任祖華，王柏林

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098）

0 引言

非線性和沖擊性負(fù)荷的投入使用，不僅給電網(wǎng)帶來(lái)大量的高次諧波和間諧波，同時(shí)給電力系統(tǒng)造成明顯的電壓波動(dòng)[1]，除了影響其他用電設(shè)備的正常運(yùn)行，還可能引起照明燈光的閃爍，即閃變。國(guó)內(nèi)外閃變儀測(cè)量電壓波動(dòng)的主要方法有平方檢測(cè)法、整流檢測(cè)法和有效值檢測(cè)法[2]，這些方法對(duì)于穩(wěn)定的單一頻率成分的調(diào)幅波檢測(cè)較為準(zhǔn)確，而在處理時(shí)變的電壓波動(dòng)信號(hào)時(shí)，可能會(huì)帶來(lái)誤差。大多數(shù)的電壓閃變的檢測(cè)和分析是通過(guò)準(zhǔn)確提取電壓波動(dòng)信號(hào)，再對(duì)波動(dòng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析得到所含的各種低頻諧波分量的頻率和幅值，信號(hào)的分析單純?cè)跁r(shí)域或頻域展開(kāi)。Hilbert變換方法是提取波動(dòng)信號(hào)包絡(luò)的有效方法，但需要設(shè)計(jì)濾波器濾除高頻分量，且濾波器輸出的前一段數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，使得閃變包絡(luò)波形很短或很不完整[3]。小波變換法存在小波基函數(shù)不唯一的問(wèn)題，合適的小波基不好選擇，且硬件實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難，計(jì)算量也較大[4-5]。盲信號(hào)分離需要構(gòu)造一個(gè)嵌入矩陣作為盲信號(hào)分離的輸入信號(hào)，運(yùn)用二階盲辨識(shí)算法分離低頻分量，對(duì)分離后的各個(gè)分量利用峰值比較法來(lái)確定頻率，再利用包絡(luò)信號(hào)構(gòu)造一組超定方程求解各個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的幅值，算法比較復(fù)雜[6]。

本文介紹一種基于S變換的時(shí)頻分析方法，對(duì)電壓閃變信號(hào)的局部特性進(jìn)行時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示。利用S變換的時(shí)域、頻域特性，分析電壓閃變信號(hào)的頻率-時(shí)間、幅值-時(shí)間和幅值-頻率信息，進(jìn)一步通過(guò)調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度實(shí)現(xiàn)其時(shí)頻譜的多分辨率分析，從而對(duì)電壓閃變頻率、幅值和閃變起止時(shí)刻進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。而且信號(hào)的S變換與其傅里葉譜直接相關(guān)，算法易于實(shí)現(xiàn)。

1 多分辨率S變換

1.1 S變換原理

S變換是Stockwell于1996年提出的，是介于短時(shí)傅里葉變換和小波變換之間的一種非平穩(wěn)信號(hào)分析方法，它具有局部時(shí)頻分析的性質(zhì)[7-8]。S變換的時(shí)頻譜分辨率與頻率有關(guān)，不但有多尺度聚焦性，而且與其傅里葉譜直接相關(guān)。

對(duì)于時(shí)變信號(hào)x（t），其傅里葉變換為：

將信號(hào) x（t）乘以一個(gè)高斯窗口函數(shù) g（t），就得到信號(hào)的S變換：

由式（3）、（4）可見(jiàn)，高斯窗口的高度和寬度隨頻率而變化，克服了短時(shí)傅里葉變換窗口高度和寬度固定的缺陷。因此，通過(guò)S變換不僅可以獲得某一時(shí)刻的頻率信息，還可獲得在某一頻率上信號(hào)的幅值信息，即S變換具有良好的時(shí)頻特性[9-10]。

另外，由式（3）、（4）可知，改變參數(shù) α 的大小可以調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度，從而改變S變換的時(shí)頻分辨率，如果頻率分辨率要求高，就選取較大的α值，反之亦然，從而使得S變換具有多分辨率的特性。

把（3）、（4）代入式（2），得到 x（t）的 S 變換：

由于S（τ，f）為一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣，因此可表示為：

其中，A（τ，f）為S矩陣的幅值矩陣，即S模矩陣；φ（τ，f）為S矩陣的相位矩陣。A（τ，f）和φ（τ，f）的行向量分別為信號(hào)某一采樣時(shí)刻的幅值和相位隨頻率變化的分布，列向量分別為信號(hào)某一頻率處的幅值和相位隨時(shí)間變化的分布。

1.2 S變換的實(shí)現(xiàn)

對(duì)離散信號(hào)的S變換可以通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）實(shí)現(xiàn)[11]。 對(duì)于采樣信號(hào) x（kTs）（k=0，1，…，N-1，Ts為采樣時(shí)間，N為采樣點(diǎn)數(shù)），其離散傅里葉變換為：

其中，r、m、n 取值為 0、1、2、…、N-1。

為方便，記 x（kTs）為 x（k），）為 H（n），下面給出S變換的計(jì)算步驟：

a.由式（7）對(duì)離散時(shí)間信號(hào) x（k）進(jìn)行 FFT 得到其離散傅里葉頻譜H（m）；

b.由式（9）計(jì)算對(duì)應(yīng)于離散頻率n的高斯函數(shù)G（m，n）；

c.根據(jù)卷積定理，由離散傅里葉頻譜H（m）得到 H（m+n），并計(jì)算出 B（m，n）=H（m+n）G（m，n）；

d.由式（8）計(jì)算 B（m，n）的反傅里葉變換得到矩陣S（n，r）對(duì)應(yīng)于離散頻率n的行。

e.重復(fù)步驟b—d計(jì)算出對(duì)應(yīng)于所有的離散頻率的矩陣 S（n，r）的所有行。

2 電壓閃變檢測(cè)

2.1 閃變信號(hào)模型

電壓閃變可看成是以工頻額定電壓為載波信號(hào)，被 0.05～35 Hz低頻調(diào)幅波信號(hào)調(diào)制的結(jié)果[12]，若考慮高次諧波成分，則閃變電壓u（t）可表示為：

其中，f0為基波頻率；mi、fi、φi為第 i個(gè)調(diào)幅波的相對(duì)幅值、頻率和相位；mhj、φhj為第j次諧波的相對(duì)幅值和相位。閃變測(cè)量就是要檢出波動(dòng)信號(hào)的調(diào)幅波，即各閃變分量的頻率、幅值，以便進(jìn)一步計(jì)算閃變統(tǒng)計(jì)量和衡量閃變的嚴(yán)重程度。

2.2 電壓閃變信號(hào)的S變換

由1.1節(jié)可知，S變換的結(jié)果包含了頻率-時(shí)間、幅值-時(shí)間和幅值-頻率的信息，反映了信號(hào)的時(shí)頻特征，滿足了電壓閃變信號(hào)的波動(dòng)幅值、調(diào)制頻率以及閃變起止時(shí)刻的分析要求。

圖1（a）為電壓波動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形，包含基波和8 Hz的調(diào)幅波，調(diào)幅波幅值為基波的10%；圖1（b）為其S變換的三維曲線?？梢?jiàn)，幅值-時(shí)間（采樣點(diǎn)）曲線反映了電壓信號(hào)的時(shí)域信息，幅值-頻率曲線反映了其頻域信息，而頻率-時(shí)間（采樣點(diǎn)）曲線則反映了不同頻率分量的起止時(shí)間。圖1中幅值為標(biāo)幺值，后同。

圖1 電壓閃變信號(hào)及其S變換曲線圖Fig.1 Voltage flicker signal and its S-transform curves

2.2.1 閃變信號(hào)幅值、頻率與S矩陣之間的關(guān)系

由1.2節(jié)計(jì)算出的S矩陣的行代表頻率，列代表時(shí)間，即S模矩陣的行向量為信號(hào)某一頻率處的幅值隨時(shí)間變化的分布，列向量為信號(hào)某一采樣時(shí)刻的幅值隨頻率變化的分布。

因此，S矩陣的幅值-時(shí)間曲線對(duì)應(yīng)于電壓信號(hào)的時(shí)域采樣信息，可通過(guò)對(duì)S模矩陣按列求極大值獲得，則信號(hào)的時(shí)域包絡(luò)為：

幅值-頻率曲線反映了其頻域信息，可通過(guò)對(duì)S模矩陣按行求極大值獲得，則信號(hào)各頻率成分所對(duì)應(yīng)的幅值可由式（9）得到：

2.2.2 多分辨率分析

根據(jù)不相容原理（Heisenberg不等式），采用聯(lián)合的時(shí)頻表示，不能同時(shí)得到理想的時(shí)間分辨率和頻率分辨率，兩者是一對(duì)矛盾的量。即：對(duì)于能量有限的任意信號(hào) s（t）或窗函數(shù) h（t），其時(shí)寬和帶寬的乘積總是滿足下面的不等式：

其中，Th和Bh分別為時(shí)寬和帶寬，Δtk和Δωk分別為時(shí)間分辨率和頻率分辨率[13]。

在電壓閃變檢測(cè)中，為了得到閃變的幅值包絡(luò)，需要高的時(shí)間分辨率；而為了檢測(cè)出調(diào)制頻率，則需要高的頻率分辨率，這二者是不能同時(shí)滿足的。由1.1節(jié)可知，改變參數(shù)α的大小可以調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度，從而改變S變換的時(shí)頻分辨率。下面討論α的大小對(duì)時(shí)域和頻域分辨率的影響。

假設(shè)電壓波動(dòng)信號(hào)為基波疊加8.8 Hz的閃變分量，分別取 α 的值為0.15、2、50和 500，分析 α 的大小對(duì)時(shí)間分辨率和頻率分辨率的影響。

圖2為α取值較?。ǚ謩e取0.15和2）時(shí)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)時(shí)域、頻域曲線，圖3為α取值較大（分別取50和500）時(shí)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)時(shí)域、頻域曲線。可見(jiàn)，α取值較小可以得到較好的時(shí)域波形（電壓波動(dòng)包絡(luò)），如圖 2（a）、（b）所示；然而信號(hào)頻率成分分辨不出，如圖 2（c）、（d）所示，無(wú)法檢出工頻和調(diào)制頻率。隨著α的增大，對(duì)頻率的分辨越來(lái)越清晰，如圖3（d）所示，當(dāng)α取值為500時(shí)就可準(zhǔn)確檢測(cè)出50 Hz的工頻以及工頻附近的8.8 Hz的調(diào)制頻率分量，但其時(shí)域波動(dòng)無(wú)法體現(xiàn)，如圖 3（a）、（b）所示?？梢?jiàn)，如果時(shí)間分辨率要求高，就選取較小的α值，反之，如果頻率分辨率要求高，就選取較大的α值。

圖2 α取值較小時(shí)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)時(shí)域和頻域曲線Fig.2 Time domain curve and frequency domain curve when α is small

圖3 α取值較大時(shí)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)時(shí)域和頻域曲線Fig.3 Time domain curve and frequency domain curve when α is large

由以上分析可知，可以通過(guò)改變窗函數(shù)的寬度實(shí)現(xiàn)S變換的多分辨率，即通過(guò)調(diào)節(jié)α的大小，來(lái)改變其時(shí)間分辨率和頻率分辨率。選取小的α值提高時(shí)間分辨率，獲得電壓閃變信號(hào)的波動(dòng)幅值，選取大的α值提高頻率分辨率得到精確的調(diào)制頻率。

3 仿真結(jié)果

3.1 單一調(diào)制頻率的電壓閃變

假設(shè)電壓工頻信號(hào)頻率為50 Hz，相對(duì)幅值為1，采樣率為500 Hz，調(diào)幅波頻率為8.8 Hz，相對(duì)幅值為10%，調(diào)幅波發(fā)生的時(shí)間為2～5 s。

圖4是S模矩陣的幅值-時(shí)間曲線，即信號(hào)的時(shí)域幅值包絡(luò)，反映了10%的調(diào)制波引起的電壓波動(dòng)，起止時(shí)間對(duì)應(yīng)第1000～2500個(gè)采樣點(diǎn)，為提高時(shí)域分辨率，此時(shí)α取0.25。圖5是波動(dòng)信號(hào)的頻域特性曲線，為了清晰分辨出調(diào)制頻率，排除工頻信號(hào)的影響，這里通過(guò)對(duì)包絡(luò)信號(hào)（即圖4中的信號(hào)）進(jìn)行S變換，S模矩陣所對(duì)應(yīng)的幅值-頻率曲線反映了波動(dòng)信號(hào)的各頻率成分（即閃變頻率），由圖5可見(jiàn)，可以明顯辨識(shí)出8.8 Hz的調(diào)制頻率，此時(shí)α取值為500。圖6是S模矩陣所對(duì)應(yīng)的頻率-時(shí)間曲線，可以看出8.8 Hz的頻率發(fā)生的時(shí)間區(qū)間大致對(duì)應(yīng)第1000～2500個(gè)采樣點(diǎn)（即2～5 s），此時(shí)α取為30。

圖4 電壓閃變信號(hào)的幅值包絡(luò)曲線（α=0.25）Fig.4 Amplitude envelope curve offlicker signal（α=0.25）

圖5 波動(dòng)信號(hào)的頻域特性曲線（α=500）Fig.5 Frequency domain curve offluctuation signal（α=500）

圖6 閃變發(fā)生的時(shí)間（α=30）Fig.6 Occurrence time of flicker（α=30）

3.2 多調(diào)制頻率的電壓閃變

考慮含有高次諧波時(shí)，同時(shí)包含多個(gè)調(diào)制頻率的閃變信號(hào)，假設(shè)3次和5次諧波的相對(duì)幅值分別為0.1和0.05，多頻閃變各參數(shù)設(shè)置如表1所示，其中調(diào)幅波幅值為標(biāo)幺值。

圖7是包含高次諧波的多頻閃變信號(hào)曲線。圖8是S模矩陣的幅值-時(shí)間曲線，即信號(hào)的時(shí)域幅值包絡(luò)，可以看出在不同的時(shí)間區(qū)間分別存在3種頻率的電壓波動(dòng)，調(diào)制波的幅值分別為0.024、0.039和0.064。圖9是多頻閃變波動(dòng)信號(hào)的頻域特性曲線，為了提高頻率分辨率，需要取較大的α值，此處α取500，幅值-頻率曲線可以明顯地分辨出3種調(diào)制頻率（即閃變頻率）分別為5 Hz、8.8 Hz和20 Hz。圖10是S模矩陣所對(duì)應(yīng)的頻率-時(shí)間曲線，可以看出各個(gè)頻率發(fā)生的時(shí)間區(qū)間與表1中的起止時(shí)刻一致。

表1 多頻閃變信號(hào)仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of multi-frequency flicker signal

圖7 電壓閃變信號(hào)Fig.7 Voltage flicker signal

圖8 多頻閃變信號(hào)的幅值包絡(luò)曲線（α=0.04）Fig.8 Amplitude envelope curve of multi-frequency flicker signal（α=0.04）

圖9 多頻閃變波動(dòng)信號(hào)的頻域特性曲線（α=500）Fig.9 Frequency domain curve of multi-frequency fluctuation signal（α=500）

圖10 多頻閃變發(fā)生的時(shí)間（α=20）Fig.10 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=20）

3.3 調(diào)幅波幅值非平穩(wěn)的閃變信號(hào)

假設(shè)幅值非平穩(wěn)的調(diào)幅波信號(hào)為：

經(jīng)此調(diào)幅波調(diào)制的電壓波動(dòng)信號(hào)如圖11所示。經(jīng)S變換之后，可以得到信號(hào)的時(shí)域包絡(luò)見(jiàn)圖12，閃變信號(hào)的頻域特性曲線見(jiàn)圖13，閃變發(fā)生的起止時(shí)刻見(jiàn)圖14?？梢?jiàn)，對(duì)于非平穩(wěn)的調(diào)幅波信號(hào)，S變換也能準(zhǔn)確檢測(cè)：閃變頻率為10 Hz，調(diào)制波幅值變化見(jiàn)圖12，閃變發(fā)生的時(shí)間為0～2 s和4～6s。

圖11 含有非平穩(wěn)調(diào)幅波的電壓閃變信號(hào)Fig.11 Voltage flicker signal containing nonstationary amplitude modulation wave

圖12 閃變信號(hào)的幅值包絡(luò)曲線（α=-0.05）Fig.12 Amplitude envelope curve of flicker signal（α=-0.05）

圖13 閃變信號(hào)的頻域特性曲線（α=500）Fig.13 Frequency domain curve of fluctuation signal（α=500）

圖14 閃變發(fā)生的時(shí)間（α=30）Fig.14 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=30）

4 結(jié)論

本文介紹了一種基于S變換的時(shí)頻分析方法，對(duì)電壓閃變信號(hào)的局部特性進(jìn)行時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示，S變換的結(jié)果包含了頻率-時(shí)間、幅值-時(shí)間和幅值-頻率的信息，滿足電壓閃變信號(hào)中對(duì)波動(dòng)幅值、調(diào)制頻率以及閃變發(fā)生的起止時(shí)刻的分析要求。本文研究了S變換中時(shí)間分辨率和頻率分辨率的不相容性，分析了高斯窗口的寬度對(duì)分辨率的影響，即調(diào)節(jié)α的大小可以使得S變換具有多分辨率的特性，實(shí)現(xiàn)了電壓閃變的準(zhǔn)確測(cè)量，仿真結(jié)果證明了算法的有效性。