陳 亮 ，顧雪平，賈京華

（1.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003；2.河北電力調(diào)度通信中心，河北 石家莊 050021）

0 引言

電力系統(tǒng)大停電后的黑啟動(dòng)恢復(fù)可分為初期黑啟動(dòng)階段和系統(tǒng)后續(xù)恢復(fù)階段[1-2]。黑啟動(dòng)階段是整個(gè)恢復(fù)過(guò)程的基礎(chǔ)和前提[3]，同時(shí)合理的黑啟動(dòng)方案能有效地加快后續(xù)網(wǎng)架重構(gòu)、負(fù)荷恢復(fù)的進(jìn)程。由于目前黑啟動(dòng)電源能提供較大的初始啟動(dòng)功率和吸收多條恢復(fù)路徑上的充電無(wú)功功率，可以在黑啟動(dòng)階段同時(shí)啟動(dòng)多臺(tái)被啟動(dòng)機(jī)組，因此文獻(xiàn)[4]提出一種黑啟動(dòng)電源同時(shí)啟動(dòng)多個(gè)待啟動(dòng)電廠的擴(kuò)展黑啟動(dòng)的恢復(fù)策略，與1個(gè)黑啟動(dòng)電源僅啟動(dòng)1個(gè)待啟動(dòng)電廠的常規(guī)黑啟動(dòng)方案相比，更利于后續(xù)網(wǎng)架的重構(gòu)進(jìn)程，進(jìn)而加快整個(gè)系統(tǒng)的全面恢復(fù)。因此相比傳統(tǒng)黑啟動(dòng)方案，擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案中的初期黑啟動(dòng)階段和系統(tǒng)后續(xù)恢復(fù)階段存在重疊，聯(lián)系也更加緊密，擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的優(yōu)劣不僅要看初期黑啟動(dòng)小系統(tǒng)恢復(fù)的效果，還要對(duì)系統(tǒng)的后續(xù)恢復(fù)最為有利。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)黑啟動(dòng)階段的研究工作集中在黑啟動(dòng)階段的技術(shù)問(wèn)題、實(shí)際電網(wǎng)的黑啟動(dòng)預(yù)案及試驗(yàn)研究和黑啟動(dòng)方案評(píng)估3個(gè)方面[5-7]，但都以黑啟動(dòng)階段的初期恢復(fù)效果為目標(biāo)，并且文獻(xiàn)[4]擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案優(yōu)化也只考慮了擴(kuò)展黑啟動(dòng)的初期小系統(tǒng)的加權(quán)發(fā)電量最大化?？梢?jiàn)，上述黑啟動(dòng)方案都沒(méi)有將系統(tǒng)后期恢復(fù)的影響納入黑啟動(dòng)方案的目標(biāo)集，因此目前的黑啟動(dòng)方案并不能保障對(duì)后續(xù)恢復(fù)進(jìn)展最為有利，不能全局性地優(yōu)化擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的恢復(fù)效果。

在求得多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集后，還需要根據(jù)決策者的偏好和實(shí)際系統(tǒng)的恢復(fù)要求選出最滿意的Pareto非劣解，這是一個(gè)多屬性決策過(guò)程[8]。傳統(tǒng)的多屬性決策方法沒(méi)有合理融合決策者的偏好因素和決策矩陣的客觀信息，本文引入三角模糊數(shù)反映決策者的偏好因素，并結(jié)合信息熵權(quán)法確定的客觀權(quán)重，采用基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集多屬性決策方法進(jìn)行Pareto最優(yōu)解集排序來(lái)確定最終滿意解。

為了克服上述研究中的不足，本文結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)與多屬性決策方法對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的優(yōu)化和決策進(jìn)行討論。首先綜合分析擴(kuò)展黑啟動(dòng)的初期黑啟動(dòng)階段和系統(tǒng)后續(xù)恢復(fù)階段的相互聯(lián)系，從利于后續(xù)骨架網(wǎng)絡(luò)的搭建和后續(xù)系統(tǒng)的電壓調(diào)整的角度，提取出反映擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的后續(xù)恢復(fù)影響的指標(biāo)并納入到恢復(fù)效果全局優(yōu)化的目標(biāo)集。本文以初期階段內(nèi)發(fā)電量加權(quán)和最大化、盡快搭建后續(xù)骨架網(wǎng)絡(luò)和選擇運(yùn)行性能盡可能利于后續(xù)系統(tǒng)調(diào)整電壓的被啟動(dòng)機(jī)組為優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮各類約束，進(jìn)而建立擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型；然后結(jié)合快速非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）與Dijkstra法對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案求解出Pareto最優(yōu)解集；最后對(duì)Pareto最優(yōu)解集進(jìn)行基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集多屬性決策分析，選取出最滿意的擴(kuò)展黑啟動(dòng)優(yōu)化方案。

1 考慮后續(xù)恢復(fù)的擴(kuò)展黑啟動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

因?yàn)閿U(kuò)展黑啟動(dòng)方案的初期黑啟動(dòng)階段和網(wǎng)架重構(gòu)階段存在重疊，黑啟動(dòng)階段與后續(xù)恢復(fù)進(jìn)程的聯(lián)系更加緊密，擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的優(yōu)化要根據(jù)初期階段和后續(xù)恢復(fù)階段的效果來(lái)全局性決策。因此本文從利于后續(xù)骨架網(wǎng)絡(luò)的搭建和后續(xù)系統(tǒng)調(diào)整電壓的角度，提取出反映擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的后續(xù)恢復(fù)效果的指標(biāo)：待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)的重要性（拓?fù)湮恢玫闹匾院透浇?fù)荷的重要性）和被啟動(dòng)機(jī)組的進(jìn)相運(yùn)行性能，并將其納入到?jīng)Q策擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案優(yōu)劣的目標(biāo)集，進(jìn)而綜合考慮初期階段效果和后續(xù)恢復(fù)效果，建立擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

a.待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)的重要性。

第1批被黑啟動(dòng)電源啟動(dòng)的機(jī)組是初期黑啟動(dòng)階段和后續(xù)網(wǎng)架重構(gòu)階段中承上啟下的關(guān)鍵，若它們就能在骨架網(wǎng)絡(luò)層面鋪開(kāi)，則加速了后續(xù)網(wǎng)架重構(gòu)的進(jìn)展。因此本文采用節(jié)點(diǎn)收縮后的網(wǎng)絡(luò)凝聚度即節(jié)點(diǎn)重要度[9]來(lái)定量地表征擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案中被啟動(dòng)機(jī)組節(jié)點(diǎn)的拓?fù)湮恢弥匾浴?/p>

電力系統(tǒng)大停電后恢復(fù)的最終目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)全網(wǎng)的負(fù)荷恢復(fù)，若能首先恢復(fù)重要負(fù)荷集中的機(jī)組節(jié)點(diǎn)，則能顯著地減少大停電帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)損失。因此本文采用與機(jī)組節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)（即與機(jī)組節(jié)點(diǎn)有路徑連接）負(fù)荷的停電損失函數(shù)[10]來(lái)量化待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)附近負(fù)荷的重要性。因?yàn)樨?fù)荷停電損失函數(shù)為時(shí)間的函數(shù)，所以初期階段內(nèi)的停電損失可采用式（1）所示的拉格朗日插值法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)所統(tǒng)計(jì)的停電損失曲線[9]插值求得。

其中，L（t）為根據(jù)t0和t1小時(shí)的數(shù)據(jù)插值所得t小時(shí)的負(fù)荷停電損失。例如0.75 h的停電損失可根據(jù)0.5 h和1 h數(shù)據(jù)之間的直線斜率線性插值求得。

綜合機(jī)組節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湮恢玫闹匾院透浇?fù)荷的重要性來(lái)評(píng)價(jià)待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)的重要性。為使電源分散在骨架網(wǎng)絡(luò)和盡快恢復(fù)重要負(fù)荷，則待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)的重要性應(yīng)該最大化，可表示為如下形式：

其中，nG為電力系統(tǒng)中待啟動(dòng)的機(jī)組總數(shù)；αi為機(jī)組節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)重要度；Li（t）為機(jī)組節(jié)點(diǎn)i附近負(fù)荷的停電損失；ci表示機(jī)組i是否在本時(shí)段投入，投入ci取1，否則取0；μ為節(jié)點(diǎn)重要度的權(quán)重，為加快骨架網(wǎng)絡(luò)的搭建，需優(yōu)先恢復(fù)節(jié)點(diǎn)重要度大的機(jī)組，取μ=2。

b.被啟動(dòng)機(jī)組的進(jìn)相運(yùn)行性能。

黑啟動(dòng)初期要投運(yùn)大量空載線路，線路的分布電容會(huì)產(chǎn)生大量無(wú)功，恢復(fù)初期主要靠發(fā)電機(jī)進(jìn)相運(yùn)行（LPO）來(lái)吸收無(wú)功，因此選擇有較好進(jìn)相運(yùn)行能力的機(jī)組，可達(dá)到吸收系統(tǒng)過(guò)剩無(wú)功功率的目的，利于調(diào)整系統(tǒng)電壓。文獻(xiàn)[4]也指出擴(kuò)展黑啟動(dòng)小系統(tǒng)的規(guī)模主要受黑啟動(dòng)電源進(jìn)相運(yùn)行能力的限制，啟動(dòng)功率不是主要限制因素。因此擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案優(yōu)化決策中應(yīng)考慮并量化待啟動(dòng)機(jī)組的進(jìn)相運(yùn)行能力。

文獻(xiàn)[11]分析當(dāng)同步發(fā)電機(jī)接外部電抗xs（即發(fā)電機(jī)經(jīng)變壓器和線路與電網(wǎng)相聯(lián)）時(shí)，進(jìn)相運(yùn)行的穩(wěn)定極限為一圓特性，其半徑為進(jìn)相運(yùn)行的能力極限：

其中，LPOmax為機(jī)組進(jìn)相能力極限，UG為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓，xd為發(fā)電機(jī)直軸同步電抗。

考慮機(jī)組在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，進(jìn)相能力要比最大容許值LPOmax低一些，但不難分析出：①發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓UG高，則無(wú)功儲(chǔ)備大，進(jìn)相能力強(qiáng)；②發(fā)電機(jī)直軸同步電抗xd和外部電抗xs小，則進(jìn)相能力強(qiáng)。因此，本文將機(jī)組的進(jìn)相運(yùn)行能力函數(shù)作為表征后續(xù)恢復(fù)效果的目標(biāo)函數(shù)之一，即：

其中，LPOi為機(jī)組i的進(jìn)相運(yùn)行能力函數(shù)。式（4）中發(fā)電機(jī) i的其他參數(shù)定義可參照式（2）、（3）。

c.初期階段效果——加權(quán)發(fā)電量最大。

初期階段效果采用擴(kuò)展黑啟動(dòng)形成的小系統(tǒng)在優(yōu)化時(shí)間段內(nèi)加權(quán)發(fā)電量最大來(lái)表征，以綜合考慮被啟動(dòng)機(jī)組的容量、機(jī)組啟動(dòng)時(shí)間及機(jī)組啟動(dòng)后的爬坡率 3 個(gè)因素[4]，即：

其中，T1為優(yōu)化時(shí)間；γ（t）為機(jī)組出力在不同時(shí)段內(nèi)的權(quán)重，隨著時(shí)間推移，γ（t）的取值逐漸減??；PGi（t）為機(jī)組i在t時(shí)刻發(fā)出的有功功率，其值由機(jī)組啟動(dòng)時(shí)間、升負(fù)荷率、機(jī)組額定功率等參數(shù)決定，可由圖1所示的簡(jiǎn)化機(jī)組出力曲線[4]求得。

圖1 機(jī)組出力曲線Fig.1 Power output curve of generating unit

最后綜合考慮擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的初期階段和后續(xù)恢復(fù)效果，建立擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型為：

1.2 約束集

擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的約束集包括系統(tǒng)運(yùn)行約束（包括無(wú)功約束、自勵(lì)磁約束和潮流約束等）和機(jī)組啟動(dòng)約束（包括啟動(dòng)功率約束和啟動(dòng)時(shí)間約束）。

a.無(wú)功約束。

黑啟動(dòng)初期空投線路所產(chǎn)生的充電無(wú)功功率可能導(dǎo)致持續(xù)工頻過(guò)電壓[12]，因此無(wú)功約束為：

其中，nL為擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案中恢復(fù)的路徑數(shù)；QLl為線路l的充電無(wú)功功率；nB為黑啟動(dòng)電源機(jī)組的數(shù)量；QBr，max為黑啟動(dòng)電源機(jī)組r能吸收的最大無(wú)功功率。

b.發(fā)電機(jī)自勵(lì)磁約束。

工程實(shí)際中，發(fā)電機(jī)自勵(lì)磁約束為：

其中，KCBr為黑啟動(dòng)機(jī)組r的短路比；SBr為黑啟動(dòng)機(jī)組r的額定容量。

c.潮流約束。

其中，n0為已恢復(fù)系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)的總數(shù)；Pl為支路l上流過(guò)的有功功率；nL為已恢復(fù)系統(tǒng)中線路的總數(shù)；Ui為節(jié)點(diǎn)電壓；nb為已恢復(fù)系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

d.機(jī)組啟動(dòng)功率約束。

所有待恢復(fù)機(jī)組所需的啟動(dòng)功率之和應(yīng)小于黑啟動(dòng)小系統(tǒng)所能提供的啟動(dòng)功率之和，即：

其中，P0（t）為黑啟動(dòng)電源提供的啟動(dòng)功率，其值隨著恢復(fù)進(jìn)程而變化為已并網(wǎng)機(jī)組所提供的功率，ei表示機(jī)組并網(wǎng)狀態(tài)，已并網(wǎng)取1，否則取0；Pcr，i為機(jī)組 i所需的啟動(dòng)功率。

e.機(jī)組啟動(dòng)時(shí)間約束。

為使擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案中待啟動(dòng)火電機(jī)組快速啟動(dòng)，應(yīng)選擇熱啟動(dòng)的機(jī)組，則機(jī)組啟動(dòng)時(shí)間約束為：

其中，TCH，i為機(jī)組i的最大臨界熱啟動(dòng)時(shí)間。

2 基于NSGA-Ⅱ的擴(kuò)展黑啟動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化

擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)多約束的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。首先通過(guò)機(jī)組預(yù)選來(lái)滿足機(jī)組的啟動(dòng)時(shí)間約束，而無(wú)功約束與自勵(lì)磁約束可合并為1個(gè)約束：

其他系統(tǒng)運(yùn)行約束可通過(guò)對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的潮流計(jì)算進(jìn)行校核，最后擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為由多目標(biāo)函數(shù)和線路充電功率、機(jī)組啟動(dòng)功率約束所組成的二維背包問(wèn)題。

電力系統(tǒng)大停電后的黑啟動(dòng)恢復(fù)過(guò)程中，各目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化的可能性很小，因?yàn)閿U(kuò)展黑啟動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題同時(shí)具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，各目標(biāo)涉及同一組決策變量并相互制約，所以有必要采用Pareto最優(yōu)解集來(lái)協(xié)調(diào)各目標(biāo)之間的關(guān)系[13]。引入快速非支配排序算法、個(gè)體擁擠距離算子和精英策略的NSGA-Ⅱ[14]是一種求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集的優(yōu)秀進(jìn)化算法，所求得的解集分布均勻，有效地避免了求解的目標(biāo)偏好性，收斂性好。本文將NSGA-Ⅱ應(yīng)用于擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化中，描述如下，流程圖見(jiàn)圖2。

a.染色體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和初始化種群。每個(gè)染色體代表一種擴(kuò)展黑啟動(dòng)的恢復(fù)方案，電力系統(tǒng)有n個(gè)備選機(jī)組節(jié)點(diǎn)，則該恢復(fù)方案可表示成長(zhǎng)度為n的染色體，若某機(jī)組節(jié)點(diǎn)被選中，則在狀態(tài)序列與其對(duì)應(yīng)的位置取1，否則取0。隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，計(jì)算出各目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)值。

圖2 所提優(yōu)化方案流程Fig.2 Flowchart of proposed optimization scheme

b.快速非支配排序[14]，按個(gè)體的非劣解水平分層，向Pareto最優(yōu)解的方向進(jìn)化。設(shè)計(jì)個(gè)體擁擠距離，優(yōu)先選擇擁擠距離較大的個(gè)體，保證種群多樣性。

c.選擇、交叉和變異運(yùn)算。選擇運(yùn)算采用輪賽制選擇算子，然后采用模擬二進(jìn)制交叉（SBX）算子和正態(tài)變異算子[13]，進(jìn)行交叉和變異操作，得到子代種群Dm。

d.精英進(jìn)化策略[14]，即圖2中虛線方框中所示部分。為防止父代中的優(yōu)秀個(gè)體在進(jìn)化過(guò)程中被丟棄，采用精英進(jìn)化策略，即保留父代中的優(yōu)良個(gè)體直接進(jìn)入子代，避免陷入局部最優(yōu)。

e.精英個(gè)體校驗(yàn)?zāi)K。首先根據(jù)Dijkstra算法為各恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)搜索送電路徑，計(jì)算各恢復(fù)方案的線路充電功率和所需啟動(dòng)功率，判斷該擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案是否滿足線路充電功率及啟動(dòng)功率約束，若滿足則保留該擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案，否則放棄；然后對(duì)方案進(jìn)行系統(tǒng)的潮流和節(jié)點(diǎn)電壓約束校驗(yàn)；最后對(duì)發(fā)生潮流越限的方案進(jìn)行調(diào)整[14]，若靈敏度調(diào)節(jié)量在允許范圍內(nèi)則方案校驗(yàn)通過(guò)，否則記作不可行方案。

3 基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集的多屬性決策

對(duì)于擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，Pareto最優(yōu)解集在各目標(biāo)函數(shù)上各有側(cè)重，還需要根據(jù)決策者的偏好以及系統(tǒng)恢復(fù)的實(shí)際要求，從解集中挑選出足夠滿意的最終解。為合理融合決策者的偏好因素和決策矩陣的客觀信息，本文引入三角模糊數(shù)反映決策者的偏好因素，并結(jié)合信息熵法確定的客觀權(quán)重，采用基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集多屬性決策方法進(jìn)行Pareto最優(yōu)解集排序來(lái)確定最終滿意解。

3.1 模糊主觀偏好因素

傳統(tǒng)基于信息熵的多屬性決策方法[15]沒(méi)有考慮決策者的偏好因素，而模糊數(shù)是一種特殊的模糊集，是表達(dá)決策者模糊偏好的重要指標(biāo)。因此本文采用三角模糊數(shù)反映決策者主觀上對(duì)各屬性的重視程度。

決策者的模糊偏好程度所對(duì)應(yīng)的三角模糊數(shù)（a1，a2，a3）如表 1 所示。

表1 模糊偏好程度對(duì)應(yīng)的三角模糊數(shù)Tab.1 Triangular fuzzy numbers corresponding to fuzzy preference degree

將屬性的模糊權(quán)重轉(zhuǎn)換為最佳非模糊性能值，可以評(píng)價(jià)方案中性能指標(biāo)的重要程度，轉(zhuǎn)換公式如下：

歸一化處理后求得第h個(gè)屬性的模糊權(quán)重為：

3.2 信息熵權(quán)法

信息熵權(quán)法[15]借助信息熵來(lái)描述系統(tǒng)內(nèi)在信息的客觀性，是根據(jù)決策矩陣中信息的差異度來(lái)客觀上確定屬性的權(quán)重。由Pareto最優(yōu)解集構(gòu)成的決策矩陣來(lái)確定客觀權(quán)重，計(jì)算步驟如下。

首先構(gòu)造有K個(gè)方案M個(gè)屬性的決策矩陣B=（bkh）K×M，將決策矩陣規(guī)一化處理為優(yōu)屬度矩陣 G=（gkh）K×M；然后計(jì)算第 h 個(gè)屬性的熵值 Hh：

將第h個(gè)屬性的熵權(quán)wh作客觀權(quán)重：

3.3 模糊熵權(quán)法

模糊熵權(quán)法[16]合理地融合了模糊主觀偏好因素和客觀信息熵權(quán)，這既利用了決策者的經(jīng)驗(yàn)，也盡可能地避免了選取滿意解的主觀盲目性。

假定模糊權(quán)重為 Wf=（wf1，wf2，…，wfh，…，wfM），信息熵權(quán)法確定的權(quán)重 W= （w1，w2，…，wh，…，wM），由加權(quán)幾何平均數(shù)方法計(jì)算第h個(gè)屬性的模糊熵權(quán)為：

其中，zh為第h個(gè)屬性的模糊熵權(quán)，且。 當(dāng)決策者對(duì)實(shí)際恢復(fù)情況不確定時(shí)，可增大信息熵客觀權(quán)重的比重η，利用信息熵權(quán)法所反映的Pareto最優(yōu)解集的內(nèi)部客觀信息來(lái)指導(dǎo)決策。

3.4 Vague模糊集多目標(biāo)決策方法

Vague 模糊集[17]作為 Fuzzy 集的一種推廣，可同時(shí)兼顧隸屬與非隸屬兩方面的信息，因此能更全面地表達(dá)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案多目標(biāo)決策中的模糊信息。

Vague集的定義為：設(shè)論域U，元素x是論域U中的任一元素，論域U上的一個(gè)Vague集V可由真隸屬度函數(shù) tV（x）和假隸屬度函數(shù) dV（x）表示。 其中tV（x）是從支持x的證據(jù)中導(dǎo)出的肯定隸屬度的下界，dV（x）是從反對(duì)x的證據(jù)中導(dǎo)出的否定隸屬度的下界，并滿足dV（x）≤1。Vague模糊集多目標(biāo)決策步驟如下。

a.構(gòu)造決策矩陣B，按照效益型指標(biāo)形式對(duì)Pareto解集構(gòu)成的決策矩陣進(jìn)行歸一化處理，得到相對(duì)優(yōu)屬度矩陣G。

b.確定正、負(fù)理想方案優(yōu)屬度向量G+、G-，進(jìn)而計(jì)算方案集綜合 Vague 值矩陣 V=（[tkh，dkh]）K×M。

由各方案的最大優(yōu)屬度值g+h=max（gkh）和最小優(yōu)屬度值 gh-=min（gkh），其中 k=1，2，…，K，建立正、負(fù)理想方案：

gkh相對(duì)于正理想方案指標(biāo)g+h和負(fù)理想方案指標(biāo)g-h的真假隸屬度為：

綜合Vague隸屬度為：

c.結(jié)合模糊熵權(quán)zh，確定Pareto解集中各方案相對(duì)理想方案的綜合 Vague值 Vk=[tk，dk]，k=1，2，…，K。

d.根據(jù)評(píng)分函數(shù)值進(jìn)行排序，選出最優(yōu)方案。

可通過(guò)如下評(píng)分函數(shù)計(jì)算得到方案k相對(duì)于理想方案的適應(yīng)程度。

對(duì)備選方案排序時(shí)，首先根據(jù)各方案的S1評(píng)分函數(shù)值，值越大表示方案k越優(yōu)；若S1相同時(shí)，再根據(jù)S2評(píng)分函數(shù)值，值越大則方案越優(yōu)。

4 算例與結(jié)果分析

4.1 算例求解

為驗(yàn)證考慮后續(xù)恢復(fù)影響的擴(kuò)展黑啟動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化方法的有效性，本文采用圖3所示的新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案進(jìn)行研究。

圖3 新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 New England 10-unit 39-bus power system

設(shè)30號(hào)節(jié)點(diǎn)為大型抽水蓄能電廠，將其作為系統(tǒng)的黑啟動(dòng)電源，其參數(shù)為：裝機(jī)容量3×250 MW，cos φ=0.9，KCB=1.25，機(jī)組空載時(shí)所吸收的最大無(wú)功功率為0.35SN。假設(shè)31號(hào)節(jié)點(diǎn)上的機(jī)組有冷啟動(dòng)時(shí)限，其余機(jī)組的最大臨界熱啟動(dòng)時(shí)間為1 h。各待啟動(dòng)機(jī)組的其他參數(shù)假設(shè)以及節(jié)點(diǎn)參數(shù)計(jì)算值如表2所示，其中UG為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓標(biāo)幺值，KC為發(fā)電機(jī)的短路比，α為歸一化處理后的機(jī)組節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)重要度計(jì)算值。優(yōu)化時(shí)間段T1=4 h，發(fā)電量權(quán)重系數(shù)γ（t）在[0，1]h 取 1.5，在（1，2]h 取 1.0，在（2，4]h 取0.8，并且節(jié)點(diǎn)重要度的權(quán)重 μ取2。

擴(kuò)展黑啟動(dòng)恢復(fù)過(guò)程中，通過(guò)機(jī)組預(yù)選，由于31號(hào)節(jié)點(diǎn)的機(jī)組有冷啟動(dòng)時(shí)限，在優(yōu)化時(shí)間段內(nèi)有8個(gè)備選待啟動(dòng)機(jī)組節(jié)點(diǎn)。假設(shè)30號(hào)節(jié)點(diǎn)黑啟動(dòng)電源中的1臺(tái)機(jī)組完全供給廠用電，剩余2臺(tái)機(jī)組作為提供初始啟動(dòng)功率的黑啟動(dòng)機(jī)組，從而計(jì)算出系統(tǒng)的初始啟動(dòng)功率P0=320 MW，黑啟動(dòng)電源進(jìn)相運(yùn)行所吸收的無(wú)功功率Qb=155.56 Mvar。

表2 待啟動(dòng)機(jī)組的參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameters of units to be restored

本文利用NSGA-Ⅱ?qū)U(kuò)展黑啟動(dòng)方案進(jìn)行優(yōu)化求解，其參數(shù)設(shè)置如下：交叉概率取0.9，變異率取0.1，種群大小取100，最大迭代次數(shù)為100。圖4顯示了擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案中滿足約束集和經(jīng)過(guò)精英校驗(yàn)的Pareto非支配解空間。

圖4 Pareto解空間的分布情況Fig.4 Spacial distribution of Pareto solutions

在追求發(fā)電量最大化的同時(shí)，還應(yīng)將待啟動(dòng)機(jī)組分散至骨架網(wǎng)絡(luò)上和啟動(dòng)進(jìn)相性能好的機(jī)組，以保證全局性的恢復(fù)效果最優(yōu)。由3位專家根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)賦予3個(gè)屬性模糊權(quán)重，歸一化得模糊主觀偏好權(quán)重向量為[0.485 8，0.304 7，0.209 5]T。 按照效益型指標(biāo)對(duì)Pareto最優(yōu)解集構(gòu)成的決策矩陣進(jìn)行歸一化處理，根據(jù)信息熵權(quán)法計(jì)算的客觀權(quán)重向量為[0.317 0，0.342 6，0.340 4]T。 由模糊熵權(quán)法融合主客觀權(quán)重，模糊熵權(quán)向量為[0.467 1，0.316 6，0.216 3]T。利用式（24）求出每個(gè)屬性相對(duì)理想方案的綜合Vague值矩陣，再結(jié)合模糊熵權(quán)向量，根據(jù)評(píng)分函數(shù)式（25）對(duì)Pareto最優(yōu)解集中各方案評(píng)分如表3所示。

4.2 結(jié)果分析

從上述算例可以看出，綜合考慮初期階段效果和后續(xù)恢復(fù)效果的擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案多目標(biāo)優(yōu)化方法，避免了對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求解的盲目性，采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的擴(kuò)展黑啟動(dòng)問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集中含有多個(gè)最優(yōu)解（如圖4所示），在目標(biāo)空間上分布均勻，彼此間互不支配，為決策者提供了更全局性的選擇空間。從圖4中還可以看出，由于這3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的相互制約，使各目標(biāo)同時(shí)最優(yōu)化的可能性很小，因此只能根據(jù)恢復(fù)的實(shí)際要求和決策者的偏好信息從Pareto最優(yōu)解集中選出最終滿意的擴(kuò)展黑啟動(dòng)恢復(fù)方案。對(duì)比表3評(píng)分值可知，方案2為最優(yōu)的擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案：G30-G37-G33-G32。該方案同時(shí)兼顧了初期階段效果和后續(xù)恢復(fù)效果的優(yōu)化，方案中3個(gè)屬性均有較大的目標(biāo)函數(shù)值，不僅能為系統(tǒng)提供較大的發(fā)電量，同時(shí)兼顧了搭建骨架網(wǎng)絡(luò)加快后續(xù)網(wǎng)架重構(gòu)的進(jìn)展，并且優(yōu)先恢復(fù)重要負(fù)荷集中的機(jī)組節(jié)點(diǎn)以及有較好進(jìn)相運(yùn)行能力的機(jī)組，以便于后續(xù)的系統(tǒng)電壓調(diào)整，從而更利于加快系統(tǒng)恢復(fù)的整體進(jìn)程?？梢?jiàn)，比單一目標(biāo)的擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案優(yōu)化具有更大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文采用的基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集多屬性決策，利用了決策者的經(jīng)驗(yàn)信息，且在決策者對(duì)實(shí)際恢復(fù)情況不確定時(shí)，可利用信息熵權(quán)法所反映的Pareto最優(yōu)解集的內(nèi)部客觀信息進(jìn)行決策，盡可能地避免了選取滿意解的主觀盲目性。

表3 多目標(biāo)優(yōu)化方案評(píng)分結(jié)果Tab.3 Evaluation scores of multi-objective optimization schemes

擴(kuò)展黑啟動(dòng)小系統(tǒng)的規(guī)模主要受線路的充電功率約束所限制，機(jī)組啟動(dòng)功率約束不是主要限制因素。如本文方法得到的最優(yōu)方案2中，恢復(fù)G37、G33和G32路徑上產(chǎn)生的總?cè)菪詿o(wú)功功率為142.15 Mvar，小于Qb；而恢復(fù)所需的總啟動(dòng)功率為38.5 MW，遠(yuǎn)小于P0。優(yōu)先恢復(fù)進(jìn)相運(yùn)行能力良好的機(jī)組節(jié)點(diǎn)，更利于吸收線路上的充電功率，保證黑啟動(dòng)小系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。在參照擴(kuò)展黑啟動(dòng)優(yōu)化方案進(jìn)行實(shí)際電網(wǎng)的恢復(fù)中，還應(yīng)按照發(fā)電廠安全規(guī)程來(lái)保留適當(dāng)?shù)臋C(jī)組進(jìn)相運(yùn)行裕度，以保障恢復(fù)的安全性。

5 結(jié)論

本文提出結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)與多屬性決策方法對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化和決策。該方法兼顧3個(gè)擴(kuò)展黑啟動(dòng)的恢復(fù)目標(biāo)——初期階段內(nèi)發(fā)電量加權(quán)和最大化、盡快搭建后續(xù)骨架網(wǎng)絡(luò)和選擇運(yùn)行性能盡可能利于后續(xù)系統(tǒng)調(diào)整電壓的機(jī)組，并且綜合考慮系統(tǒng)運(yùn)行約束和機(jī)組啟動(dòng)約束。通過(guò)建立擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型，結(jié)合NSGA-Ⅱ與Dijkstra法對(duì)擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案決策問(wèn)題進(jìn)行求解，得出其Pareto最優(yōu)解集。本文引入三角模糊數(shù)反映決策者的偏好因素，并結(jié)合信息熵法確定的客觀權(quán)重，采用基于模糊熵權(quán)的Vague模糊集多目標(biāo)決策方法進(jìn)行Pareto最優(yōu)解集排序，確定最終滿意解。優(yōu)化得到的擴(kuò)展黑啟動(dòng)方案在滿足各類約束前提下，不僅能為系統(tǒng)提供較大的發(fā)電量，同時(shí)兼顧了搭建骨架網(wǎng)絡(luò)利于后續(xù)網(wǎng)架重構(gòu)的進(jìn)展，并且可優(yōu)先恢復(fù)較好進(jìn)相運(yùn)行能力的機(jī)組，有利于后續(xù)的系統(tǒng)電壓調(diào)整，進(jìn)而加快系統(tǒng)恢復(fù)的整體進(jìn)程。