潘 超,王夢(mèng)純,蔡國(guó)偉,姜言金,李鐵峰

（1.東北電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院,吉林 吉林 132021；2.吉林市供電公司,吉林 吉林 132001）

0 引言

近年來(lái)，高壓直流（HVDC）與地磁感應(yīng)電流GIC（Geomagnetic Induced Current）環(huán)境中變壓器的直流偏磁問(wèn)題備受關(guān)注[1-2]，包括變壓器非線性磁場(chǎng)、電流畸變、渦流損耗等備受關(guān)注，其中，勵(lì)磁非線性的研究分析是解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵[3-5]。

利用J-A磁滯模型可以有效模擬變壓器的勵(lì)磁特性，但參數(shù)獲取困難，計(jì)算復(fù)雜，且磁滯回線易受直流偏磁水平影響[6]。文獻(xiàn)[7]采用單段雙曲正切函數(shù)擬合飽和段磁化曲線，簡(jiǎn)化計(jì)算，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相比誤差較小，但未考慮磁化曲線不飽和段對(duì)變壓器勵(lì)磁的影響。文獻(xiàn)[8]建立三相變壓器模型分析鐵芯損耗，考慮磁滯效應(yīng)模擬變壓器電磁場(chǎng)分布。文獻(xiàn)[9-10]基于諧波有限元建立場(chǎng)路模型，計(jì)算變壓器直流偏磁問(wèn)題。上述方法均采用二維模型，具有較高的精度和效率，缺點(diǎn)是僅可作為局部場(chǎng)域的近似處理，只能用于特定運(yùn)行方式或模型特性的分析。

另一方面，傳統(tǒng)變壓器磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算以穩(wěn)態(tài)電磁場(chǎng)分析為基礎(chǔ)，時(shí)域求解有限元微分方程，數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)模龐大、效率低[11]。本文建立三維變壓器磁場(chǎng)模型，采用時(shí)域場(chǎng)路耦合模型將變壓器瞬態(tài)電磁場(chǎng)計(jì)算分解為場(chǎng)和路的耦合計(jì)算，利用場(chǎng)模型計(jì)算動(dòng)態(tài)電感，利用路模型求解瞬態(tài)過(guò)程，從而降低求解難度，提高計(jì)算效率；在此基礎(chǔ)上計(jì)算變壓器直流偏磁，分段擬合飽和段與不飽和段磁化曲線；最后對(duì)比分析不同方法對(duì)變壓器在正常運(yùn)行和直流偏磁時(shí)耦合參數(shù)和伏安特性的影響，并總結(jié)其規(guī)律。

1 時(shí)域場(chǎng)路耦合方法

單相三柱式雙繞組變壓器直流偏磁的場(chǎng)路模型見圖1。圖中，Φa、Φb和Φ0分別為鐵芯主磁通和繞組漏磁通；L1、L2和M分別為自感和互感；UDC為直流電壓源。

圖1 變壓器基本電磁關(guān)系Fig.1 Electromagnetic relation of transformer

利用時(shí)域場(chǎng)路耦合模型分析變壓器直流偏磁問(wèn)題時(shí)，動(dòng)態(tài)電感和瞬態(tài)電流為關(guān)鍵耦合參數(shù)[12]。棱邊有限元法采用矢量磁位A，假設(shè)導(dǎo)磁介質(zhì)各向同性，得到非線性磁場(chǎng)方程：

對(duì)式（1）應(yīng)用格林定理，得伽遼金加權(quán)余量方程：

其中，m，n∈N+；｛Mm｝、｛Mn｝分別為基函數(shù)和權(quán)函數(shù)序列，且｛Mn｝與｛Mm｝相同；An為單元的標(biāo)量磁位；m、n為單元編號(hào)；V為體積分變量。把權(quán)函數(shù)代入式（2），針對(duì)全部權(quán)函數(shù)，將加權(quán)余量方程離散形成代數(shù)方程組，求解可得所有棱邊上的A，進(jìn)而計(jì)算其他場(chǎng)量。

變壓器實(shí)際運(yùn)行時(shí)鐵芯工作于接近飽和區(qū)，直流偏磁時(shí)處于飽和區(qū)，傳統(tǒng)方法計(jì)算時(shí)通常采用雙曲正弦函數(shù)對(duì)飽和段磁化曲線進(jìn)行擬合[7]。本文考慮到實(shí)際磁化曲線可分為不飽和段與飽和段，對(duì)磁化曲線進(jìn)行分段處理，曲線擬合及誤差公式分別為：

其中，B、H分別為磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)值；C1、C2、C3、C4為擬合參數(shù)，根據(jù)實(shí)際變壓器硅鋼片材料確定；ε 為均方根誤差；Bj為實(shí)際磁感應(yīng)強(qiáng)度；B′j為磁感應(yīng)強(qiáng)度擬合值；K為統(tǒng)計(jì)總數(shù)。

將擬合磁化曲線數(shù)據(jù)代入磁場(chǎng)方程中，即可進(jìn)行磁場(chǎng)求解計(jì)算。

變壓器磁鏈方程為：

其中，ψ為線圈磁鏈向量；LS為靜態(tài)電感矩陣。

由u=dψ/dt，推導(dǎo)電路系統(tǒng)的瞬態(tài)微分方程：

其中，LD為動(dòng)態(tài)電感矩陣，需由磁場(chǎng)模型計(jì)算。

由式（5）推導(dǎo)存在直流源時(shí)變壓器電路微分方程的矩陣形式：

其中，UDC1、UDC2分別為變壓器兩側(cè)提供直流的電壓源。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中能量擾動(dòng)的思想，當(dāng)繞組線圈電流增量為Δi，引起的電路能量增量為：

由電流增量Δi引起的場(chǎng)矢量變化為ΔH、ΔB，計(jì)算線圈體電流分布磁場(chǎng)系統(tǒng)的能量增量：

能量方程式（7）、（8）相等，則可計(jì)算動(dòng)態(tài)電感 LD。

采用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)上式求解，由tk時(shí)刻的線圈電流 i（k）計(jì)算 tk+1時(shí)刻的電流 i（k+1）：

其中，h為步長(zhǎng)；s1—s4為步長(zhǎng)內(nèi)的計(jì)算斜率。

2 直流偏磁計(jì)算與分析

圖2 變壓器直流偏磁的時(shí)域場(chǎng)路耦合模型Fig.2 Time-domain field-circuit coupling model

采用時(shí)域場(chǎng)路耦合模型計(jì)算變壓器非線性時(shí)變場(chǎng)問(wèn)題，模型如圖2所示，編譯四階龍格庫(kù)塔法程序求解電路模型的瞬態(tài)響應(yīng)方程，利用ANSYS軟件建立三維有限元模型，基于棱邊有限元法求解非線性磁場(chǎng)模型，場(chǎng)與路的耦合通過(guò)時(shí)域迭代實(shí)現(xiàn)。對(duì)實(shí)際單相變壓器BK300進(jìn)行直流偏磁實(shí)驗(yàn)和仿真計(jì)算，具體參數(shù)如表1所示。

表1 實(shí)際變壓器參數(shù)Tab.1 Parameters of an actual transformer

變壓器鐵芯硅鋼片型號(hào)為DW360-50，疊片系數(shù)α 取 0.95[13]，磁化曲線擬合結(jié)果如圖 3所示，虛線框中為不飽和區(qū)。

圖3 磁化曲線擬合Fig.3 Magnetization curve fitting

變壓器運(yùn)行時(shí)工作于飽和狀態(tài)或不飽和狀態(tài)，通過(guò)圖3對(duì)比，說(shuō)明采用分段擬合法分段擬合勵(lì)磁曲線，能更準(zhǔn)確地反映出實(shí)際勵(lì)磁的變化情況。結(jié)合表2參數(shù)，應(yīng)用時(shí)域場(chǎng)路耦合方法計(jì)算分析變壓器空載直流偏磁。

表2 曲線擬合參數(shù)Tab.2 Parameters of curve fitting

2.1 計(jì)算方法1

采用單段雙曲正弦函數(shù)擬合磁化曲線的飽和段，變壓器空載運(yùn)行時(shí)引入直流源，計(jì)算直流電流IDC分別為 0、50%I0、100%I0、200%I0時(shí)的偏磁情況（I0為空載電流有效值）。

分析變壓器交流勵(lì)磁受到直流擾動(dòng)IDC的影響，結(jié)果如圖4（a）所示，空載運(yùn)行時(shí)原邊電流i1即為勵(lì)磁電流ie，由的電磁耦合關(guān)系可知，ie為對(duì)稱波。當(dāng)注入直流時(shí)，ie發(fā)生畸變，并且隨著IDC的升高而增大，ie波形畸變情況一致；無(wú)直流時(shí)，動(dòng)態(tài)電感L1在勵(lì)磁的正負(fù)半周為對(duì)稱波形，其變化規(guī)律與ie對(duì)應(yīng)，ie增大時(shí)勵(lì)磁飽和程度加深，電感減小，ie減小時(shí)勵(lì)磁趨于不飽和，電感增大。存在直流時(shí)，L1受直流偏磁水平影響，正負(fù)半周不對(duì)稱。由圖4（b）可以確定動(dòng)態(tài)電感變化與勵(lì)磁非線性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，L1的波峰區(qū)與波谷區(qū)分別表示鐵芯勵(lì)磁處于非飽和區(qū)與飽和區(qū)。ie接近零時(shí)，鐵芯勵(lì)磁處于非飽和區(qū)，L1數(shù)值趨于最大；當(dāng)ie達(dá)到各半周內(nèi)極值時(shí)，勵(lì)磁飽和程度最深，L1數(shù)值最小。分析結(jié)果表明，隨著直流電流增大，變壓器勵(lì)磁飽和程度加深，ie波形畸變，L1在正負(fù)半周不對(duì)稱。

圖4 方法1的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculative results of method 1

2.2 計(jì)算方法2

采用雙段函數(shù)分別擬合磁化曲線的飽和區(qū)與非飽和區(qū)，直流偏磁實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比如下。

如圖5所示，方法2與方法1的勵(lì)磁變化情況相似，鐵芯飽和程度受直流影響，IDC增大，i1與L1波形在正負(fù)半周不對(duì)稱程度加劇。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，測(cè)量的結(jié)果為非對(duì)稱波形，而仿真計(jì)算的電流為對(duì)稱波形，其原因可能是未考慮磁滯效應(yīng)。分析結(jié)果表明，發(fā)生直流偏磁時(shí)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差較小。說(shuō)明利用本文所采用的磁化曲線擬合方法可以有效計(jì)算變壓器直流偏磁問(wèn)題，結(jié)果較為準(zhǔn)確。

2.3 方法比較

對(duì)比2種方法的計(jì)算結(jié)果，方法1的動(dòng)態(tài)電感在半個(gè)周期內(nèi)的波形為單峰波，方法2則為鞍形波，這與磁化曲線的擬合情況有關(guān)。方法1采用單段曲線擬合，磁化曲線在勵(lì)磁不飽和區(qū)單調(diào)變化，當(dāng)勵(lì)磁電流接近為零時(shí)，動(dòng)態(tài)電感達(dá)到最大值，然后隨著電流增大，動(dòng)態(tài)電感逐漸減小。方法2采用分段曲線擬合，考慮了磁化曲線在不飽和區(qū)的實(shí)際特性，因此在勵(lì)磁電流過(guò)零時(shí)存在增大減小增大的情況。

2種方法計(jì)算的勵(lì)磁電流對(duì)比（IDC=200%I0）如圖6所示，相同直流擾動(dòng)下2種方法的計(jì)算電流基本相同，在電流過(guò)零時(shí)波形略有區(qū)別。

圖5 方法2的計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculative results of method 2

圖6 勵(lì)磁電流對(duì)比Fig.6 Comparison of exciting currents

分析變壓器空載運(yùn)行時(shí)的伏安特性。首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)電壓激勵(lì)，其有效值范圍為[0.5UN，1.5UN]（UN為額定電壓有效值），測(cè)量勵(lì)磁電流有效值I。然后根據(jù)本文方法計(jì)算電流，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同擬合方法的U-I比較Fig.7 Comparison of U-I among different fitting methods

不同方法的結(jié)果均符合實(shí)際變壓器的非線性電磁耦合關(guān)系。不考慮疊壓系數(shù)α，伏安特性與實(shí)際情況有較大誤差。計(jì)及α?xí)r，采用不同方法擬合磁化曲線，由于不飽和區(qū)的勵(lì)磁非線性，方法2的計(jì)算準(zhǔn)確性高于方法1，這與前面的分析結(jié)果一致。綜上所述，2種擬合方法都能模擬變壓器的U-I特性，但方法2考慮不飽和區(qū)的勵(lì)磁特性，結(jié)果更為準(zhǔn)確。

研究表明，分段模擬磁化曲線的方法可以充分反映出變壓器勵(lì)磁的變化情況。若采用多段擬合的方法可能在模擬勵(lì)磁非線性的準(zhǔn)確性方面有所提高，這類方法擬合不飽和區(qū)磁化曲線時(shí)精度較高，但對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)電感數(shù)值較大，因此對(duì)計(jì)算電流的結(jié)果影響并不明顯。

文中在改進(jìn)磁化曲線擬合方法的基礎(chǔ)上建立變壓器三維時(shí)域場(chǎng)路耦合模型，對(duì)其不同勵(lì)磁特性下的直流偏磁問(wèn)題進(jìn)行了仿真計(jì)算，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，總結(jié)其規(guī)律。針對(duì)實(shí)際變壓器，根據(jù)其相關(guān)信息，如銘牌數(shù)據(jù)、線圈與鐵芯參數(shù)、勵(lì)磁非線性等，就可以對(duì)直流偏磁問(wèn)題進(jìn)行瞬時(shí)場(chǎng)路的計(jì)算分析。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)單相三柱式變壓器直流偏磁的研究分析，得出以下結(jié)論。

a.利用時(shí)域場(chǎng)路耦合模型計(jì)算變壓器直流偏磁時(shí)的動(dòng)態(tài)電感和瞬態(tài)電流，能夠反映出變壓器磁場(chǎng)與電路等效參數(shù)在直流擾動(dòng)下的變化規(guī)律，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明用該方法計(jì)算變壓器直流偏磁是正確可行的。

b.擬合磁化曲線的方法可以簡(jiǎn)化磁場(chǎng)模型求解，提高計(jì)算效率。不同分段擬合方法都能有效模擬變壓器的電壓電流特性與直流偏磁時(shí)的飽和勵(lì)磁特性，兩者的計(jì)算結(jié)果一致。由于本文方法考慮了不飽和勵(lì)磁的非線性，與實(shí)際情況更為接近，結(jié)果更為準(zhǔn)確。