崔 崧, 張治國, 劉麗麗

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

考慮摩擦的剪切損傷本構(gòu)關(guān)系的力學(xué)分析

崔 崧, 張治國, 劉麗麗

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

脆性和準(zhǔn)脆性材料在外部載荷作用下,通常會表現(xiàn)出復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。其中,受壓剪作用的裂紋是否摩擦滑動,對材料的剪切本構(gòu)關(guān)系會產(chǎn)生很大的影響。之前在一些文獻(xiàn)中提出過這種考慮裂紋摩擦效應(yīng)的損傷本構(gòu)模型,但只是理論假設(shè),并沒有進(jìn)行過嚴(yán)格的證明?？梢钥紤]一個受壓剪作用的單元體,其中心含一條微裂紋,利用彈性力學(xué)理論中的復(fù)變函數(shù)方法可以給出單元體邊界及裂紋所在平面處的位移場,通過某種平均化的方法,可得到單元體基體平均剪應(yīng)變的一種形式,而這種形式與單元體邊界及裂紋的幾何尺寸有關(guān),進(jìn)一步可定義與這些幾何尺寸相關(guān)的剪切損傷變量,將基體平均剪應(yīng)變代入到彈性剪切本構(gòu)關(guān)系中,可得到考慮摩擦效應(yīng)的脆性和準(zhǔn)脆性材料彈性剪切損傷本構(gòu)關(guān)系。這種方法利用了現(xiàn)有的彈性力學(xué)理論,所以得到的結(jié)論是可靠的。

摩擦; 剪切; 彈性力學(xué); 損傷; 本構(gòu)關(guān)系

0 引 言

為了描述脆性和準(zhǔn)脆性材料的復(fù)雜力學(xué)行為,采用唯象的各向異性損傷理論是一種比較有效的方法,而且有很多學(xué)者作了大量的相應(yīng)工作[1-11]。對于受壓剪作用的裂紋面,為了描述摩擦效應(yīng),Dragon等人[11]在損傷本構(gòu)關(guān)系中引入一個二階滑動張量γ,但模型較為復(fù)雜,為此文獻(xiàn)[12]提出了一種簡單實用的摩擦塑性損傷耦合模型,并作了一些應(yīng)用[13]。

為了驗證文獻(xiàn)[12]的結(jié)論,可以考慮一個遠(yuǎn)端受壓剪作用且中心含一條裂紋的薄板,在裂紋周圍截取一單元體,對之進(jìn)行彈性力學(xué)分析,可得到基體平均剪應(yīng)變的表達(dá)式,再利用彈性剪切本構(gòu)關(guān)系,則得到單元體的彈性剪切損傷本構(gòu)方程,方程中的剪切損傷變量與單元體邊界及裂紋尺寸有關(guān)。通過這種力學(xué)分析,證明了文獻(xiàn)[12]有關(guān)摩擦的剪切損傷本構(gòu)模型是正確的。

1 遠(yuǎn)端受壓剪薄板內(nèi)部的位移場

在文獻(xiàn)[12]中考慮了一個平面問題下?lián)p傷主軸坐標(biāo)系中受壓剪作用的代表性體積單元,如圖1所示。假設(shè)水平裂紋對應(yīng)的剪切損傷變量ω12保持不變,作用在裂紋上的壓力σn也恒定,則裂紋面上的最大摩擦力τf=μsσn,其中μs為材料的摩擦系數(shù)。文獻(xiàn)[12]認(rèn)為,當(dāng)施加在單元上的剪應(yīng)力τ12逐漸增加時,其剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)為

圖1 含一條裂紋的單元

下面用彈性力學(xué)理論來證明這個公式?？紤]一個內(nèi)部含一條裂隙的無限大薄板,如圖2所示,裂隙沿x方向,長度為2a,遠(yuǎn)端受均布壓剪載荷作用,其中均布剪力q1平行和垂直于x方向,均布壓應(yīng)力q2平行于y方向。

假設(shè)均布壓應(yīng)力q2不變,均布剪力q1由小到大逐漸增加,且加載依次分為2個階段:1)當(dāng)q1較小時,裂紋閉合且不滑動,裂紋面上承受與遠(yuǎn)端相同的剪力q1,薄板相當(dāng)于無損狀態(tài);2)當(dāng)q1增大到等于裂紋面能承受的最大剪應(yīng)力τf=μsq2時,裂紋面開始滑動,薄板處于損傷狀態(tài),而裂紋面上的剪應(yīng)力保持τf=μsq2不變。2個階段裂紋面上承受的壓應(yīng)力保持q2不變。

我們知道,平面應(yīng)力下薄板的位移分量的復(fù)變函數(shù)表示式為[14-15]

式中:E為材料楊氏模量;μ為泊松比;φ1(z)、ψ1(z)為變量z=x+iy的復(fù)變函數(shù),若已知其表達(dá)式,代入上式中并將右邊的實部和虛部分開,便可得到材料內(nèi)任一點(x,y)的位移分量u和v。

對于加載的第1階段,薄板遠(yuǎn)端和裂紋面分別受剪力q1、壓應(yīng)力q2的作用,4種邊界條件各有其復(fù)變函數(shù)φ1(z)、ψ1(z)的表達(dá)式[14],其疊加形式為

其中,q2為負(fù),q1為正。代入式(2),可得第1階段薄板各點位移為

在加載的第2階段,薄板遠(yuǎn)端受剪力q1、壓應(yīng)力q2的作用,裂紋面上承受剪力τf和壓應(yīng)力q2,4種邊界條件下的復(fù)變函數(shù)φ1(z)、ψ1(z)的形式分別為

將式(4),式(5)代入式(2),可得到裂紋發(fā)生摩擦滑動時薄板各點的位移。

2 含裂紋單元體剪切本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)

在圖2中薄板的裂紋周圍截取一塊單元體,如圖3所示,裂紋對稱位于單元體中央,單元體長度為2l,高度為2h,單元體受壓剪作用,與圖1中的研究對象類似。

圖2 遠(yuǎn)端受壓剪載荷的薄板

圖3 中心含裂紋的單元體

在加載的第1階段,薄板各點處剪應(yīng)變γ12利用式(3)求出為

其中,G為剪切模量,且G=E/2(1+μ)。單元體的平均剪應(yīng)變與上式相同,單元體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

形式與式(1)中第1式是一致的。

其中,f1,f2僅與單元體邊界和裂紋的幾何尺寸有關(guān),與載荷大小無關(guān),具體形式可見文獻(xiàn)[16]。

對于裂紋面(y=0)上的位移u,由式(4)、式(5)和式(2)可得

式(11)的形式與式(1)中的第2式是一致的。通過對兩個加載階段的力學(xué)分析得到公式(6)和式(11),我們就證明了式(1)是正確的。以上的分析是在平面應(yīng)力條件下進(jìn)行的,但結(jié)論同樣適用于平面應(yīng)變條件。

3 結(jié) 論

利用彈性力學(xué)理論對裂紋受壓剪時的剪切彈性損傷本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了分析,得到的結(jié)論適用于脆性和準(zhǔn)脆性材料,這是由于這種材料從加載到破壞過程中被認(rèn)為一直是彈性的。該方法不僅可以分析剪切損傷本構(gòu)關(guān)系的裂紋摩擦效應(yīng),也可以分析復(fù)雜載荷下拉伸和壓縮損傷本構(gòu)關(guān)系的裂紋摩擦效應(yīng),進(jìn)一步可分析得到含隨機(jī)裂紋材料的考慮摩擦效應(yīng)的各項力學(xué)性能。

[ 1 ]KRAJCINOVIC D,FONSEKA G U. The continuous damage theory of brittle materials[J]. J Appl Mech, 1981,48(4):809-824.

[ 2 ]CHOW C L,WANG June. An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics[J]. Int J Fract, 1987,33(1):3-16.

[ 3 ]余天慶,錢濟(jì)成. 損傷理論及其應(yīng)用[M]. 北京:國防工業(yè)出版社,1993.

[ 4 ]SWOBODA G,SHEN Xinpu, ROSAS L. Damage model for jointed rock mass and its application to tunnelling[J]. Comput Geotec ,1998,22(3/4):183-203.

[ 5 ]SWOBODA G,YANG Qiang. An energy-based damage model of geomaterials (part 1 and part 2)[J]. Int J Sol S, 1999,36(12):1719-1755.

[ 6 ]KUHL E,RAMM E, BORST R. An anisotropic gradient damage model for quasi-brittle materials[J]. Comput Meth, 2000,183(1):87-103.

[ 7 ]馮西橋. 脆性材料的細(xì)觀損傷理論和損傷結(jié)構(gòu)的安定分析[D]. 北京:清華大學(xué), 1995.

[ 8 ]余壽文,馮西橋. 損傷力學(xué)[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 1997.

[ 9 ]BASISTA M,GROSS D. The sliding crack model of brittle deformation: an internal variable approach[J]. Int J Sol S, 1998,35(5):487-509.

[10]HALM D,DRAGON A. An anisotropic model of damage and frictional sliding for brittle materials[J]. Euro J Mec A, 1998,17(3):439-460.

[11]DRAGON A, HALM D,DESOYER T. Anisotropic damage in quasi-brittle solids: modeling, computational issues and applications[J]. Comput Meth, 2000,183(3/4):331-352.

[12]崔崧,黃寶宗,張鳳鵬. 準(zhǔn)脆性材料的彈塑性損傷耦合模型[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2004,23(19):3221-3225.

[13]崔崧,張鍇,呂嫣,等. 復(fù)合材料層板非線性全耦合分析[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2009,27(2):178-180.

[14]徐芝綸. 彈性力學(xué):上冊[M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2006.

[15]陸明萬,羅學(xué)富. 彈性理論基礎(chǔ):下冊[M]. 2版. 北京:清華大學(xué)出版社, 2001.

[16]崔崧,陳嵐峰. 剪切損傷細(xì)觀機(jī)理的彈性力學(xué)分析[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2013,31(1):21-24.

Mechanicsanalysisofsheardamageconstitutiverelationwithfriction

CUISong,ZHANGZhiguo,LIULili

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034,China)

The stress-strain relation of brittle and quasi-brittle materials is usually very complex under the external load. In compression shearing, the crack surface of materials may slide relatively, which can make a great influence to shear constitutive relation. In some of the existing literature, the friction effect has been considered, but the related constitutive equations have not been rigorously proved, only as a hypothesis. Considering a volume element with one micro crack, and using the method of function of the complex variable based on the theory of the elasticity, the displacement field of the boundary and the crack surface is analyzed. It can be got a form of the matrix average shear strain which related to the geometry of the element and the crack by some averaging method, further can define the shear damage variable associated with the geometry. By putting the matrix average shear strain into the elastic shear constitutive relation, the elastic shear damage constitutive relation with friction for brittle and quasi-brittle materials can be obtained. This method has applied the theory of the elasticity, so the result would be reliable.

friction; shear; elasticity; damage; constitutive relation

2014-08-18。

遼寧省教育廳科學(xué)研究項目(L2014442)。

崔 崧(1969-),男(滿族),遼寧本溪人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2014)04-0553-04

O346.5

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.021