李 江 ，李國慶 ，鄒 維 ，張 浩 ，姚衍明

（1.東北電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院，吉林 吉林 132012；2.美國賽康科技公司，上海 200051；3.蕭山電業(yè)局，浙江 杭州 311201）

0 引言

電力系統(tǒng)是典型的非線性時變系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)運行狀態(tài)發(fā)生變化，模型參數(shù)可能變化，同步發(fā)電機(jī)的勵磁控制策略也應(yīng)相應(yīng)調(diào)整。在線性最優(yōu)勵磁控制中，若采用固定增益的最優(yōu)勵磁控制器，當(dāng)運行狀態(tài)變化后系統(tǒng)極有可能產(chǎn)生新的穩(wěn)定問題。已有文獻(xiàn)指出，即使系統(tǒng)的特征值實部全部為負(fù)，非線性環(huán)節(jié)引起的分岔也會導(dǎo)致系統(tǒng)特性和狀態(tài)發(fā)生突變，小擾動也會產(chǎn)生增幅振蕩，造成小擾動不穩(wěn)定[1-2]，出現(xiàn)復(fù)雜非線性動態(tài)行為[3]。

小擾動穩(wěn)定域是指一組穩(wěn)態(tài)運行點的集合，這些穩(wěn)態(tài)運行點本身是小擾動穩(wěn)定的[4-6]。有文獻(xiàn)指出，小擾動穩(wěn)定域的邊界可能包含Hopf分岔HB（Hopf Bifurcation）[6-9]、鞍結(jié)點分岔 SNB（Saddle-Node Bifurcation）[10-11]和奇異誘導(dǎo)分岔 SIB（Singularity Induced Bifurcation）3 種界面[12]，而運行參數(shù)、負(fù)荷模型等都會對界面特征產(chǎn)生影響[13-16]。但分岔理論在處理非線性環(huán)節(jié)上存在計算難題。為解決此問題，文獻(xiàn)[17]針對控制器飽和與擾動的線性模型，提出了基于二次型李雅普諾夫函數(shù)的吸引域估計方法；文獻(xiàn)[18]進(jìn)一步提出了以橢球吸引域體積為指標(biāo)確定小擾動穩(wěn)定域邊界的新算法，分析了負(fù)荷模型對小擾動穩(wěn)定域的影響。

本文運用文獻(xiàn)[18]提出的方法，計算了采用固定增益勵磁控制器的小擾動穩(wěn)定域，考慮勵磁飽和環(huán)節(jié)，對比了固定增益與變增益下的小擾動穩(wěn)定域，研究了2種控制下的小擾動穩(wěn)定問題，這對發(fā)電機(jī)勵磁控制器設(shè)計和電力系統(tǒng)安全域分析具有重要的理論和實際意義。

1 傳統(tǒng)控制下小擾動穩(wěn)定域邊界的計算

動態(tài)電力系統(tǒng)可寫為：

其中，x為動態(tài)狀態(tài)變量，如發(fā)電機(jī)的功角、角速度等；y為代數(shù)狀態(tài)變量，如網(wǎng)絡(luò)潮流計算的節(jié)點電壓幅值、相角等；p為控制參數(shù)變量，如節(jié)點負(fù)荷、控制器增益、時間常數(shù)等；f為描述發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運動方程、電磁暫態(tài)過程、勵磁調(diào)節(jié)器（PI控制）動態(tài)過程等的非線性方程組；g為網(wǎng)絡(luò)的潮流代數(shù)方程組。

將系統(tǒng)式（1）在平衡點（x0，y0，p0）上線性化，得到下列微分代數(shù)方程組：

其中，Jsys為動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣。

根據(jù)控制參數(shù)變量p，系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定域Ω可定義為[5]：

Ω=｛pJsys的特征根實部為負(fù)并且Δyg可逆｝

因此，小擾動穩(wěn)定域的邊界?Ω由上述3類分岔點的閉包組成：

其中，pSNB、pSIB、pHB為控制變量。

為保守獲得小擾動穩(wěn)定域，可用算法1實現(xiàn)[6]：

a.選擇構(gòu)造穩(wěn)定域的參數(shù)空間，假定系統(tǒng)中的其他參數(shù)不變；

b.確定參數(shù)空間中一個小擾動穩(wěn)定的運行平衡點，作為搜索穩(wěn)定域邊界的初始點；

c.在參數(shù)空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準(zhǔn)靜態(tài)地改變參數(shù)變量，得到一系列新的系統(tǒng)平衡點，并對每一個平衡點計算動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣特征值；

d.當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)一對共軛純虛特征值且其余特征值均有負(fù)實部時，系統(tǒng)發(fā)生HB，記錄此時的參數(shù)，該點即為小擾動穩(wěn)定域的邊界點；

e.改變步驟c中搜索邊界點所用的射線方向，重復(fù)步驟c、d，得到新的邊界點。

2 采用固定增益的小擾動穩(wěn)定域計算

實際運行的系統(tǒng)中控制變量u不可能無限大，其必然在一個安全范圍內(nèi)。若采用狀態(tài)反饋控制，F(xiàn)i為反饋增益矩陣F∈Rm×n的第i個行向量，可定義飽和函數(shù)：

其中，u0i為勵磁頂值。其關(guān)系也可用圖1直觀表示。

圖1 飽和環(huán)節(jié)的非線性特性Fig.1 Nonlinearity of saturation element

若計及飽和環(huán)節(jié)，控制律 u=fsat（FΔx），則閉環(huán)線性系統(tǒng)為：

其中，A∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣；B∈Rn×m為控制矩陣。

為獲得系統(tǒng)式（5）的橢球吸引域可用如下定理。

定理 1[19]：對系統(tǒng)式（5），若控制輸入 u 有界，有頂值 ri，并且 u0i=ri（i=1，2，…，m），滿足飽和函數(shù)式（4）的最大橢球吸引域 ε（Q-1，1）可通過求解下列以 Q ∈Rn×n、S=diag（s1，s2，…，sm）為變量的凸優(yōu)化問題得到：

其中，Ar=A+BTrF，Bpr=BRr，Tr=diag（ρ1，ρ2，…，ρm），Rr=diag（δ1，δ2，…，δm），ρi=（1+1 /ri）/2，δi=（1-1 /ri）/2。

式（6）的優(yōu)化問題可以借助于MAXDET軟件①WU S P，VANDENBERGHE L，BOYD S.MAXDET：software for determinant maximization problems-user’s guide.1996.實現(xiàn)求取的橢球吸引域最大化。由于在式（3）表示的小擾動穩(wěn)定域內(nèi)部不會發(fā)生HB、SNB和SIB，因此使用矩陣不等式方法計算飽和系統(tǒng)的橢球吸引域時，式（6）可能有解也可能無解。若有解則說明該運行點計及飽和環(huán)節(jié)后是小擾動穩(wěn)定的，否則說明系統(tǒng)計及飽和環(huán)節(jié)后是小擾動不穩(wěn)定的。根據(jù)該思想，要計算固定增益的小擾動穩(wěn)定域，在算法3的步驟c中去掉設(shè)計控制器的步驟，形成如下算法2：

a．與算法1中步驟a相同；

b．與算法1中步驟b相同；

c．與算法1中步驟c相同；

d．根據(jù)式（6）計算飽和系統(tǒng)的橢球吸引域，當(dāng)橢球吸引域不存在或小于橢球吸引域體積指標(biāo)，則認(rèn)為系統(tǒng)小擾動不穩(wěn)定，該點即為小擾動穩(wěn)定域的邊界點；

e．改變步驟c中搜索邊界點所用的射線方向，重復(fù)步驟c、d，得到新的邊界點。

3 采用變增益的小擾動穩(wěn)定域計算

為計算變增益的小擾動穩(wěn)定域，在算法2步驟d中設(shè)計最優(yōu)控制器[20]，形成如下算法3。

a．與算法1中步驟a相同。

b．與算法1中步驟b相同。

c．在參數(shù)空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準(zhǔn)靜態(tài)地改變參數(shù)變量，得到新的系統(tǒng)平衡點，設(shè)計該點的最優(yōu)勵磁控制律。根據(jù)式（6）計算飽和系統(tǒng)的橢球吸引域，當(dāng)橢球吸引域不存在或過小，系統(tǒng)小擾動不穩(wěn)定，該點即為小擾動穩(wěn)定域的邊界點。

d．與算法1中步驟e相同。

與算法2采用初始點的最優(yōu)勵磁控制律相比，算法3在運行點改變時最優(yōu)勵磁控制律相應(yīng)改變，增加了計算量，但能夠根據(jù)運行狀態(tài)的變化動態(tài)調(diào)整控制律。

4 算例分析

算例采用WSCC-3機(jī)9節(jié)點系統(tǒng)，其模型見文獻(xiàn)[21]。勵磁系統(tǒng)采用標(biāo)準(zhǔn)的IEEE DC1A模型，負(fù)荷采用恒阻抗模型，選取發(fā)電機(jī)G2、G3的有功功率P2、P3作為注入空間的參數(shù)變量，利用算法1（即HB）獲得圖2所示的小擾動穩(wěn)定域邊界點，圖中P2、P3為標(biāo)幺值，后同。

圖2 傳統(tǒng)勵磁控制下的小擾動穩(wěn)定域Fig.2 Small signal stability region of conventional excitation control

根據(jù)文獻(xiàn)[20]提供的反饋增益設(shè)計方法，各臺發(fā)電機(jī)勵磁的固定增益控制律為：

與HB相比，飽和系統(tǒng)的吸引域可以提供更加多元的信息。采用上述固定增益的最優(yōu)勵磁控制，在算法2的步驟d中，以橢球體的體積作為判斷橢球吸引域大小的指標(biāo)，取臨界點體積指標(biāo)Vcr分別為0.01 p.u.和 0.015 p.u.，勵磁頂值 u0i=5，獲得的小擾動穩(wěn)定域如圖3所示。系統(tǒng)運行過程中，如果系統(tǒng)安全域太小，系統(tǒng)將無法實際運行。從圖3中可見，采用固定增益的小擾動穩(wěn)定域大小會隨著體積指標(biāo)的增大而減小，其形狀也相應(yīng)發(fā)生變化。采用固定增益的小擾動穩(wěn)定域非常小，當(dāng)超出該運行點時極有可能發(fā)生振蕩等小擾動不穩(wěn)定事故。

圖3 固定增益最優(yōu)勵磁控制下的小擾動穩(wěn)定域Fig.3 Small signal stability region of optimal excitation control with fixed gain

利用算法3獲得圖4所示的小擾動穩(wěn)定域邊界點。當(dāng)系統(tǒng)運行點發(fā)生變化時，最優(yōu)勵磁控制動態(tài)調(diào)整，其獲得的小擾動穩(wěn)定域與傳統(tǒng)PI控制的小擾動穩(wěn)定域類似，明顯比固定增益的小擾動穩(wěn)定域大。

圖4 變增益最優(yōu)勵磁控制下的小擾動穩(wěn)定域（Vcr=0.005 p.u.）Fig.4 Small signal stability region of optimal excitation control with variable gain（Vcr=0.005 p.u.）

5 結(jié)論

線性最優(yōu)勵磁控制器采用給定運行點的線性化模型進(jìn)行設(shè)計。理論上，利用該模型設(shè)計的最優(yōu)勵磁控制器只能保證在給定點處滿足最優(yōu)性能指標(biāo)，即給定點是最優(yōu)控制，在其他運行點為次最優(yōu)控制。在以往實驗和仿真研究中，采用固定增益的線性最優(yōu)勵磁的控制器能獲得較滿意的控制效果。本文通過對比固定增益與變增益的小擾動穩(wěn)定域，指出與變增益的小擾動穩(wěn)定域相比，固定增益的小擾動穩(wěn)定域偏小。因此，為了保證系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性，有必要根據(jù)運行點的變化采用變增益控制策略，否則可能產(chǎn)生小擾動穩(wěn)定問題。