楊 勇，李 榮，張 君

(南京工程學(xué)院 能源與動力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分將整數(shù)微積分的微分、積分階次推廣到了任意階次，擴展了整數(shù)階微積分的描述能力。分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)模型，可以更準(zhǔn)確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，提高對于動態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計、表征和控制能力[1～4]。

PID是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的控制方法，由于其結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強，操作簡單，被廣泛應(yīng)用于冶金、電力和機械等工業(yè)過程中，具有很強的生命力。相比于整數(shù)PID，分?jǐn)?shù)階PIλDμ是整數(shù)PID的擴展，積分階次λ和微分階次μ的引入使得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器具有更靈活的結(jié)構(gòu)、更強的魯棒性和更好的抗擾動能力，但同時，由于分?jǐn)?shù)階微積分模塊建模復(fù)雜且控制器需要整定參數(shù)較多，使得 PIλDμ參數(shù)整定更加困難[5～9]。一些學(xué)者從時域[1]、頻域[5]等角度分析分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，提出了相應(yīng)的參數(shù)整定方法，但計算過程較繁瑣。

量子遺傳算法[10～15](quantum genetic algorithm，QGA)是一種基于量子計算原理的概率優(yōu)化方法，它以量子計算的一些概念和理論為基礎(chǔ)，用量子位編碼來表示染色體，以量子門更新來完成進化搜索，具有種群規(guī)模小、收斂速度快和全局尋優(yōu)能力強的特點。在量子門更新時，旋轉(zhuǎn)角的大小直接影響量子遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果，但是，在量子遺傳中旋轉(zhuǎn)角是固定的，鑒于這種情況，本文提出一種自適應(yīng)量子遺傳算法(adaptive quantum genetic algorithm，AQGA)，使得個體根據(jù)自己的適應(yīng)度，自適應(yīng)改變旋轉(zhuǎn)角，以改善量子遺傳算法的優(yōu)化精度和收斂速度。同時，將該方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定中，針對循環(huán)流化床主汽溫分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)設(shè)計PIλDμ控制器，通過仿真實驗驗證該方法的有效性。

1 自適應(yīng)量子遺傳算法

1.1 量子比特編碼

量子遺傳算法中，采用量子比特的概率幅(α，β)來編碼染色體，以一個量子比特來存儲和表達一個基因，一個量子位可能處于|1〉或|0〉，或者處于|1〉和|0〉之間的中間態(tài)，表示為

式中:α，β是兩個常數(shù)，且滿足:

此時該基因所表達的不再是某一確定的信息，而是包含所有可能的信息。

1.2 量子門更新

量子遺傳算法中，對信息的基本操作由量子門來實現(xiàn)。其更新過程為

根據(jù)式(3)可得:

將(αi，βi)T，( α 'i，β'i)T看為是直角坐標(biāo)系中的兩個向量，則兩個向量之間的夾角θ滿足式(5):

將式(2)、(4)帶入式(5)，并整理后可得:

從式(6)可看出量子門更新相當(dāng)于將原量子旋轉(zhuǎn)θi來實現(xiàn)量子演化的，如圖1所示。

圖1 量子更新原理圖Fig．1 Schematic diagram of quantum update

因此，在量子遺傳算法中，量子門的設(shè)計直接影響量子遺傳算法的性能，量子旋轉(zhuǎn)門的調(diào)整策略如表1所示。

表1 量子旋轉(zhuǎn)門調(diào)整策略Tab.1 Quantum revolving door adjustment strategy

表1中，xi，besti分別表示當(dāng)前解x與最優(yōu)解best染色體的第 i位;f(x)為目標(biāo)函數(shù);s(αi，βi)為旋轉(zhuǎn)方向;Δθi為旋轉(zhuǎn)角的幅值;實際旋轉(zhuǎn)角θi為s(αi，βi) × Δθi。

該調(diào)整策略根據(jù)個體的適應(yīng)度與種群最優(yōu)個體適應(yīng)度的比較結(jié)果調(diào)整個體中的量子比特，使概率幅(αi，βi)向著更優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的方向演化，保證算法收斂到具有更高適應(yīng)度的染色體。

1.3 自適應(yīng)量子遺傳算法

量子遺傳算法中，旋轉(zhuǎn)角θi幅值影響算法的收斂速度，若θi太小，則算法收斂較慢;若θi太大，則算法容易陷入早熟[11]。表1的調(diào)整策略中，θi是一個固定值，但在實際中，若當(dāng)前值離最優(yōu)值較遠時，希望取較大的θi值，使之迅速向最優(yōu)值靠近，加速算法的收斂速度;若當(dāng)前值離最優(yōu)值較近時，希望取較小的θi值，以避免算法早熟?；谏鲜銮闆r，本文提出旋轉(zhuǎn)角度隨著個體適應(yīng)度的變化而自動調(diào)整的策略。旋轉(zhuǎn)角度幅值的調(diào)整策略如式(7):

式中:θmax和 θmin分別代表 θ的最大和最小值;fi為個體當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)值;favg和fmin分別為當(dāng)代個體的平均目標(biāo)函數(shù)值和最小目標(biāo)函數(shù)值。

1.4 自適應(yīng)量子遺傳算法流程

(1)確定進化代數(shù)、種群大小，染色體編碼長度，優(yōu)化參數(shù)個數(shù)及范圍等;

(2)隨機產(chǎn)生初始種群G(1);

(3)對G(1)中的個體進行測量并解碼，得到相應(yīng)的實數(shù)解;

(4)利用適應(yīng)度函數(shù)評價G(1)的每個個體，記錄最優(yōu)個體以及其適應(yīng)度;

(5)判斷是否滿足算法結(jié)束條件，若滿足，則輸出最優(yōu)解，否則，轉(zhuǎn)到步驟(6);

(6)對種群G(t)中的每個個體實施一次測量、解碼，得到相應(yīng)的實數(shù)解;

(7)計算G(t)中個體的適應(yīng)度;

(8)根據(jù)式(7)計算個體的旋轉(zhuǎn)角幅值，根據(jù)表1計算量子旋轉(zhuǎn)的方向，從而得到個體的旋轉(zhuǎn)角，然后利用量子旋轉(zhuǎn)門更新群體，得到下一代種群G(t+1);

(9)令 t=t+1，返回步驟(5)。

1.5 算法性能測試

De Jong[16]函 數(shù) F = 100 (x21－ x2)2+(1 － x1)2，其中(－2．048≤xi≤2．048，i=1，2)，De Jong函數(shù)是一個二維函數(shù)，在整個解域中只有一個全局最小點 f(1，1)=0，該函數(shù)雖然是單峰值函數(shù)，但它卻是病態(tài)的，難以進行全局優(yōu)化。為此本文分別采用量子遺傳算法和自適應(yīng)量子遺傳算法進行尋優(yōu)，兩種算法的參數(shù)設(shè)置如表2:

表2 量子遺傳和自適應(yīng)量子遺傳參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameter settings of QGA and AQGA

其中，量子遺傳算法轉(zhuǎn)變異角θi的幅值保持0.015π不變，而自適應(yīng)量子遺傳算法中，旋轉(zhuǎn)變異角θi的幅值根據(jù)式(7)自適應(yīng)改變;兩種算法的終止條件為最優(yōu)值保持不變超過10代或者達到最大迭代次數(shù)。

分別對該函數(shù)優(yōu)化100次，優(yōu)化結(jié)果如表3所示，從表3可以看出，量子遺傳算法在旋轉(zhuǎn)角采用自適應(yīng)策略后，優(yōu)化精度和收斂速度(平均迭代次數(shù))有明顯提高。

表3 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results

2 分?jǐn)?shù)階微積分以及分?jǐn)?shù)階控制器

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

分?jǐn)?shù)階微積分是任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。分?jǐn)?shù)階微積分算子的定義如(8)式:

式中:t和t0為操作算子的上、下限;a為微積分階次，可取復(fù)數(shù)內(nèi)任意值，本文假設(shè)它在實數(shù)范圍內(nèi)。

Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分定義是分?jǐn)?shù)階控制中最廣泛應(yīng)用的分?jǐn)?shù)階微積分定義，對連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f的α階微積分定義如(9)式:

式(9)統(tǒng)一定義了分?jǐn)?shù)階微分和積分，α＞0時，表示分?jǐn)?shù)階微分，α＜0時，表示分?jǐn)?shù)階積分。

2.2 分?jǐn)?shù)階控制器

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器概念的推廣，其包括一個積分階次λ和一個微分階次μ，而且積分階次λ和微分階次μ可以不是整數(shù)的形式。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2。

圖2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig．2 Schematic diagram of PIλDμ

分?jǐn)?shù)階控制器PIλDμ的傳遞函數(shù):

式中:kp為比例增益;ki為積分增益;kd為微分增益;λ為積分階次;μ為微分階次。λ，μ＞0且為實數(shù)。當(dāng)λ和μ取不同值時，分?jǐn)?shù)階控制器PIλDμ有不同的結(jié)構(gòu)。

(1)當(dāng)λ=0和μ=0時，Gc(s)=kp，此時分?jǐn)?shù)階控制器為常規(guī)比例P控制器;

(2)當(dāng) λ =1和 μ=0時，Gc(s)=kp+ki/s，此時分?jǐn)?shù)階控制器為整數(shù)階PI控制器;

(3)當(dāng) λ =0和 μ=1時，Gc(s)=kp+kis，此時分?jǐn)?shù)階控制器為整數(shù)階PD控制器;

(4)當(dāng) λ=l和 μ=1時，Gc(s)=kp+ki/s+kds，此時分?jǐn)?shù)階控制器為常規(guī)的PID控制器。

可見，所有的整數(shù)階PID控制器都只是分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的特殊情況。因此，對于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的研究也更加的復(fù)雜。

3 循環(huán)流化床主汽溫分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計

3.1 對象描述

文獻[2]中建立了減溫水流量擾動下，循環(huán)流化床主汽溫度對象的分?jǐn)?shù)階模型，并指出其精確度要高于整數(shù)階模型。其分?jǐn)?shù)階模型為

在減溫水單位階躍擾動下，主汽溫度的輸出響應(yīng)如圖3所示。

圖3 循環(huán)流化床主汽溫對象單位階躍響應(yīng)曲線Fig．3 Unit-step response of main steam temperature of circulating fluidized bed boiler

由圖3可看出該對象是一個具有大滯后、大慣性的系統(tǒng)，屬于熱工中較難控制的對象。

3.2 分?jǐn)?shù)階控制器優(yōu)化

3.2.1 性能指標(biāo)函數(shù)

分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定的問題就是確定kp，ki，kd，λ，μ這5個參數(shù)的組合是某一性能指標(biāo)達到最優(yōu)。為了整定控制器參數(shù)，本文選取ITAE作為個體適應(yīng)度的評價指標(biāo)，ITAE計算如(12)式:

3.2.2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)數(shù)值計算

為了計算性能指標(biāo)，需要對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)進行數(shù)值計算。本文采用具有一定記憶長度的分?jǐn)?shù)階微積分算子進行分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)計算，根據(jù)Grünwald-Letnikov定義，在誤差允許的范圍內(nèi)，指定記憶長度L，忽略較早的數(shù)據(jù)點[7]，得到:

對于分?jǐn)?shù)階微分方程:

利用式(13)近似方程(14)中的微分算子，將(14)轉(zhuǎn)化為離散時間序列 tk(k=1，2，3，…)上的離散方程:

計算得:

式中:y0=0;y1=0;uk為輸入序列;

3.3 系統(tǒng)仿真

3.3.1 量子遺傳與自適應(yīng)量子遺傳對比

分別采用量子遺傳與自適應(yīng)量子遺傳算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，為了防止控制量的變化超過合理的范圍，本文對控制器輸出進行了限幅，設(shè)置控制器輸出范圍為[－30，30]。優(yōu)化結(jié)果以及控制系統(tǒng)性能分別如表4和表5所示，給定值單位階躍擾動時，系統(tǒng)的輸出對比曲線以及控制器輸出對比曲線分別如圖4和圖5所示。

表4 PIλDμ參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization results of PIλDμ parameters

表5 控制系統(tǒng)性能Tab.5 Performance of control system

圖4 循環(huán)流化床主汽溫控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Fig．4 Unit-step response of main steam temperature of circulating fluidized bed boiler system

圖5 系統(tǒng)控制器輸出曲線Fig．5 Output curves of the controller

從圖4和表5可以看出，采用AQGA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)速度快，調(diào)節(jié)時間短，調(diào)節(jié)過程中幾乎無超調(diào)，與QGA優(yōu)化的控制系統(tǒng)相比，具有更優(yōu)的控制品質(zhì)。

3.3.2 系統(tǒng)魯棒性

將對象的比例增益分別取 8，9，10.372 5，12，14時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖6所示。

從圖6分析可以得到以下結(jié)論:

(1)在比例增益發(fā)生較大變化時，系統(tǒng)仍能達到較好的控制性能，系統(tǒng)具有較強的魯棒性;

(2)當(dāng)比例K減小時，系統(tǒng)的超調(diào)量增大，系統(tǒng)的上升時間變快;當(dāng)K增大時，與K減小時相反。

圖6 K值變化控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Fig．6 Unit-step response of the system when K of the object model is changed

4 結(jié)論

本文在量子遺傳算法的基礎(chǔ)上，提出了一種旋轉(zhuǎn)角隨個體適應(yīng)度而自適應(yīng)變化的策略，有效克服了量子遺傳算法中旋轉(zhuǎn)角相對固定的缺點，提高了算法的收斂速度和優(yōu)化精度。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器由于分?jǐn)?shù)階微積分模塊建模復(fù)雜且控制器需要整定參數(shù)比較多，使其參數(shù)整定比較困難。本文將分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，采用自適應(yīng)量子遺傳算法對循環(huán)流化床分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)設(shè)計分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性，為PIλDμ控制器參數(shù)整定提供了一個新的途徑。

[1]薛定宇，趙春娜．分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計[J]．控制理論與應(yīng)用，2007，24(5):771－775

[2]Wang D F，Wang X Y，Han P．Identification of Thermal Process Using Fractional-Order Tranfer Function Based on Intelligent Optimization[C]．Proceedings of MESA 2010:498－503

[3]Ahn H S，Bhambhani V，Chen Y Q．Fractional-order integral and derivative controller design for temperature profile control[C]．Chinese Control and Decision Conference，Yantai，2008．

[4]Podlubny I，F(xiàn)ractional-order systems and PIλDμcontrollers[J]．IEEE Transactions on Automatic Control，1999(44):208－214．

[5]曾慶山，曹廣益，王振濱．分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的仿真研究[J]．系統(tǒng)仿真學(xué)報，2004，16(3):465－469

[6]李大字，劉展，靳其兵，等．分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定策略研究[J]．系統(tǒng)仿真學(xué)報．2007，19(19):4402－4406

[7]嚴(yán)慧．分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器的設(shè)計及數(shù)字實現(xiàn)[D]．南京:南京航空航天大學(xué)，2007．

[8]王東風(fēng)，王曉燕，韓璞．鍋爐－汽輪機系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計[J]．中國電機工程學(xué)報，2010，30(5):113－119

[9]楊勇，王東風(fēng)，焦嵩鳴．基于混沌PSO的循環(huán)流化床汽溫系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制[J]．華北電力大學(xué)學(xué)報，2011，38(4):62－67

[10]曾成，趙錫均．改進量子遺傳算法在PID參數(shù)整定中應(yīng)用[J]．電力自動化設(shè)備，2009，29(10):125－127

[11]董澤，黃宇，韓璞．量子遺傳算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其在熱工辨識中的應(yīng)用[J]．中國電機工程學(xué)報，2008，28(17):99－103

[12]王凌，吳昊，唐芳，等．混合量子遺傳算法及其性能分析[J]．控制與決策，2005，20(2):156－158

[13]焦嵩鳴，韓 璞，黃 宇，等．模糊量子遺傳算法及其在熱工過程模型辨識中的應(yīng)用[J]．中國電機工程學(xué)報，2007，27(5):87－91

[14]Yang Junan．Research of quantum genetical agorithm and its application in blind sourcese paration[J]．Journal of Electronics(China)，2003，20(1):62－68．

[15]Talbi H，Draa A，Batouche M．A new quantum inspired genetic algorithm for solving the travelling salesman problem[C]．2004 IEEE International Conference on Industrial Technol-ogy，Tunisia，2004．

[16]于洋，查建中，唐曉君．基于學(xué)習(xí)的遺傳算法及其在布局中的應(yīng)用[J]．計算機學(xué)報，2001，24(12):1242－1249