李高峰

(唐山學(xué)院唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北唐山063000)

非線(xiàn)性電容RLC串聯(lián)電路的1/2次亞諧共振分析*

李高峰*

(唐山學(xué)院唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北唐山063000)

以非線(xiàn)性電容RLC串聯(lián)電路為研究對(duì)象，運(yùn)用拉格朗日方法建立了系統(tǒng)的微分方程，應(yīng)用多尺度法求得1/2次亞諧共振的一次近似解并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。分析電阻、電感、電容和電動(dòng)勢(shì)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)的影響。結(jié)果表明，電阻可以抑制振幅值，電動(dòng)勢(shì)可以增大振幅值。電阻增加后電流減弱，非線(xiàn)性也就變?nèi)?。運(yùn)用MATLAB的Simulink工具，對(duì)RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

RLC電路;非線(xiàn)性電容;多尺度法;1/2次亞諧

非線(xiàn)性電抗，如變?nèi)荻O管，在許多領(lǐng)域的電氣工程已經(jīng)使用范圍廣泛。在設(shè)計(jì)參數(shù)放大器、上頻器、混音器、低功率微波振蕩器、電子調(diào)諧裝置等電路時(shí)，非線(xiàn)性電容可作為其中的一部分。非線(xiàn)性元件電路是指由非線(xiàn)性元件構(gòu)成的電路，如線(xiàn)圈、電容等構(gòu)成的 LR，CR，LC，RLC(Resistance Inductance Capacitance)電路等。詹士昌用普通鎢絲燈泡、變壓器線(xiàn)圈和電容組成的非線(xiàn)性RLC串聯(lián)鐵磁諧振電路［1］。王小艷用數(shù)值方法對(duì)非線(xiàn)性RLC串并聯(lián)電路的暫態(tài)過(guò)程進(jìn)行了分析研究，得到了非線(xiàn)性RLC電路的一些普遍特征［2］。楊志安研究電阻和電感非線(xiàn)性RLC電路耦合系統(tǒng)的非線(xiàn)性振動(dòng)，建立受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的具有電阻和電感非線(xiàn)性RLC電路耦合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)非線(xiàn)性振動(dòng)的多尺度法，得到系統(tǒng)滿(mǎn)足共振條件的一次近似解以及對(duì)應(yīng)的定常解［3-6］。崔一輝分別用龍格庫(kù)塔法和級(jí)數(shù)法計(jì)算了在無(wú)外激勵(lì)的情況下，有阻尼和無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)［7］。常秀芳從分析實(shí)際問(wèn)題入手，依據(jù)閉合電路定律，從中建立RLC振蕩電路的數(shù)學(xué)模型［8］。Homsup N和Homsup W利用Newton-Raphson迭代法證明直流非線(xiàn)性電路在穩(wěn)態(tài)模擬狀態(tài)下是慢收斂的［9］。Blankenstein G通過(guò)混合勢(shì)函數(shù)描述考慮不受約束的控制電壓或電流源非線(xiàn)性RLC電路動(dòng)力學(xué)問(wèn)題［10］。Chakravarthy S K研究了具有spurious energisation特征的電路非線(xiàn)性振動(dòng)［11］。AliOksasoglu和 Dimitry Vavriv研究了RLC電路在弱非線(xiàn)性激勵(lì)下，適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)也能使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象［12］。

電工中常利用某些元器件的非線(xiàn)性。例如避雷器的非線(xiàn)性特性表現(xiàn)在高電壓下電阻值變小，這性質(zhì)被用來(lái)保護(hù)雷電下的電工設(shè)備;鐵心線(xiàn)圈的非線(xiàn)性由磁場(chǎng)的磁飽和引起，這性質(zhì)被用來(lái)制造直流電流互感器。音頻信號(hào)發(fā)生器的自激振蕩電路中因有放大器這一非線(xiàn)性元件而成為非線(xiàn)性電路。

本文的非線(xiàn)性電容是電荷控制型，以非線(xiàn)性電容RLC串聯(lián)電路振動(dòng)方程為基礎(chǔ)，研究電路的1/2次亞諧共振［13］問(wèn)題。

1 RLC串聯(lián)電路的振動(dòng)方程

圖1給出RLC串聯(lián)電路，電阻R、電感L、電容C和電動(dòng)勢(shì)u(t)=Emcos(ωt)串接，具有阻尼力和電場(chǎng)力作用。電路中的電容是非線(xiàn)性電容，庫(kù)伏特性為u(q)=…。由此可知，RLC串聯(lián)電路是非線(xiàn)性系統(tǒng)。

圖1 非線(xiàn)性RLC串聯(lián)電路

拉格朗日方法是用廣義坐標(biāo)，從能量的觀點(diǎn)研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。圖1電路取電荷q為廣義坐標(biāo)，則電流i=q˙，系統(tǒng)的磁能為。庫(kù)伏特性?xún)H取3次方，由此可得電容器的電能，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)La=Wm-We。

根據(jù)拉格朗日-麥克斯韋方程，可得到該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

進(jìn)一步得

對(duì)式(1)進(jìn)行處理，可得著名的達(dá)芬(Duffing)方程為

2 1/2次亞諧共振理論分析［13］

系統(tǒng)的阻尼力、非線(xiàn)性力與慣性力和線(xiàn)性力相比是小量，所以在它們前面冠以小參數(shù)ε，利用多尺度法求解式(2)，首先引入時(shí)間尺度T0=t，T1=εt，ε是小參數(shù)，則有微分算子

設(shè)1/2次亞諧共振的一次近似解為

將式(4)代入式(2)，比較ε同次冪的系數(shù)得

方程(5)的通解為

將式(7)代入式(6)得

符號(hào)NNT為共軛復(fù)數(shù)項(xiàng)。

研究系統(tǒng)的1/2次亞諧共振［13］，引入調(diào)諧參數(shù)σ，由下式確定:

消除共軛復(fù)數(shù)條件為

由式(4)得相應(yīng)的一次近似解為

式中a和φ由式(11)給出。

令D1a=0，D1φ=0，兩式平方相加得到:

產(chǎn)生上述1/2亞諧共振的原因是Duffing系統(tǒng)具有平方非線(xiàn)性。這種高頻激勵(lì)誘發(fā)低頻共振的現(xiàn)象在工程中屢見(jiàn)不鮮。例如，1956年，Lefschetz報(bào)道一架飛機(jī)的螺旋槳激發(fā)出機(jī)翼的1/2次共振，機(jī)翼共振又激發(fā)了尾翼的1/4次共振，以致飛機(jī)被破壞。避免上述危險(xiǎn)是研究非線(xiàn)性振動(dòng)的目的之一。

3 1/2次亞諧共振數(shù)值分析

在下面的數(shù)值計(jì)算中取以下參數(shù):R=400 Ω，Em=10 V，L=30 H，C0=0.000 1 F，由式(13)可以計(jì)算系統(tǒng)1/2次亞諧共振的響應(yīng)曲線(xiàn)，分析不同參數(shù)對(duì)響應(yīng)曲線(xiàn)的影響。

圖2是1/2次亞諧共振的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，實(shí)線(xiàn)的振幅大，漸近穩(wěn)定，虛線(xiàn)的振幅小且不穩(wěn)定;隨著調(diào)諧幅值的增加，幅值增加最后趨于穩(wěn)定。圖2(a)為3種不同電動(dòng)勢(shì)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，隨著電動(dòng)勢(shì)的增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間增大，但共振幅值減小。圖2(b)為2種不同電阻的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，隨著電阻的增加，系統(tǒng)的共振區(qū)域減小，共振幅值的上邊曲線(xiàn)下移，下邊曲線(xiàn)上移，向里邊瘦了一圈。這是由于電阻增加后電流減弱，非線(xiàn)性也就變?nèi)醯木壒?。由圖2(c)知隨著電感增加，系統(tǒng)幅值增加的越來(lái)越快，共振區(qū)域減小并向右偏移。由圖2(d)知隨著電容增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間增大且向左偏移，共振幅值減小了但幅度不大，最終會(huì)趨于同一范圍值。圖2(e)和圖2(f)電荷系數(shù)是幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。電荷系數(shù)k3不僅影響振動(dòng)幅值的變化趨勢(shì)，還影響共振區(qū)域的偏移，這與圖2(c)類(lèi)似。電荷系數(shù)k2只影響共振區(qū)域，振動(dòng)幅值的增長(zhǎng)趨勢(shì)并無(wú)變化，這與圖2(b)類(lèi)似。由此可知，電動(dòng)勢(shì)、電容、電感的數(shù)值的變化對(duì)系統(tǒng)共振區(qū)間和振幅均可影響系統(tǒng)。

圖2 幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

圖3 振幅-電動(dòng)勢(shì)響應(yīng)曲線(xiàn)

圖3為在2種調(diào)諧值作用下，隨電動(dòng)勢(shì)變化的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。在有共振響應(yīng)的范圍內(nèi)，隨著電動(dòng)勢(shì)的增大，振幅減小，只有在共振區(qū)域內(nèi)才有解。圖4為3種調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電荷系數(shù)k2改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。在共振響應(yīng)的范圍內(nèi)，隨著電荷系數(shù)k2的增大，振幅增大;當(dāng)調(diào)諧值σ＞0時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象;在調(diào)諧值σ≤0時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)幅值逐漸增加，趨于穩(wěn)定，跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象消失。

圖5為2種調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電荷系數(shù)k3改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。在有共振響應(yīng)的范圍內(nèi)，隨著電荷系數(shù)k3的增大，振幅減小。圖6為3種調(diào)諧值σ作用下，隨電容變化的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。在3組固定參數(shù)下均存在最大幅值。在共振響應(yīng)的范圍內(nèi)，隨著電容的增大，振幅先增大再減小。

圖4 振幅-電荷系數(shù)k2應(yīng)曲線(xiàn)

圖5 振幅-電荷系數(shù)k3應(yīng)曲線(xiàn)

圖6 振幅-電容響應(yīng)曲線(xiàn)

圖7為3種調(diào)諧值作用下隨系統(tǒng)電感改變的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。當(dāng)調(diào)諧值增加，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值增加，當(dāng)調(diào)諧值σ＞0時(shí)，隨著電感的增加系統(tǒng)的振動(dòng)幅值增大，并趨于穩(wěn)定。系調(diào)諧值σ=20時(shí)，圖線(xiàn)由原來(lái)的兩只合并成一條圖線(xiàn)。

圖7 振幅-電感響應(yīng)曲線(xiàn)

圖8為振幅-電阻響應(yīng)曲線(xiàn)，3組給定調(diào)諧參數(shù)的響應(yīng)曲線(xiàn)均存在跳躍現(xiàn)象。調(diào)諧值越大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值滯后性越強(qiáng)，逐漸出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象。

由圖3～圖8分析可知，在滿(mǎn)足一定的條件σ≥ 0時(shí)，振幅與各個(gè)參數(shù)之間的響應(yīng)曲線(xiàn)，也具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象，這在非線(xiàn)性系統(tǒng)是很少見(jiàn)的。

圖8 振幅-電阻響應(yīng)曲線(xiàn)

4 Simulink仿真分析

Simulink是一個(gè)用來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包。它支持線(xiàn)性和非線(xiàn)性系統(tǒng)，連續(xù)和離散時(shí)間模型，或者是兩者的混合?；诜蔷€(xiàn)性電容的RLC串聯(lián)電路的振動(dòng)微分方程式(2)建立框圖，如圖9。在Simulink的仿真參數(shù)選項(xiàng)菜單中選龍格庫(kù)塔算法進(jìn)行數(shù)值模擬，通過(guò)Scope模塊和XY Graph模塊可以得到位移的時(shí)間曲線(xiàn)以及位移和速度的相圖。

圖9 Simulink模型

圖10是模擬時(shí)間為2 s和5 s的1/2次亞諧共振時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)，由圖可知隨著時(shí)間的增加電流減小增大交替出現(xiàn)，總體呈減小趨勢(shì)，最后趨于穩(wěn)定，這說(shuō)明在開(kāi)始時(shí)電容的放電振動(dòng)比較大，最后趨于穩(wěn)定。圖11為模擬時(shí)間為2 s和5 s的1/2次亞諧共振時(shí)的電流與電荷相圖曲線(xiàn)，由圖11可知隨著時(shí)間的增加相圖從外向內(nèi)逐漸收斂，隨著時(shí)間的增加系統(tǒng)電流減小，這與數(shù)值計(jì)算結(jié)果是吻合的。

圖10 1/2亞諧共振時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)

圖11 1/2亞諧共振相位響應(yīng)相圖

5 結(jié)論

建立了基于非線(xiàn)性電容的RLC串聯(lián)電路的微分方程，得到1/2次亞諧共振系統(tǒng)的常微分方程。分析了電源、電感、電容等參數(shù)變化的影響，得到幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。電阻對(duì)1/2次亞諧共振區(qū)有抑制作用;1/2次亞諧共振系統(tǒng)的振幅隨著電動(dòng)勢(shì)的增加不斷增大，并且共振區(qū)增大。結(jié)合實(shí)際情況對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行分析，得到一些結(jié)論對(duì)此類(lèi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。振幅與各個(gè)參數(shù)之間的響應(yīng)曲線(xiàn)，在滿(mǎn)足一定的條件時(shí)，有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)，在非線(xiàn)性系統(tǒng)是很少見(jiàn)的。非線(xiàn)性電容RLC串聯(lián)電路有豐富的非線(xiàn)性動(dòng)力行為。

［1］ 詹士昌，梁方束.RLC電路非線(xiàn)性現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)制的研究［J］.杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002(4):31-33，38.

［2］ 王小艷.非線(xiàn)性RLC電路特性的數(shù)字仿真研究［J］.高壓電器，2001(6):52-54.

［3］ 楊志安，崔一輝.非線(xiàn)性電阻電感型RLC串聯(lián)電路主共振分析［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，40(5):579-583.

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［6］ 楊志安，賈尚帥.RLC串聯(lián)電路與微梁耦合系統(tǒng)的吸合電壓與電振蕩［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27(4):721-726，850.

［7］ 崔一輝，楊志安.RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)的級(jí)數(shù)解［J］.振動(dòng)與沖擊，2006，25(4):76-77，108，177.

［8］ 常秀芳，李高.RLC-振蕩電路中的數(shù)學(xué)模型［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，25(1):71-73.

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［11］Chakravarthy S K.Nonlinear Oscillations Due to Spurious Energisation of Transformers［J］.EE Proc-Electr Power Appl，1998，145 (6):585-592.

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李高峰(1977- )，女，講師，碩士，主要從事非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究，ligaofeng0315@163.com。

1/2 Subharmonic Resonance Analysis of RLC Series Circuit with Nonlinear Capacitance*

LI Gaofeng*

(Tangshan College and Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan Hebei 063000，China)

Aiming at the research object for RLC series circuit with nonlinear capacitance，using Lagrange method to establish the differential equations of the system，the first approximate solution of 1/2 subharmonic resonance of the nonlinear vibration system is obtained by means of the method of multiple scales for nonlinear oscillations.Numerical analyses on the influence of the parameters of inductance，capacitance and electromotive force(emf)on the amplitude frequency response curve are，as follows，that is，with the increasing of resistance，the amplitude and resonant region of the primary resonance decrease and with the increasing of electromotive force(emf)，the amplitude and resonant region of the primary resonance increase.With the increasing resistance，the current is abate，and than the nonlinearity will weaken.The system of RLC series circuit is simulated by using MATLAB Simulink tool.

RLC circuit;nonlinear capacitance;multiple scales;1/2 subharmonic resonance

10.3969/j.issn.1005－9490.2014.02.017

O321;TM503.2

A

1005－9490(2014)02－0249－05

項(xiàng)目來(lái)源:河北省自然基金項(xiàng)目(A2009000997);唐山市科技計(jì)劃項(xiàng)目(1313021106)

2013-05-28修改日期:2013-06-16

EEACC:1230B