陳 森，金 鳴，陳志斌，柏云清，趙柱民，吳宜燦，1

（1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥 230026；2.中國(guó)科學(xué)院核能安全技術(shù)研究所，合肥 230031）

隨著對(duì)核能知識(shí)的日漸加深，人們意識(shí)到核事故可能會(huì)對(duì)人員和環(huán)境產(chǎn)生嚴(yán)重危害，對(duì)核安全問(wèn)題日益關(guān)注［1］。非能動(dòng)技術(shù)已普遍應(yīng)用于先進(jìn)反應(yīng)堆的各個(gè)主要安全系統(tǒng)，其作為先進(jìn)反應(yīng)堆固有安全性的重要組成部分，成為保障核電安全不可或缺的手段［2］。核電的安全一定意義上是由核電廠核設(shè)施（包括構(gòu)筑物、系統(tǒng)和部件）設(shè)計(jì)的可靠性所決定的，而其中核電廠設(shè)備設(shè)計(jì)的可靠性是保證核電廠安全的重要環(huán)節(jié)［3］。次臨界系統(tǒng)具有非能動(dòng)、固有安全性和高度可靠性的特點(diǎn)，其作為先進(jìn)核能系統(tǒng)正被廣泛地研究。加速器驅(qū)動(dòng)次臨界系統(tǒng)（Accelerator Driven Sub-critical System，以下簡(jiǎn)稱(chēng)ADS）利用中高能質(zhì)子打靶產(chǎn)生的散裂中子作為外源驅(qū)動(dòng)次臨界堆，可有效地嬗變處理高放廢料，對(duì)實(shí)現(xiàn)閉式核燃料循環(huán)有重要意義［4，5］。ADS的可行性和安全性驗(yàn)證工作正被廣泛開(kāi)展，目前歐盟、美國(guó)、俄羅斯和日本等已開(kāi)展了ADS相關(guān)的多種類(lèi)型的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)［6，7］。鉛鉍合金（LBE）作為ADS的候選冷卻劑和靶材料，具有中子吸收截面小，中子產(chǎn)額高和化學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定等特點(diǎn)［8，9］。次臨界堆芯作為加速器驅(qū)動(dòng)次臨界堆（Accelerator Driven Sub-critical Reactor，簡(jiǎn)稱(chēng)ADSR）的重要組成部分，壽期初（BOL）次臨界度主要分布在0.95 ～ 0.99之間［10］。

對(duì)于有控制棒作用的次臨界堆，須考慮彈棒和失控提升導(dǎo)致的反應(yīng)性引入事故。無(wú)控制棒設(shè)計(jì)的次臨界堆，同樣須考慮反應(yīng)性引入事故，如EBR-I超功率事故中因燃料棒內(nèi)曲導(dǎo)致的快速反應(yīng)性引入［11］。

盡管ADSR的次臨界度保證了在斷開(kāi)外源（切斷質(zhì)子束流）后反應(yīng)堆迅速停閉，但在反應(yīng)堆運(yùn)行中反應(yīng)堆穩(wěn)定性問(wèn)題仍是反應(yīng)堆動(dòng)態(tài)理論中的重要問(wèn)題之一［12］。根據(jù)ADS的原理，次臨界堆中的中子動(dòng)力學(xué)行為與臨界堆中的中子動(dòng)力學(xué)行為不同，且不同次臨界水平下中子動(dòng)力學(xué)行為也不同，主要表現(xiàn)在平均自由程、中子代時(shí)間和反饋機(jī)制［13］。因此，反應(yīng)性引入所引起堆的瞬態(tài)行為也不相同。

本文采用有外源的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型，基于RELAP5程序開(kāi)發(fā)了適用于次臨界堆瞬態(tài)分析的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)程序，以10 MWth的鉛鉍冷卻自然循環(huán)次臨界反應(yīng)堆為參考堆型，研究了不同次臨界度（keff=0.90，0.95，0.97，0.98和0.99）下反應(yīng)性引入的速率為在+1β/s的中子學(xué)動(dòng)態(tài)特性。

1 計(jì)算模型

1.1 點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型

能用于臨界堆也能用于次臨界堆的點(diǎn)堆模型動(dòng)態(tài)方程可寫(xiě)成：

式（1）和（2）中，N為中子密度，m-3；ρ為反應(yīng)性；S（t）是外中子源，m-3·s-1；βi為第i組緩發(fā)中子份額，而l為中子壽命，s；λi為第i組緩發(fā)中子先驅(qū)核的衰變常數(shù)，s-1；Ci為第i組緩發(fā)中子先驅(qū)核的濃度，m-3。通常定義中子每代時(shí)間Λ，Λ=l/keff，s；由式（1），ρ-β可改寫(xiě)成ρ-β=ρ0+Δρ（t）-β。對(duì)于臨界反應(yīng)堆在穩(wěn)態(tài)條件下，初始反應(yīng)性ρ0=0.0；對(duì)于次臨界反應(yīng)堆在穩(wěn)態(tài)條件下，初始反應(yīng)性ρ0=（keff-1）/keff；通常情況下，對(duì)于keff=1.0，則有外源項(xiàng)S=0.0；對(duì)于keff<1.0，則有外源項(xiàng)S≠0.0［14］。

通常，在某一次臨界水平下，可計(jì)算初始反應(yīng)性ρ0來(lái)求解維持穩(wěn)態(tài)堆功率所需要的外中子源強(qiáng)度S（0）。在某一次臨界（keff<1.0）的穩(wěn)態(tài)下，由式（1）和（2）可得

將式（3）寫(xiě)成keff的函數(shù)關(guān)系式，如式（4），其很好地描述了穩(wěn)態(tài)時(shí)外中子源與堆內(nèi)中子密度的關(guān)系。

由式（4）可知，keff/（1-keff） 項(xiàng)是一個(gè)中子密度放大因子。因在討論點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)方程時(shí)已假設(shè)形狀函數(shù)不變［14］，反應(yīng)堆中的中子通量密度和反應(yīng)堆的功率Pcore成正比關(guān)系，即Pcore∝N。因此，式（4）可認(rèn)為是在穩(wěn)態(tài)情況下堆功率與外功率（加速器功率）的一個(gè)關(guān)系式。將式（4）改寫(xiě)如下：

式（5）中的C為一個(gè)定常數(shù)，Ibeam為高能質(zhì)子加速器產(chǎn)生的質(zhì)子束流強(qiáng)度。

由式（5）可知，具有相同次臨界度水平但堆功率不同的ADSR，所需的加速器功率大小也不同。

在ADSR運(yùn)行過(guò)程中，負(fù)反應(yīng)性引入或燃料燃耗加深，使keff變小，則需要增大外源或增大加速器功率來(lái)維持功率不變；正反應(yīng)性引入將會(huì)導(dǎo)致堆內(nèi)中子密度增大，堆功率也將增大。

1.2 瞬跳近似

在有反應(yīng)性擾動(dòng)情況下，在起始很短的一段瞬變時(shí)間內(nèi)，中子密度迅速變化，變化的周期主要由瞬發(fā)中子的壽命所決定，是非常小的。在臨界堆中引入正反應(yīng)性，根據(jù)式（6）反應(yīng)性方程，反應(yīng)堆周期T為正值，中子通量密度隨時(shí)間按指數(shù)增長(zhǎng)。由點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)可知，引入+1β的反應(yīng)性，反應(yīng)堆僅依靠瞬發(fā)中子作用下即可瞬發(fā)臨界，并由式（7）可知，反應(yīng)堆功率按指數(shù)規(guī)律迅速上升，并會(huì)引發(fā)嚴(yán)重的事故后果［19］。

在次臨界堆中，須考慮次臨界度和外中子源的作用，將式（1）和（2）做歸一化處理，即令

置換式（1）和（2）中的N（t）和Ci（t），注意到有

并將式（4）代入，所以得到歸一化的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型

在快堆中，Λ<10-6s，根據(jù)零壽期近似［19］，由歸一化點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型，在上式（8）和（9）中，令Λ=0.0，可導(dǎo)出有恒定外中子源的瞬跳近似的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)方程

在短時(shí)間內(nèi)引入反應(yīng)性，可認(rèn)為緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度近似不變，即有 Zi（t）=1.0；中子密度與功率成正比。由式（10）和（11），所以在引入反應(yīng)性后（瞬變過(guò)程結(jié)束）的歸一化中子密度和歸一化功率為

相對(duì)增加的功率份額為

在反應(yīng)堆（keff<1.0）運(yùn)行中，引入反應(yīng)性+1β，由式（6）、（7）和（13）可知，不會(huì)發(fā)生瞬發(fā)臨界。因此，定量地分析不同次臨界度下的反應(yīng)性擾動(dòng)，可得到次臨界堆的中子學(xué)動(dòng)態(tài)特性。

1.3 RELAP5計(jì)算模型

由上分析，通過(guò)修改RELAP5程序源碼中的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型并添加相應(yīng)的程序控制模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)控制。外源初值S（0）依靠初始反應(yīng)性ρ0并求解點(diǎn)堆方程得到。改進(jìn)后的RELAP5程序不僅能分析外源瞬變工況還能分析其他熱工瞬態(tài)。

本文采用的RELAP5/SCDAP/mod4.0程序是美國(guó)ISS公司在原有RELAP5/mod3.3程序（用Fortran77語(yǔ)言編寫(xiě)）基礎(chǔ)上用Fortran90/95/2 000重寫(xiě)，并添加了液態(tài)金屬流體物性模塊和其他功能模塊的最新反應(yīng)堆熱工水力瞬態(tài)分析程序［15］。

本文所選擇的次臨界參考堆的主要參數(shù)見(jiàn)表1。計(jì)算模型采用了保守分析方法，考慮了熱通道因子和熱棒因子，分別為1.11和1.02。燃料區(qū)軸向功率分布為余弦分布，有效高度為0.8 m。燃料區(qū)中心和換熱器中心高度為2.0 m。

在穩(wěn)態(tài)調(diào)試時(shí)，決定性參數(shù)，如堆的結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)參數(shù)等，為不可調(diào)參數(shù)；非決定性參數(shù)，如節(jié)流件阻力系數(shù)等，為可調(diào)參數(shù)。通過(guò)調(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以得到與熱工設(shè)計(jì)相等或相近的數(shù)值，相對(duì)誤差在可接受范圍，在此基礎(chǔ)上可進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算。RELAP5穩(wěn)態(tài)計(jì)算的主要熱工參數(shù)，見(jiàn)表1。

反應(yīng)性引入瞬態(tài)計(jì)算起始時(shí)刻為100s，加速器束流功率不變，即認(rèn)為外中子源S不隨時(shí)間變化。反應(yīng)性引入速率為+1β/s，引入時(shí)間為1s，整個(gè)瞬態(tài)過(guò)程不觸發(fā)停堆信號(hào)。

表1 次臨界參考堆的穩(wěn)態(tài)參數(shù)Table 1 Primary steady state parameters of sub-critical reactor

2 計(jì)算結(jié)果

2.1 反應(yīng)性引入對(duì)功率的影響

圖1是反應(yīng)性增量隨時(shí)間變化的曲線。因溫度積累效應(yīng)，短時(shí)間內(nèi)燃料溫度效應(yīng)和冷卻劑溫度效應(yīng)非常小，所以在一秒內(nèi)線性引入+1β的正反應(yīng)性，不同次臨界度下的反應(yīng)性增量幾乎一致，且與引入反應(yīng)性規(guī)律一致，如圖1（a）所示。停止引入后，反應(yīng)性因燃料和冷卻劑負(fù)反饋效應(yīng)而逐漸下降，并最終維持穩(wěn)定，見(jiàn)圖1（b）。

圖2 是不同次臨界水平下的功率增量隨反應(yīng)性引入的變化曲線。當(dāng)次臨界度為-1.372 6β時(shí)（keff=0.99），1s內(nèi)引入+1β的反應(yīng)性，由式（13）可知，1s內(nèi)相對(duì)凈增加功率約為72.7%，圖2 所示點(diǎn)堆模型計(jì)算增量為73.7%。當(dāng)次臨界度為-15.137 8β時(shí)（keff=0.90），1s內(nèi)引入+1β的反應(yīng)性，由式（13）可知，1s內(nèi)相對(duì)凈增加功率約為6.6%，圖2 所示點(diǎn)堆模型計(jì)算增量為6.2%。由圖2可知，當(dāng)次臨界度越深（keff越?。谝敕磻?yīng)性后的短時(shí)刻內(nèi)（瞬變過(guò)程結(jié)束后），堆功率增量越小，反之則越大。此外，圖2 還說(shuō)明在次臨界堆中，在短時(shí)間內(nèi)的反應(yīng)性擾動(dòng)，采用有外源的瞬跳近似，能夠精確地描述中子密度變化和功率變化。

通常情況，燃料溫度升高或降低都會(huì)引起燃料多普勒反饋，冷卻劑溫度升高或降低也會(huì)引起冷卻劑溫度反饋。用ΔkFB表示燃料反饋貢獻(xiàn)的增值因子變化量，ΔkCB表示冷卻劑反饋貢獻(xiàn)的增值因子變化量：

keff是初始有效增值因子，ΔkIN是反應(yīng)性引入貢獻(xiàn)的有效增值因子增量。由式（5）可知，keff/（1-keff） 項(xiàng)的增加，將直接導(dǎo)致功率的升高。

圖1 反應(yīng)性增量曲線Fig.1 Reactivity increment curves

圖2 功率增量隨反應(yīng)性引入變化曲線Fig.2 Core power increment over reactivity injection curves

圖3 歸一化功率增量曲線Fig.3 Normalized power increment curves

反應(yīng)堆設(shè)計(jì)中，通常依靠燃料和冷卻劑等的負(fù)反饋?zhàn)饔脕?lái)提高反應(yīng)堆的穩(wěn)定性。堆功率因正反應(yīng)性引入而增加，堆平均溫度升高，燃料和冷卻劑的負(fù)反饋效應(yīng)將引入負(fù)的反應(yīng)性。由式（5）和（14）可知，當(dāng)次臨界水平越靠近臨界時(shí)，正反應(yīng)性引入造成堆功率的相對(duì)增量越大，因此燃料和冷卻劑負(fù)反饋?zhàn)饔迷綇?qiáng)烈，導(dǎo)致功率突增后下降，如圖3 所示。反應(yīng)性的變化率為零以后，由于緩發(fā)中子的貢獻(xiàn)，堆功率最終將維持在一個(gè)最大值。因此，次臨界堆具有內(nèi)在穩(wěn)定性。次臨界度越深，偏離臨界越遠(yuǎn)，次臨界堆的內(nèi)在穩(wěn)定性越強(qiáng)。

同時(shí)，圖3 說(shuō)明有外源的瞬跳近似只是在受擾動(dòng)后很短的一段時(shí)間之后（瞬變過(guò)程結(jié)束后）才是正確的。

圖4 熱棒中心溫度變化曲線Fig.4 Hot rod central temperature response curves

圖5 堆芯出口冷卻劑溫升變化曲線Fig.5 Core outlet coolant temperature rise response curves

2.2 反應(yīng)性引入對(duì)溫度的影響

在不同次臨界度下，1s內(nèi)引入反應(yīng)性+1β，堆功率迅速增大，燃料溫度也迅速升高，圖4 為不同次臨界水平下的熱棒中心溫度隨時(shí)間的變化曲線。堆芯進(jìn)出口溫差決定了組件內(nèi)冷卻劑流量，燃料元件溫度在短時(shí)間內(nèi)升高，但組件內(nèi)冷卻劑流量在短時(shí)間內(nèi)基本不變，因此堆芯出口溫度迅速升高。熱池與冷池溫差隨時(shí)間推進(jìn)而增大，自然循環(huán)流動(dòng)增強(qiáng)，組件內(nèi)流量增大，堆芯出口冷卻劑溫度開(kāi)始下降，如圖5 所示。

結(jié)果表明：有外源的瞬跳近似能精確地描述受擾動(dòng)后很短的一段時(shí)間之后（瞬變過(guò)程結(jié)束后）中子密度和堆功率變化情況；次臨界度越深，次臨界堆對(duì)反應(yīng)性引起的擾動(dòng)的敏感性越低，堆功率增量越小，但堆功率最終都將維持在穩(wěn)定水平。

3 結(jié)論

本文采用改進(jìn)的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)程序分析了不同次臨界水平（keff=0.90，0.95，0.97，0.98和0.99）下的反應(yīng)性引入+1β的瞬態(tài)過(guò)程，并用帶外源的瞬跳近似方法與其做了對(duì)比。該研究表明：

（1）對(duì)于短時(shí)間內(nèi)的反應(yīng)性擾動(dòng)，采用有外源的瞬跳近似，能夠精確地描述中子密度變化和功率變化。但是帶外源的瞬跳近似只是在反應(yīng)性擾動(dòng)后很短的一段時(shí)間后（瞬變過(guò)程結(jié)束后）才是正確的，其可用于求解點(diǎn)堆動(dòng)態(tài)方程漸近情況下的解。

（2）次臨界堆的次臨界度越深（keff越?。谝敕磻?yīng)性后的短時(shí)刻內(nèi)（瞬變過(guò)程結(jié)束后），堆功率增量就越小，反之則越大，但最終各自都能維持在穩(wěn)定水平；與臨界堆相比，次臨界堆內(nèi)在穩(wěn)定性強(qiáng)，次臨界度越深，偏離臨界越遠(yuǎn)，反應(yīng)性引入對(duì)次臨界堆的影響就越小。

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