng)展開(kāi)

可得式（2）右側(cè)的Laurent展開(kāi)

從而

結(jié)合式（3）和式（1），知

故

引理2［1］令k，β∈N，

步驟4 計(jì)算偏移量小數(shù)部分：在上一步的基礎(chǔ)上，設(shè)置搜索步長(zhǎng)0.01，對(duì)子帶1和子帶3進(jìn)行微調(diào)，當(dāng)對(duì)比度達(dá)到最大時(shí)，停止搜索，得到偏移量的小數(shù)值；

1）存在常數(shù)Cl，β（k）滿足

2）存在常數(shù)Cβ滿足

引理3［1］設(shè)0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（U），則

引理4 設(shè)0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（Ω），則

證明： 對(duì)任ζ∈?Ω，考慮f的slice函數(shù)fζ，其中fζ（w）＝f（wζ），w∈U，則引理3可得

由定義2，對(duì)任ζ∈?Ω，ωr（δ，fζ，A（U））≤ωr（δ，f，A（Ω）），

2 偏差估計(jì)

由定義，知

定理2 對(duì)任k－1∈N，f∈H（Ω），有

證明：對(duì)任ρ∈（0，1），由引理1得

其中

從而

其中

易知［14－15］，對(duì)任0＜η≤1都存在非負(fù)常數(shù)C（η）滿足：對(duì)任h∈H和0＜r＜1，有

在式（5）中取h（λ）＝g（λ，z）并結(jié)合式（4），得

需要指出定理2對(duì)情況0＜η≤1也是成立的，其一般情況也具有其應(yīng)用價(jià)值.

3 Jackson定理

現(xiàn)在給出本文的主要結(jié)果（即A（Ω）中的Jackson定理）如下.

定理3 設(shè)f∈A（Ω），則對(duì)任k－1，r∈N，有

證明： 對(duì)任ζ∈?Ω，由的定義和定理1知

注意到Ik［f］（z）為次數(shù)不超過(guò)k－1的多項(xiàng)式.再由引理4（取λ＝k｜φ｜和δ＝1／k）可得

故，

得證.

最后給出球代數(shù)空間A（Ω）中的一類子空間具體的Jackson不等式.

定義4Lipschitz型空間Lipγ（A（Ω）），0＜γ≤1，包含所有全純函數(shù)f∈A（Ω）且滿足

這里L(fēng)＞0被稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù).

易知對(duì)任f（z）∈A（Ω）和0＜γ≤1，

推論1 設(shè)f∈Lipγ（A（Ω）），則對(duì)任k－1∈N，r＝1，有

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