元毅 YUAN Yi

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)，北京 102206）

（Central University of Finance and Economics，Beijing 102206，China）

0 引言

二叉樹(shù)模型作為金融資產(chǎn)定價(jià)尤其是衍生品定價(jià)的數(shù)值方法，自從創(chuàng)建以來(lái)應(yīng)用十分廣泛。Cox，Ross，Rubinstein在1979年創(chuàng)建的CRR模型，相對(duì)于1973年的B-S-M期權(quán)定價(jià)公式，更易于大家所理解和操作，并且CRR模型可以給美式期權(quán)定價(jià)，而大名鼎鼎的B-S-M公式則在美式期權(quán)上無(wú)能為力。雖然二叉樹(shù)模型仍然是教科書中一個(gè)不朽的經(jīng)典模型，但是在實(shí)際操作過(guò)程中由于誤差精度等問(wèn)題，其實(shí)用性遭到了一定的質(zhì)疑。在二叉樹(shù)模型的基礎(chǔ)上，我們通過(guò)構(gòu)建一個(gè)新的三叉樹(shù)模型來(lái)試圖減小模型誤差，使得期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解可以更接近B-S-M公式所得出的解析解，從而證明三叉樹(shù)模型的優(yōu)越性。

1 文獻(xiàn)綜述

樹(shù)方法是一個(gè)非常流行的期權(quán)定價(jià)數(shù)值方法。它把從現(xiàn)在到到期日的時(shí)間分成了n期，使得在這n期里面的股價(jià)進(jìn)行離散地變化。最有名的樹(shù)方法當(dāng)屬Cox、Ross以及Rubinstein在1979年提出的CRR樹(shù)。Duffie在1996年證明了當(dāng)期數(shù)n→∞時(shí)，CRR模型的解收斂到連續(xù)時(shí)間模型下期權(quán)價(jià)格的解，即B-S-M的解析解。然而，收斂的過(guò)程既不平滑也很漫長(zhǎng)，對(duì)于例如障礙期權(quán)的一些期權(quán)而言，收斂的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)很明顯的震蕩情況，Boyle和Lau在1994年的文章中說(shuō)明了這一點(diǎn)。

三叉樹(shù)模型最早于1986年由Phelim Boyle提出，作為二叉樹(shù)模型的一個(gè)延伸和擴(kuò)展，其中的上升因子和下降因子就是由Phelim Boyle提出，至于為什么要選2△t而非二叉樹(shù)模型中的△t，Boyle的考慮是，首先三叉樹(shù)中股價(jià)有三種變化情況，允許變化的時(shí)間更長(zhǎng)一些；其次Boyle是在聯(lián)合兩個(gè)二叉樹(shù)之后生成了三叉樹(shù)，所以相當(dāng)于兩個(gè)時(shí)間間隔的變化。在此之后Kamrad和Ritchken于1991年發(fā)現(xiàn)了另一種形式的三叉樹(shù)模型，他們對(duì)Boyle的三叉樹(shù)模型做了簡(jiǎn)化，并且證明了如果從二叉樹(shù)中的某一階段跳過(guò)下一階段直接到第三階段，這樣就可以相應(yīng)產(chǎn)生出一個(gè)三叉樹(shù)。具體見(jiàn)圖1。

Kamrad和Ritchken還對(duì)上升因子和下降因子進(jìn)行了處理，使得上升概率、下降概率和保持不變的概率得到了簡(jiǎn)化，他們加入了參數(shù)并且通過(guò)尋找最優(yōu)的使得三叉樹(shù)計(jì)算出來(lái)的期權(quán)價(jià)格向B-S-M公式計(jì)算出來(lái)的期權(quán)價(jià)格逼近。總的而言，Kamrad和Ritchken主要關(guān)注在階段少的情況下三叉樹(shù)的終值情況，并且使得三叉樹(shù)模型效率更高，運(yùn)算更快。

圖1 二叉樹(shù)生成三叉樹(shù)情況

2 基本模型

三叉樹(shù)模型是一個(gè)網(wǎng)格狀的用于給期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法模型，它最早于1986年由Phelim Boyle提出。同二叉樹(shù)模型一樣，構(gòu)建三叉樹(shù)的目的是為了給期權(quán)定價(jià)，包括歐式期權(quán)和美式期權(quán)。定價(jià)之前，首先要給出模型中的一些參數(shù)，比如股價(jià)從時(shí)刻到上漲的概率，下降的概率以及保持不變的概率，還有上升幅度，下降幅度等，其次我們要根據(jù)以上參數(shù)構(gòu)建股票價(jià)格的三叉樹(shù)模型，最后通過(guò)給定的期權(quán)價(jià)格三叉模型的終端支付運(yùn)用倒向運(yùn)算的方法來(lái)給初始時(shí)刻的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。一個(gè)單階段的股票價(jià)格樹(shù)形圖見(jiàn)圖2。

三叉樹(shù)模型可以在基于B-SM模型的基礎(chǔ)上給出期權(quán)定價(jià)優(yōu)良的數(shù)值解，其構(gòu)建過(guò)程同構(gòu)建二叉樹(shù)的過(guò)程十分相似。由于股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，所以在給參數(shù)賦值時(shí)需要使得股票價(jià)格滿足這一要求。正如CRR模型中令和，我們?cè)诮o參數(shù)賦值時(shí)同樣需要考慮這些問(wèn)題。

其中股票價(jià)格從t到t+Δt變化為S（t）u的概率為pu，變化為S（t）d的概率為pd，根據(jù)概率的性質(zhì)股價(jià)不變的概率為pm=1-pu-pd。根據(jù)無(wú)套利條件和風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，從t到t+Δt有以下兩個(gè)式子成立。

認(rèn)為股票價(jià)格遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其中σ是標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，這兩個(gè)參數(shù)都是常數(shù)。由于假定世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的，所以假定所有股票的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，除此之外在之后計(jì)算期權(quán)的價(jià)格時(shí)，也以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率作為貼現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)來(lái)給期權(quán)定價(jià)。

除了（1）和（2）之外，給出另一個(gè)限制條件，即

雖然這個(gè)條件并不總是應(yīng)用于三叉樹(shù)建立的過(guò)程中的，但是這個(gè)條件的成立使得建立的三叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)呈現(xiàn)多項(xiàng)式的形式增長(zhǎng)而不是以復(fù)雜的指數(shù)形式增長(zhǎng)。

在股價(jià)變化幅度u、d以及變化的概率pu、pd和pm都已知的情況下，就可以計(jì)算股價(jià)S及其變化情況。假定股價(jià)從t0開(kāi)始總共經(jīng)歷了N次變動(dòng)，其中上升的次數(shù)為Nu，下降的次數(shù)為Nd，不變的次數(shù)為Nm，則Nu+Nd+Nm=N，在N次變動(dòng)后T時(shí)刻的股價(jià)為

3 三叉樹(shù)模型的參數(shù)

則ud=1，這是一個(gè)典型的交叉樹(shù)。

盡管《蒙古的人和神》作者亨寧·哈士綸在20世紀(jì)30年代曾造訪新疆和靜縣滿汗王王府，書中收錄了不少珍貴的歷史照片，但是大家心目中還是接受不了這么一幅渥巴錫畫像。所以2010年7月在和靜縣召開(kāi)的“東歸歷史與文化”研討會(huì)上安排了一項(xiàng)渥巴錫畫像征集活動(dòng)。與會(huì)的好幾位蒙古族畫家提交了近10幅渥巴錫畫像，還有好幾幅素描像。畫像中的渥巴錫是一位典型的蒙古漢子。寬闊臉膛、兩眼炯炯有神，是的，人們心目中的渥巴錫應(yīng)該這個(gè)樣子，但畢竟是藝術(shù)的創(chuàng)作。

在風(fēng)險(xiǎn)中性的測(cè)度下，不考慮股息與分紅的情況，有風(fēng)險(xiǎn)中性概率

其中 pu、pm和 pd均屬于（0，1），Δt需要滿足（不考慮分紅）。

從而保證在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下此模型是可行的。

驗(yàn)證公式（8）的正確性從而驗(yàn)證所取的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。對(duì)于一個(gè)如圖2的單階段三叉樹(shù)，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下應(yīng)該有

兩邊同時(shí)消去S，移項(xiàng)可得

將（4）、（5）、（6）和（7）代入（11），將分母移項(xiàng)，可得

和等式（13）的右邊比較，兩者相等，則等式（10）得證，從而可以證明我們所取的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性概率。

4 三叉樹(shù)模型具體引用——經(jīng)典歐式期權(quán)定價(jià)

4.1 經(jīng)典歐式期權(quán)的定價(jià) 歐式期權(quán)是指賦予持有者一個(gè)在未來(lái)的某一個(gè)確定的時(shí)間以一定的價(jià)格買入或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，其中確定的價(jià)格又叫執(zhí)行價(jià)格，記為K，確定的時(shí)間又叫到期日，記為T。

同二叉樹(shù)定價(jià)的方法類似，當(dāng)我們建立了股票價(jià)格三叉樹(shù)之后，在到期日期權(quán)的終端支付便已知，對(duì)于看漲期權(quán)，終端支付 C（S，T）=max（S-K，0）；對(duì)于看跌期權(quán)，終端支付 C（S，T）=max（K-S，0）。得到終端支付以后，利用倒向歸納的方法，根據(jù)前文中風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的性質(zhì)，我們可以利用以下公式給前一階段節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行定價(jià)

其中 Cn-1，j是第 n-1 個(gè)階段節(jié)點(diǎn) j的期權(quán)價(jià)格，Cn，j+1是從n-1個(gè)階段節(jié)點(diǎn)j的在第n個(gè)階段對(duì)應(yīng)股票價(jià)格上升的期權(quán)價(jià)格，Cn，j是對(duì)應(yīng)股票價(jià)格不變的期權(quán)價(jià)格，Cn，j-1是對(duì)應(yīng)股票價(jià)格下降的期權(quán)價(jià)格。

這種倒向歸納的方法來(lái)源于風(fēng)險(xiǎn)中性定理并且對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)同樣適用，它可以幫助我們求出期權(quán)價(jià)格三叉樹(shù)上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格，從而一直往前推出C0即起初我們想要的期權(quán)價(jià)格。

這里需要說(shuō)明的是，從t到T一共經(jīng)歷了N期，所以對(duì)于每一次變化的時(shí)間Δt，有Δt=。

4.2 經(jīng)典美式期權(quán)的定價(jià) 美式期權(quán)是指賦予持有人一個(gè)可以在到期日T之前任意時(shí)刻或者在到期日以執(zhí)行價(jià)格K買入或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。由于美式期權(quán)可以在到期日之前任意時(shí)刻實(shí)施，情況就稍微復(fù)雜了一些，如果在三叉樹(shù)某一節(jié)點(diǎn)以執(zhí)行價(jià)K實(shí)施期權(quán)獲得的收益大于我們通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式求得的期權(quán)價(jià)格，持有人會(huì)立即執(zhí)行而非等到到期日。通過(guò)這樣的分析，我們需要對(duì)倒向歸納方法進(jìn)行一定的改進(jìn)，從而利用改進(jìn)的模型對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

美式期權(quán)終端支付的值和歐式期權(quán)一樣，不同的是，對(duì)于美式期權(quán)價(jià)格樹(shù)中間節(jié)點(diǎn)的立即支付收益，如果是看漲期權(quán)，記為；如果是看跌期權(quán)，記為，則

從而得到修正的倒向歸納公式（對(duì)于看漲期權(quán)而言）變?yōu)?/p>

4.3 三叉樹(shù)模型的收斂性 在三叉樹(shù)模型中，把期數(shù)定為N，當(dāng)N→∞時(shí)，可以類似于二叉樹(shù)收斂性的證明，三叉樹(shù)模型的隨機(jī)游走過(guò)程收斂到對(duì)數(shù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。眾所周知，無(wú)論是二叉樹(shù)模型還是三叉樹(shù)模型，作為求解期權(quán)價(jià)格的數(shù)值方法，其在模擬股票價(jià)格時(shí)，理論上只有當(dāng)Δt→0，股票價(jià)格才服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即只有計(jì)算期數(shù)為無(wú)窮大時(shí)，二叉樹(shù)或者三叉樹(shù)模型計(jì)算出來(lái)的價(jià)格與BS-M公式計(jì)算得到的價(jià)格是一致的。由于三叉樹(shù)的計(jì)算成本較高，我們只能取到期數(shù)為15的情況，得出的收斂性如圖4所示。

由圖4可知，三叉樹(shù)模型在期數(shù)較少的收斂性上好于二叉樹(shù)。實(shí)際上，二叉樹(shù)在期數(shù)趨近于200時(shí)，價(jià)格才逐漸收斂到B-S-M解析解且波動(dòng)性逐漸減弱。

5 期權(quán)價(jià)格的敏感性分析

影響期權(quán)價(jià)格的因素有很多，包括標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間、股票波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率以及分紅率等。我們通過(guò)MATLAB程序的作圖功能分析到期時(shí)間和股票波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

圖4 三種期權(quán)定價(jià)模型的收斂性示意

5.1 歐式看漲期權(quán)價(jià)格對(duì)到期時(shí)間T的敏感性分析 運(yùn)用MATLAB編程計(jì)算后，我們可以得出歐式看漲期權(quán)價(jià)格對(duì)到期時(shí)間的關(guān)系如圖5所示。

圖5 歐式看漲期權(quán)價(jià)格對(duì)到期時(shí)間T的敏感性分析

由于我們計(jì)算的是歐式看漲期權(quán)，所以由圖5可知，在其他條件不變的情況下（尤其是不考慮股票分紅的情況），到期時(shí)間或者叫期權(quán)期限越長(zhǎng)，歐式期權(quán)的價(jià)格越大，即歐式期權(quán)的價(jià)格隨著期限的增加而增加。

5.2 歐式看跌期權(quán)價(jià)格對(duì)股票價(jià)格的波動(dòng)率σ的敏感性分析 同樣地，可以得到反映波動(dòng)率對(duì)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的影響，具體見(jiàn)圖6。

圖6 歐式看跌期權(quán)價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的敏感性分析

由圖6可知，期權(quán)價(jià)格隨著波動(dòng)率的增加而增加，這也符合人們的直觀感受。粗略而言，股票價(jià)格的波動(dòng)率用于衡量股票價(jià)格變動(dòng)的不確定性的一個(gè)測(cè)度，當(dāng)波動(dòng)率增大時(shí)，股票價(jià)格上升或者下降很多的機(jī)會(huì)將會(huì)增大，對(duì)于看漲期權(quán)的持有者而言，他們可以從股票價(jià)格上升中獲利，而當(dāng)股票價(jià)格下跌時(shí)，其損失最多為期權(quán)費(fèi)用，看跌期權(quán)也類似，所以隨著波動(dòng)率的增加，期權(quán)價(jià)格也會(huì)增加。

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