周任軍，李紹金，李紅英，康信文，劉樂平，周勝瑜

（長沙理工大學 智能電網運行與控制湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410114）

0 引言

經濟負荷分配ELD（Economic Load Dispatch）是在滿足系統(tǒng)負荷和運行約束條件的前提下，電力系統(tǒng)或電廠內合理分配各機組負荷，使發(fā)電成本最小化的電力系統(tǒng)典型優(yōu)化問題。由于環(huán)保問題受到重視，其優(yōu)化目標中不僅考慮發(fā)電燃料成本或市場經濟，并且考慮 CO2、NOx和 SO2等排放最小[1]。

在經濟調度優(yōu)化問題的計算方法中，智能算法由于對變量和函數(shù)不要求連續(xù)可微，在解決非線性、非凸性、不連續(xù)優(yōu)化問題中得到了廣泛的應用和認可[2]。但其計算結果隨機性較大，算法全局收斂性較差。因此，在基本智能算法的基礎上，形成了結合遺傳算法全局搜索能力強和禁忌搜索爬山能力強的優(yōu)勢的混合算法[3]；但是這類混合算法計算量大、時間較長，并且隨機性問題難以得到改善，使得其難以勝任實時在線調度優(yōu)化問題。粒子群優(yōu)化PSO（Particle Swarm Optimization）算法由于其快速、簡便而被逐漸應用和改進。引入隨機變異算子[4]、融入禁忌搜索思想[5]、采用自適應變異算子的自調節(jié)[6]、隨機黑洞處理與聚類[7]等方法引入了全局搜索信息，增加了解的多樣性；而改進的混沌粒子群優(yōu)化算法則通過修正粒子群迭代的行動策略，并引入混沌映射，加強了適應度值較優(yōu)的粒子的全局搜索能力[8]。這些文獻主要是改進了解的搜索方式或者融合了其他算法的優(yōu)勢，在一定程度改善了過早收斂的缺陷，但效果不太令人滿意，并且計算結果的隨機性問題仍很突出。

這些粒子群優(yōu)化算法及其改進均是通過速度和位置2類參數(shù)對多維的控制變量進行尋優(yōu)和修正，其尋優(yōu)過程有如在綿延山群中，站在每個山腰均容易得到所在山頭的制高點，即局部最優(yōu)點；但是若要尋求整個山脈的最高處，則需要空中俯視，改變尋優(yōu)視角。因此，可通過增加一類參數(shù)，即高度參數(shù)，將高度與速度、位置共同組成一個尋優(yōu)空間，探索一種新型的空間粒子群優(yōu)化SPSO（Space Particle Swarm Optimization）算法。

空間粒子群中高度參數(shù)的引入，使所有粒子移動的方向和距離都是由其速度和高度共同決定，構成位置、速度、高度3類參數(shù)空間；此時群體中的所有粒子對應的每一維變量均跟隨最優(yōu)粒子對應變量在一個全新的空間解域內搜尋，可有效解決算法易陷入局部最優(yōu)、收斂過早的缺陷，同時粒子群在高度參數(shù)的作用下，易于跳出早熟區(qū)間，并且降低尋優(yōu)隨機性。

1 環(huán)保經濟負荷分配數(shù)學模型

1.1 發(fā)電燃料成本

發(fā)電燃料成本是指發(fā)電機組在發(fā)電過程中燃料消耗花費，單臺發(fā)電機一般可用二次函數(shù)近似表示為：

其中，C（Pi）為第 i臺發(fā)電機燃料消耗費用（$/h）；Pi為第i臺發(fā)電機的有功功率；N為系統(tǒng)發(fā)電機總數(shù)；αi、βi、γi為第 i臺發(fā)電機燃料消耗特性曲線參數(shù)（已經折算成錢），均為常數(shù)。由此系統(tǒng)總燃料花費f1（$/h）可表示：

1.2 環(huán)境成本

將污染氣體綜合排放量與對應氣體單位排放價格之積作為環(huán)境成本，污染氣體主要包括CO2、SO2、NOx等，通過排放量和折價標準折算出環(huán)境成本[9]。則在單位時間內所產生的各類污染氣體排放量（t/h）分別為：

其中，eCi（Pi）、eSi（Pi）、eNi（Pi）分別為第 i臺發(fā)電機單位時間內 CO2、SO2、NOx的排放量；aCi、bCi、cCi、εCi和 λCi為第 i臺發(fā)電機 CO2的排放參數(shù)（均為常數(shù)）；aSi、bSi、cSi、εSi和 λSi為第 i臺發(fā)電機 SO2的排放參數(shù)（均為常數(shù)）；aNi、bNi、cNi、εNi和 λNi為第 i臺發(fā)電機 NOx的排放參數(shù)（均為常數(shù)）。由此可得整個系統(tǒng)單位時間內污染氣體總的排放罰款，即環(huán)境成本f2（元/h）可表示為：

其中，ωC、ωS、ωN分別為 CO2、SO2、NOx對應的環(huán)境價值與由于排放所受到的罰款。

1.3 環(huán)保經濟負荷分配優(yōu)化模型

1.3.1 目標函數(shù)

環(huán)保經濟負荷分配的目標是使系統(tǒng)發(fā)電燃料成本與環(huán)境成本之和達到最小值。因此，其優(yōu)化目標函數(shù)可表示為：

其中，f為系統(tǒng)總的發(fā)電綜合成本（$/h）。

1.3.2 約束條件

a.發(fā)電機有功功率約束為：

其中，Pmaxi、Pmini分別為第i臺發(fā)電機有功功率的上、下限值。

b.系統(tǒng)功率平衡約束為：

其中，Ploss、PD分別為系統(tǒng)的總網損和總負荷。另外，在處理等式約束（功率平衡約束）時，采用待定消元法將等式約束轉換為不等式約束。任選一個發(fā)電機組，以第1臺為例，可將式（9）變形為如下形式：

將式（10）分別代入到目標函數(shù)和不等式約束中，就可以消除等式約束，得到新的目標函數(shù)和不等式約束，這樣不僅可以精確地處理等式約束，而且還減少了優(yōu)化處理時變量的維數(shù)。

c.機組旋轉備用容量約束為：

其中，SD為系統(tǒng)總的備用容量。

2 空間粒子群優(yōu)化算法

2.1 經典粒子群優(yōu)化算法及其改進

粒子群優(yōu)化算法是人們受到社會體系中個體行為的啟示而提出的一種優(yōu)化算法，它通過群體的信息共享與個體自身經驗的總結來修正個體行動策略，最終求取優(yōu)化問題的解[10-12]。

在粒子群優(yōu)化算法中，每個優(yōu)化問題的未知解都可以作為搜尋范圍內的一個點，即粒子。每個粒子都對應一個取決于待優(yōu)化函數(shù)的適應度值，所有粒子移動的方向和距離都是由其速度決定的，并且群體中的所有粒子均跟隨最優(yōu)粒子在一個平面解域內搜尋。每次速度和位置的更新原則如下[13-15]：

其中，i=1，2，…，m（m 為種群規(guī)模）；j=1，2，…，D（D為未知量的個數(shù)）；c1和c2為學習因子；vkij、vkij+1分別為粒子i對應第j個變量在第k次、第k+1次修正時對應的速度；xikj、xkij+1分別為粒子i對應第j個變量在第k次、第k+1次修正時對應的位置；pikj為粒子i對應第j個變量在第k次修正時個體最優(yōu)位置；pkgj為整個群體對應第j個變量在第k次修正時全局最優(yōu)位置；r1、r2為介于0～1之間均勻分布的隨機數(shù)。經典粒子群優(yōu)化算法中慣性權重采用線性遞減修正方式來更新權重值，具體修正模式如下[16]：

其中，ωk與ωk+1分別為粒子在第k次和第k+1次尋優(yōu)所對應的慣性權重值；ωmax為最大慣性權重，通常經驗取值為0.9；ωmin為最小慣性權重，通常經驗取值為0.4；Kmax為預先設定的最大迭代次數(shù)。

經典粒子群優(yōu)化算法雖然依賴經驗參數(shù)少、操作原理簡單、收斂速度快，但有易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不高、優(yōu)化結果隨機性大等缺陷。對此，相關研究主要從改進粒子自身速度修正方式或引入變異、擾動等改善全局搜索能力、增加粒子多樣性；同時也與遺傳算法、混沌優(yōu)化等智能算法結合使用。

2.2 空間粒子群優(yōu)化算法

與經典粒子群優(yōu)化及其改進算法不同，所提出的空間粒子群優(yōu)化算法不是在速度和位置等方面改進搜索，也不是重復經典粒子群優(yōu)化算法的多維變量尋優(yōu)空間；而是通過對每個粒子優(yōu)化變量矩陣的每一分量附加一組高度參數(shù)，并與原來的位置和速度共同構成一個包含位置、速度和高度3類參數(shù)的參數(shù)空間；這樣使得每個待優(yōu)化變量由原來在以位置x和速度v所組成的平面域內尋優(yōu)轉變?yōu)樵谝粋€由位置x、速度v和高度h組成的全新空間域內尋優(yōu)，即x－v－h(huán) 空間。 對于每一個粒子都對應一組（x，v，h），同時，位置x、速度v和高度h三者的更新策略也是相互影響的。此時，位置的修正方式發(fā)生了變化，按式（15）來更新。

其中，vk+1ij為粒子i對應第j個變量在第k+1次修正時對應的速度；hk+1ij為粒子i對應第j個變量在第k+1次修正時對應的高度。而速度的修正方式沒有發(fā)生改變，同樣根據式（12）來更新。

考慮到經典粒子群優(yōu)化算法中粒子速度的更新已經融入隨機優(yōu)化理論，為了降低優(yōu)化結果的隨機性，高度參數(shù)h的更新不再引入隨機理論，而是通過比較相鄰2次優(yōu)化結果對應的適應度值是否相等來選擇高度修正方式。若當前粒子的適應度值與上一次尋優(yōu)結果對應的適應度值相等，則根據當前適應度以及平均適應度來調整高度，具體更新方式如式（16）所示；否則維持高度不變。隨著尋優(yōu)過程的進行，當前后2次尋優(yōu)結果相同時，對高度值進行調整，使其跳到另一個尋優(yōu)區(qū)域，這樣可以避免經典粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)解而不能跳出來的缺點；同時保證了搜索的全面性，增強了全局搜索能力；由于在高度修正策略中也綜合考慮了整個群體的適應度值，這也保證了粒子的多樣性。

其中，fkfitnessi為粒子i在第k次修正時所對應的適應度值；fkav為所有粒子在第k次修正時所對應的平均適應度值；Pgk為所有粒子在第k次修正時所對應的最優(yōu)適應度值；hikj、hkij+1分別為粒子i對應第j個待優(yōu)化變量在第k次、第k+1次修正時對應的高度；lj為第j個變量對應的可行區(qū)間的長度。

綜上所述，粒子i所對應的第j個待優(yōu)化變量（xij，vij，hij），速度 vij側重于調節(jié)粒子位置 xij的變化，僅決定著粒子位置xij的改變；若尋優(yōu)前后2次結果所對應的適應度值不同，則hij保持不變，而此時位置xij將隨著vij的變化而改變，即此時粒子等同于在一個縱向距離（高度）為hij、由x-v所組成的平面區(qū)域內尋優(yōu)；否則，高度hij將按式（16）更新，此時原先由x-v所組成的平面區(qū)域的高度hij發(fā)生了改變。由此可以看出，高度hij不僅決定著粒子位置xij的變化，還控制著粒子速度vij和位置xij所構成尋優(yōu)平面區(qū)域的縱向變化，可以使粒子跳出局部最優(yōu)區(qū)域，進而到達一個新的尋優(yōu)區(qū)域。

2.3 空間粒子群優(yōu)化算法的基本步驟

運用空間粒子群優(yōu)化算法解決實際問題的基本步驟如下所述。

a.參數(shù)的設定。最大迭代次數(shù)Kmax、粒子個數(shù)m、變量個數(shù)D、慣性權重ωmax和ωmin、學習因子c1和c2等參數(shù)設定。

b.初始化。每個粒子的位置、速度、高度、個體極值、全局極值初始化；對于適應度函數(shù)的確定，文中直接以目標函數(shù)作為適應度函數(shù)，則有：

c.數(shù)據更新。 根據式（12）、（15）、（16）分別更新每個粒子的速度 vij、位置 xij、高度 hij。

d.根據適應度評價函數(shù)更新數(shù)據。

e.判斷是否滿足終止條件。若不滿足，返回步驟c；若滿足，執(zhí)行步驟 f。

f.計算結束，輸出結果。

3 算例仿真結果分析

3.1 算例與參數(shù)處理

選取IEEE 30節(jié)點標準測試系統(tǒng)[17-18]為例，分別采用經典粒子群優(yōu)化和空間粒子群優(yōu)化算法進行環(huán)保經濟調度的仿真計算。其中，系統(tǒng)的總負荷值PD=283.4 MW，系統(tǒng)的單線圖見文獻[19]，6個發(fā)電機組參數(shù)如表1所示。鑒于IEEE 30節(jié)點標準測試系統(tǒng)只給出了CO2的排放參數(shù)，因此文章計算環(huán)境成本時僅考慮了CO2的排放部分，其各機組CO2的排放參數(shù)如表2所示。取粒子種群規(guī)模m=40；學習因子c1、c2均取 1.5；慣性權重取 ωmax=0.9，ωmin=0.4；最大迭代次數(shù)為100次；旋轉備用容量取符合需求的5%。并按電力行業(yè)排放標準設定各類污染氣體單位排放量罰款，具體取值情況見文獻[20]。

表1 發(fā)電機基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of generator

表2 機組的CO2排放參數(shù)Tab.2 CO2emission parameters of unit

3.2 仿真結果分析

針對上述案例分別采用經典粒子群優(yōu)化算法、文獻[4]中的改進粒子群優(yōu)化（IPSO）算法和空間粒子群優(yōu)化算法進行優(yōu)化，在同等條件下，各自獨立計算50次，其總成本的優(yōu)化結果如圖1所示。

圖1 綜合成本優(yōu)化結果分布Fig.1 Distribution of comprehensive cost optimization results

從仿真結果圖1中可以看出，空間粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化結果的隨機性明顯小于經典粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化結果的隨機性，同時也小于改進粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化結果的隨機性。分別對50次獨立計算求得的總成本取平均值可求得：空間粒子群優(yōu)化算法算得的綜合成本為553.34$/h，粒子群優(yōu)化算法算得的綜合成本為572.46$/h，改進粒子群優(yōu)化算法算得的綜合成本為560.37$/h?？梢园l(fā)現(xiàn)空間粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化結果明顯比粒子群優(yōu)化算法和改進粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化結果更小，即更經濟環(huán)保。此外，50次獨立計算各機組出力的統(tǒng)計優(yōu)化結果如表3所示。

表3 機組出力優(yōu)化結果Tab.3 Results of unit output power optimization

從表3中可以看出，空間粒子群優(yōu)化算法所求得各發(fā)電出力優(yōu)化結果的隨機性也小于粒子群優(yōu)化算法和改進粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化結果的隨機性，這也進一步驗證了空間粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化結果較高的準確性。

為了體現(xiàn)空間粒子群優(yōu)化算法在優(yōu)化性能上的優(yōu)勢，選取了一次完成尋優(yōu)過程的對比，三者的尋優(yōu)過程如圖2所示，圖中適應度值為標幺值，后同。

圖2 不同算法收斂情況對比Fig.2 Comparison of convergence conditions by different algorithms

從圖2中可以看出，空間粒子群優(yōu)化算法在一定程度上比文獻[4]中改進粒子群優(yōu)化算法更好地緩解了粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)且難以跳出來、導致過早收斂的缺陷。從圖2中可以看出，對于較為復雜的系統(tǒng)，空間粒子群優(yōu)化算法對比改進粒子群優(yōu)化算法和粒子群優(yōu)化算法優(yōu)勢更加明顯。在收斂性能方面，粒子群優(yōu)化算法在迭代不到20次就陷入了局部最優(yōu)而且不能自我調整跳出局部最優(yōu)區(qū)域；改進粒子群優(yōu)化算法雖然在前面部分跳出了局部最優(yōu)區(qū)域，但是也在不到25次又陷入了新的局部最優(yōu)；而空間粒子群優(yōu)化算法出現(xiàn)了非常明顯多次自我調整的現(xiàn)象，跳出局部最優(yōu)區(qū)域，而且也在尋優(yōu)不到30次就找到了全局最優(yōu)解，獲得了更好更精確的目標值，這也進一步展現(xiàn)了其良好的收斂特性和快速穩(wěn)定的尋優(yōu)性能，較好地解決粒子群優(yōu)化算法容易陷入早熟且難以跳出局部最優(yōu)區(qū)域的缺陷。

另外，圖3給出獨立計算50次情況下每次CPU所消耗的時間對比。從圖3可見，空間粒子群優(yōu)化算法雖然在粒子群優(yōu)化算法的基礎上增加高度參數(shù)，但對計算時間影響不大。在同等條件下，分別求得空間粒子群優(yōu)化算法的CPU平均耗時為1.4702 s，改進粒子群優(yōu)化算法的CPU平均耗時為2.4185 s，經典粒子群優(yōu)化算法的CPU平均耗時為1.2623 s。文獻[4]中空間粒子群優(yōu)化算法最耗費時間，以犧牲計算時間來提高計算精度，而空間粒子群優(yōu)化算法和粒子群優(yōu)化算法僅相差0.2019 s，幾乎不影響計算速度。通過算例分析結果表明：與改進粒子群優(yōu)化算法相比，空間粒子群優(yōu)化算法進一步增強了全局搜索能力，較好地改善了早熟的缺陷；其優(yōu)化結果的隨機性更小，提高了計算結果的可信性；盡管引入了高度參數(shù)，但對計算時間幾乎沒有影響。

圖3 計算時間對比Fig.3 Comparison of computation time

3.3 檢測函數(shù)分析

為了進一步體現(xiàn)所提出的空間粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)越性，選取了一個典型多峰值函數(shù)Rosenkbrock來進行測試，其函數(shù)具體表達式如下式所示：

該函數(shù)在 xi?（－5.12，5.12）范圍內大約存在 10n個局部最小值。針對以上測試函數(shù)初始化空間粒子群優(yōu)化算法參數(shù)：粒子數(shù)m取40個；變量數(shù)n取20個；最大迭代次數(shù)取 1000 次；ωmax取 0.9；ωmin取 0.4。計算結果如圖4所示。

圖4 收斂情況對比Fig.4 Comparison of convergence condition

從圖4中可以看出，對于含多峰值的優(yōu)化問題，粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化性能顯著下降，過早陷入局部最優(yōu)，導致很難找到全局最優(yōu)解；改進粒子群優(yōu)化算法雖然相比經典粒子群優(yōu)化算法尋優(yōu)性能有所改進，但是其最終尋優(yōu)結果精確度不高；而空間粒子群優(yōu)化算法尋優(yōu)性能優(yōu)勢明顯，仍然可以找到最優(yōu)解，而且非常穩(wěn)定趨向于最優(yōu)解，可以找到更好的目標值，使得其尋優(yōu)精度高。由此進一步體現(xiàn)了空間粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)越性。

4 結論

針對經典粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部收斂而早熟的問題，本文提出了具備空間尋優(yōu)能力的空間粒子群優(yōu)化算法，并應用于求解電力系統(tǒng)環(huán)保經濟負荷分配的問題，獲得了滿意結果。

空間粒子群優(yōu)化算法通過引入一類高度參數(shù)，使粒子的移動由其高度和速度共同決定，對應的每個待優(yōu)化變量由高度、速度和位置3類參數(shù)來尋優(yōu)，粒子在一個新的具有高度維度的空間解域內搜尋。通過比較粒子當前適應度值與平均適應度值來決定高度的修正方式，提高了全局收斂性，增強了全局尋優(yōu)能力，可以有效地跳出局部最優(yōu)空間。

仿真結果表明，對比經典粒子群優(yōu)化算法和改進粒子群優(yōu)化算法，本文方法易于跳出早熟區(qū)間，并可極大減少計算結果的隨機性；迭代次數(shù)并未顯著增加，收斂時間相對較短，對優(yōu)化變量的可微性要求不高。因此所提出的空間粒子群優(yōu)化算法在解決非線性、非凸性、不連續(xù)的優(yōu)化問題中同樣具有有效性和優(yōu)越性。