劉立東，宋煥生，靳 釗

(長(zhǎng)安大學(xué) 信息工程學(xué)院，西安710064)

1 引言

1990年，美國(guó)學(xué)者Pecora和Carroll提出了混沌同步理論[1]，這個(gè)理論為混沌在保密通信[2－6]、雷達(dá)[7－15]以及電子信息[16－17]等方面的應(yīng)用提供了廣闊前景。特別是在雷達(dá)方面，混沌同步為雷達(dá)信號(hào)的噪聲抑制、發(fā)射信號(hào)重構(gòu)等方面提供了簡(jiǎn)便的操作方法[13－15]。

混沌雷達(dá)是雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的幅度、相位或頻率通過(guò)混沌信號(hào)調(diào)制的雷達(dá)。測(cè)距研究是混沌雷達(dá)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。目前，已有多位學(xué)者對(duì)混沌雷達(dá)測(cè)距展開(kāi)了深入研究。文獻(xiàn)[13]提出了一種對(duì)發(fā)射、接收信號(hào)作互相關(guān)處理并根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的峰值得到目標(biāo)距離的方法，但是在作互相關(guān)處理時(shí)由于混沌信號(hào)的不確定性和未知性使得混沌雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的延遲很難實(shí)現(xiàn);為解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]提出了一種基于Chua's混沌系統(tǒng)同步的測(cè)距方法，通過(guò)比較發(fā)射信號(hào)和回波信號(hào)的相位差得到目標(biāo)的距離，但是該方法是在無(wú)噪聲的條件下實(shí)現(xiàn)的;文獻(xiàn)[15]提出了一種在低噪聲環(huán)境下基于混沌信號(hào)初始值估計(jì)重構(gòu)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的方法，并通過(guò)重構(gòu)的發(fā)射信號(hào)和回波信號(hào)作互相關(guān)處理得到目標(biāo)的距離。由于實(shí)際工程中噪聲無(wú)處不在，如何在實(shí)際工程噪聲中實(shí)現(xiàn)混沌雷達(dá)測(cè)距有待進(jìn)一步研究。

本文提出了一種在噪聲環(huán)境下通過(guò)混沌同步實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)距離測(cè)量的方法:首先，在混沌雷達(dá)發(fā)射信號(hào)中疊加一個(gè)參考正弦信號(hào);然后，讓雷達(dá)接收信號(hào)作為主控信號(hào)驅(qū)動(dòng)受控系統(tǒng)，以此產(chǎn)生和發(fā)射信號(hào)相同混沌的信號(hào)，通過(guò)這種混沌同步方法可以提取回波信號(hào)中帶有距離信息的恢復(fù)正弦信號(hào);最后通過(guò)比較參考正弦信號(hào)和恢復(fù)正弦信號(hào)的相位差得到目標(biāo)的距離。和文獻(xiàn)[14－15]相比，本文方法在噪聲環(huán)境中可以達(dá)到良好的測(cè)距效果。

2 “快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)

“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)是Carroll在2005年提出的一種新型混沌系統(tǒng)[12]。這種混沌系統(tǒng)由快速吸引子和慢速吸引子兩個(gè)部分組成，其表達(dá)式見(jiàn)式(1):

其中 ，c1～c6為常數(shù)參數(shù);x1～x3構(gòu)成快速吸引子，是“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)中的高頻部分;x4～x6是x1～x3的耦合阻尼系統(tǒng)，構(gòu)成慢速吸引子，是“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)中的低頻部分;c3是“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)中的阻尼因子，決定了低頻部分的頻率。例如，當(dāng)c3=0.01時(shí)，x4～x6的頻率是x1～x3的1%。

3 “快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)的噪聲魯棒性分析

本文研究發(fā)現(xiàn)，Carroll提出的“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)在同步時(shí)具有噪聲魯棒性，是通過(guò)系統(tǒng)中的阻尼因子實(shí)現(xiàn)的。下面給出“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)同步的噪聲魯棒原理。

令式(1)表示的混沌系統(tǒng)為主控系統(tǒng)，同步時(shí)的受控混沌系統(tǒng)見(jiàn)下式:

受控系統(tǒng)的參數(shù)和主控系統(tǒng)一致，其中的n(t)為加性高斯白噪聲(混沌雷達(dá)選取x2作為發(fā)射信號(hào)，噪聲和x2疊加)。式(2)可以改寫(xiě)成

其中，τ=c3t，當(dāng)c3→0，高頻部分y1～y3的方程可以寫(xiě)成

把式(4)代入式(3)的低頻部分(y4～y6)可以得到

式(5)的Jacobian矩陣為

從式(6)中可以看出，高頻部分y1～y3沒(méi)有出現(xiàn)，這意味著低頻部分y4～y6沒(méi)有受到加性噪聲的影響，因?yàn)榧有栽肼暿钳B加在高頻信號(hào)中(本文噪聲疊加在主控系統(tǒng)x2信號(hào)中)。事實(shí)上，低頻部分起到了窄帶濾波器的作用，當(dāng)窄帶無(wú)限窄的時(shí)候，理論上低頻部分同步時(shí)不會(huì)受到噪聲的影響。

4 基于混沌同步的噪聲魯棒測(cè)距方法

通過(guò)對(duì)“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)的研究，本文提出一種建立在混沌同步基礎(chǔ)上的新的測(cè)距方法，它和已有方法相比，其對(duì)噪聲的魯棒性更強(qiáng)。本文方法的思路如下:首先，在“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)的發(fā)射信號(hào)中疊加參考正弦信號(hào);然后，讓雷達(dá)接收信號(hào)作為主控信號(hào)驅(qū)動(dòng)受控系統(tǒng)，以此產(chǎn)生和發(fā)射信號(hào)相同混沌的信號(hào)，通過(guò)回波信號(hào)和混沌同步信號(hào)的差值可以提取回波信號(hào)中帶有距離信息的恢復(fù)正弦信號(hào);最后，通過(guò)比較參考正弦信號(hào)和恢復(fù)正弦信號(hào)的相位差得到雷達(dá)回波信號(hào)的延遲時(shí)間，并通過(guò)延遲時(shí)間得到目標(biāo)距離，參見(jiàn)圖1。

圖1 基于混沌同步的噪聲魯棒測(cè)距原理圖Fig.1 The schematic of the proposed method fortarget distance measurement

本文雷達(dá)發(fā)射信號(hào)st(t)為

其中，sin(ω1t+θ0)是疊加的參考正弦信號(hào)，ω1是固有頻率，θ0為初始相位，x2m(t)由下式?jīng)Q定:

回波信號(hào)st(t)可表示為

其中，τ表示回波的延遲時(shí)間;由于多普勒效應(yīng)的存在，ω2是不同于ω1的一個(gè)角頻率;θ1為初相;n(t)為加性高斯白噪聲。

令sr(t)為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，驅(qū)動(dòng)由下式描述的受控混沌系統(tǒng):

在無(wú)噪聲的情況下，時(shí)間累計(jì)到一定程度后，式(10)中 x2s(t－τ)和式(8)中 x2m(t－τ)的輸出趨于一致，也就是輸出達(dá)到同步。此時(shí)，sr(t)減去x2s(t－τ)理論上只含有 sin[ω2(t－τ)+θ1]這一項(xiàng)。但是考慮到噪聲的存在，則有

其中，εe為由于噪聲存在產(chǎn)生的同步誤差。從本文第三部分的分析可知，本文選取的“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)在同步時(shí)具有噪聲魯棒性，因此εe是一個(gè)很小的值。

接下來(lái)，本文詳細(xì)闡述如何通過(guò)計(jì)算參考正弦信號(hào)和通過(guò)混沌同步恢復(fù)的正弦信號(hào)的相位差來(lái)得到目標(biāo)的距離。令恢復(fù)的正弦信號(hào)為

為了獲得恢復(fù)正弦信號(hào)m(t)和參考正弦信號(hào)sin(ω1t+θ0)的相位差，本文采用了一種新方法——希爾伯特變化的方法，而不是和文獻(xiàn)[14]一樣直接在時(shí)域中提取正弦信號(hào)的相位差。其原因是:文獻(xiàn)[14]的研究背景并無(wú)噪聲，直接在時(shí)域得到兩個(gè)正弦信號(hào)相位差理論上不會(huì)產(chǎn)生誤差;而在噪聲環(huán)境下直接在時(shí)域中提取正弦信號(hào)相位差會(huì)有較大的誤差，即使同步誤差εe很小，直接在時(shí)域中得到的相位差也會(huì)有一定的誤差。接下來(lái)描述如何通過(guò)希爾伯特變化的方法得到兩正弦信號(hào)的相位差。

首先，計(jì)算得到m(t)的解析信號(hào)

其中，A(t)為 ψ(t)的幅值，θ(t)為 ψ(t)的相位，m'(t)是m(t)的希爾伯特變換，由下式描述:

其中，P.V.表示柯西主值意義下積分。因此，ψ(t)的相位為

雷達(dá)回波信號(hào)的延遲時(shí)間τ為

所以，被測(cè)目標(biāo)的距離可以通過(guò)下式得到:

其中，c為光速。

圖2 發(fā)射信號(hào)st(t)波形Fig.2 Transmitted signal st(t)

圖3 SNR=0 dB時(shí)波形Fig.3 Transmitted signal st(t)under SNR=0 dB

5 數(shù)值仿真分析

下面通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文理論的有效性。

令目標(biāo)距離為1 500 m，信噪比為0 dB，雷達(dá)信號(hào)帶寬為100 MHz，雷達(dá)發(fā)射信號(hào)st(t)由式(7)和式(8)定義，其中式(8)參數(shù) c1=0.02，c2=0.13，c3=0.01，c4=0.1，c5=0.5，c6=0.1。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，這些參數(shù)的選擇保證了“快－慢雙頻”混沌系統(tǒng)的最大李亞普諾夫指數(shù)大于0，即意味著系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。圖2是st(t)信號(hào)的波形，圖3是st(t)在0 dB噪聲背景下的波形。從圖3可以明顯看出，雷達(dá)發(fā)射信號(hào)已經(jīng)淹沒(méi)在噪聲中。接下來(lái)，使用本文的方法經(jīng)過(guò)混沌同步后恢復(fù)出的雷達(dá)回波信號(hào)sr(t)見(jiàn)圖4，從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)混沌同步后的回波信號(hào)明顯過(guò)濾了噪聲，在不考慮時(shí)延的情況下，回波信號(hào)的幅值和發(fā)射信號(hào)幅值幾乎相同。為了對(duì)比，對(duì)已有方法，比如文獻(xiàn)[14－15]的方法在相同的條件下進(jìn)行仿真，其效果圖見(jiàn)圖5和圖6。從圖5和圖6中可以看出，由于噪聲的影響，回波信號(hào)的幅值和發(fā)射信號(hào)幅值存在較大的誤差，這不利于從回波信號(hào)中準(zhǔn)確提取正弦信號(hào)的相位，因此本文提出的方法在噪聲環(huán)境下和文獻(xiàn)[14－15]相比誤差更小。

圖4 SNR=0 dB時(shí)發(fā)射信號(hào)和通過(guò)本文方法后的恢復(fù)信號(hào)Fig.4 st(t)and the recovered signal through chaotic synchronization method in this paper under SNR=0 dB

圖5 SNR=0 dB時(shí)發(fā)射信號(hào)和通過(guò)文獻(xiàn)[14]方法后的恢復(fù)信號(hào)Fig.5 st(t)and the recovered signal by using the method in Reference[14]

圖6 SNR=0 dB時(shí)發(fā)射信號(hào)和通過(guò)文獻(xiàn)[15]方法后的恢復(fù)信號(hào)Fig.6 st(t)and the recovered signal by using the method in Reference[15]

接下來(lái)，通過(guò)本文第4節(jié)中希爾伯特變換的方法得到參考正弦信號(hào)和恢復(fù)正弦信號(hào)的相位差，其仿真結(jié)果見(jiàn)圖7和圖8，其中圖8是圖7的部分放大圖。從圖8中可以明顯看出，參考正弦信號(hào)和恢復(fù)正弦信號(hào)的相位差為0.1 rad，因此通過(guò)式(16)計(jì)算得到雷達(dá)的回波時(shí)間是10－5s。最后，通過(guò)式(17)計(jì)算可以得到目標(biāo)的距離為1 500 m。

由以上分析可知，雖然文獻(xiàn)[14－15]中的方法也可以在無(wú)噪聲的條件下得到目標(biāo)的距離，但是隨著噪聲的增加，其測(cè)距效果變差，特別是當(dāng)信噪比接近0 dB或者信噪比更小的時(shí)候，其方法很難實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)距離的準(zhǔn)確測(cè)量。而本文提出的方法具有一定的噪聲魯棒性，在信噪比為0 dB甚至信噪比更小的條件下依然可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)距離的測(cè)量，這種方法為混沌雷達(dá)應(yīng)用于實(shí)際工程提供了理論支持。

圖7 參考正弦信號(hào)和恢復(fù)正弦信號(hào)的相位Fig.7 The phases of the reference signal and the recovered signal

圖8 圖7的局部方法圖Fig.8 The enlarged figure of Fig.7

6 結(jié)論

本文提出了一種基于同步的混沌雷達(dá)噪聲魯棒測(cè)距方法，并對(duì)該方法的噪聲魯棒特性進(jìn)行了分析，其原理是混沌系統(tǒng)中的低頻部分作為噪聲濾波器起到了過(guò)濾噪聲的作用。噪聲魯棒性使得本文方法在混沌同步后能夠得到恢復(fù)正弦信號(hào)的相位，并通過(guò)它和發(fā)射信號(hào)中疊加的參考正弦相位比較得到兩者的相位差，從而獲得目標(biāo)的距離。本文方法在0 dB的信噪比環(huán)境下可以準(zhǔn)確獲得目標(biāo)距離，為混沌雷達(dá)應(yīng)用于實(shí)際工程提供了理論支持?？紤]到實(shí)際雷達(dá)工作環(huán)境的信噪比往往低于－20 dB，后續(xù)的研究工作可以結(jié)合文獻(xiàn)[18]的噪聲抑制算法，先通過(guò)抑制噪聲來(lái)提高信噪比，然后再使用本文的方法得到目標(biāo)的距離。

[1]Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters，1990，64(8):821－824.

[2]Ghosh D，Banerjee S.Adaptive scheme for synchronization－based multiparameter estimation from a single chaotic time series and its applications[J].Physical Review E，2008，78(5):1－5.

[3]Wang Kai，Pei Wenjiang，Wang Shaoping，et al.Symbolic Vector Dynamics Approach to Initial Condition and Control Parameters Estimation of Coupled Map Lattices[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers，2008，55(4):1116－1124.

[4]Wang Kai，Pei Wenjiang，He Zhenya，et al.Estimating initial conditions in coupled map lattices from noisy time series using symbolic vector dynamics[J].Physical Letters A，2007，367(4－5):316－321.

[5]Leung H，Shanmugam S，Xie N.An ergodic approach for chaotic signal estimation at low SNR with application to ultra－wide－band communication[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(5):1091－1103.

[6]Jovic B，Unsworth C.Fast synchronization of chaotic maps for secure chaotic communications[J].Electronics Letters，2010，46(1):1－2.

[7]魏恒東.混沌遙測(cè)及其非合作信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)[J].電訊技術(shù)，2013，53(6):711－715.WEI Heng－dong.Chaotic Telemetry and its Non－cooperative Signal Detection and Parameters Estimation [J].Telecommunication Engineering，2013，53(6):711－715.(in Chinese)

[8]LIU Li－dong，HU Ji－feng，HE Zi－shu，et al.A Velocity Measurement Method Based on Scaling Parameter Estimation of Chaotic System[J].Metrology and Measurement System，2011，18(2):275－282.

[9]Venkatasubramanian V，Leung H.A novel chaos－based high－resolution imaging technique and its application to through－the－wall imaging[J].IEEE Signal Processing Letters，2005，12(6):528－531.

[10]Kulpa K，Lukin K，Miceli W，et al.Editorial Signal Processing in Noise Radar Technology[J].IET Radar，Sonar and Navigation，2008，2(4):229－232.

[11]Carroll T L.Noise－resistant chaotic synchronization[J].Physical Review E，2001，64(1):1－8.

[12]Carroll T L.Chaotic systems that are robust to added noise[J].Chaos，2005，15(1):1－7.

[13]Shi Z，Qiao S，Chen K S.Ambiguity functions of direct chaotic radar employing microwave chaotic Colpitts oscillator[J].Progress In Electromagnetics Research，2007，77:1－14.

[14]Alonge F，Branciforte M，Motta F.A novel method of distance measurement based on pulse position modulation and synchronization of chaotic signals using ultrasonic radar systems[J].IEEE Transactions on Instrument and Measurement，2009，58(2):318－329.

[15]Lidong L，Jinfeng H，Zishu H.Chaotic signal reconstruction with application to noise radar system[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2011，1(2):1－8.

[16]Lidong L，Jinfeng H，Zishu H.A Robust Controller for Synchronization of Chaotic System[J].Journal of Optoelectronics and Advanced Materials，2011，13(4):354－358.

[17]劉嘉興，文吉.Ka頻段混沌擴(kuò)頻測(cè)控系統(tǒng)的設(shè)想[J].電訊技術(shù)，2009，49(5):33－37.LIU Jia－ xing，WEN Ji.Conception for a Ka－ band chaotic spread spectrum TT＆C system[J].Telecommunication Engineering，2009，49(5):33－ 37.(in Chinese)

[18]Travassos X L，Vieira D，Palade V，et al.Noise Reduction in a Non－Homogenous Ground Penetrating Radar Problem by Multiobjective Neural Networks[J].IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(5):1454－1457.