鞠 平，劉詠飛，王紅印，孫建華，余一平

（1.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.河南省電力公司 電力調(diào)度控制中心，河南 鄭州 450052）

0 引言

在過去的幾十年里，世界各地電網(wǎng)陸續(xù)觀測(cè)到許多振蕩現(xiàn)象[1-3]，其表現(xiàn)特征主要為等幅或增幅形式的振蕩。振蕩不但限制了系統(tǒng)區(qū)域間的功率傳輸能力，而且嚴(yán)重威脅電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，甚至有可能誘發(fā)連鎖事故，導(dǎo)致大面積停電等[4-6]。因此，加強(qiáng)對(duì)振蕩的研究具有十分重要的意義。

同時(shí)，大力發(fā)展新能源發(fā)電是國(guó)家戰(zhàn)略，風(fēng)電、光伏、海洋能發(fā)電等相關(guān)產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展。與傳統(tǒng)的水力、火力發(fā)電方式相比，新能源發(fā)電具有資源可再生、清潔環(huán)保等諸多優(yōu)勢(shì)[7]，但是其強(qiáng)隨機(jī)性[8-9]也不可避免地成為了影響電網(wǎng)安全穩(wěn)定的一個(gè)隱患。

對(duì)實(shí)際電網(wǎng)中出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象[10-12]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過理論分析和振蕩復(fù)現(xiàn)，對(duì)一些振蕩的產(chǎn)生機(jī)理給出了合理的解釋，主要有弱阻尼機(jī)理、強(qiáng)迫振蕩機(jī)理、混沌振蕩機(jī)理等[13-19]，并對(duì)不同的產(chǎn)生機(jī)理采取了相應(yīng)的抑制措施。但從目前掌握的調(diào)查資料來(lái)看，系統(tǒng)中未知機(jī)理的振蕩現(xiàn)象仍時(shí)有發(fā)生，難以抑制。聯(lián)想到目前快速發(fā)展的新能源和新負(fù)荷并網(wǎng)可能帶來(lái)的功率波動(dòng)[20-21]，隨機(jī)激勵(lì)能否引發(fā)電網(wǎng)中新的振蕩現(xiàn)象、如何在保證新能源發(fā)電和新負(fù)荷正常運(yùn)行的同時(shí)有效地分析和抑制可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象等一系列問題，值得深入探討和研究。

本文從頻域的角度，發(fā)現(xiàn)了廣義強(qiáng)迫振蕩現(xiàn)象和機(jī)理，并與傳統(tǒng)的狹義強(qiáng)迫振蕩進(jìn)行對(duì)比。以新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，基于電流注入法和頻時(shí)變換法，對(duì)廣義強(qiáng)迫振蕩理論進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 狹義強(qiáng)迫振蕩基本概念

傳統(tǒng)的強(qiáng)迫振蕩理論指出[15]：持續(xù)的周期性小擾動(dòng)會(huì)引發(fā)電力系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩，當(dāng)擾動(dòng)頻率等于或者接近系統(tǒng)自然振蕩頻率時(shí)，會(huì)引起系統(tǒng)諧振，導(dǎo)致大幅度的振蕩，或稱為諧振機(jī)理的振蕩。它具有起振快、起振后保持等幅振蕩和失去擾動(dòng)源后振蕩很快衰減等特點(diǎn)。

以單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)經(jīng)典模型為例，式（1）為線性化的發(fā)電機(jī)二階轉(zhuǎn)子搖擺方程，并施加持續(xù)的正弦激勵(lì)：

其中，F(xiàn)0sin ωt為持續(xù)的周期性小擾動(dòng)，F(xiàn)0、ω 分別為擾動(dòng)幅值和頻率；δ、TJ、D、KS分別為發(fā)電機(jī)功角、慣性時(shí)間常數(shù)、阻尼系數(shù)和同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)，均為標(biāo)幺值。

經(jīng)過推導(dǎo)可以求得系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩的振幅為：

由此可見，在v=1，即f=fo，并且阻尼比ζ較小的情況下，對(duì)應(yīng)式（2）中的振幅B將會(huì)很大，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生大幅度振蕩，這種現(xiàn)象被稱作“諧振”。

強(qiáng)迫振蕩理論為傳統(tǒng)的振蕩機(jī)理分析提供了思路，為采取合適措施抑制振蕩提供了途徑。但是該理論主要基于確定性的輸入激勵(lì)，通過激勵(lì)頻率與系統(tǒng)弱阻尼模式頻率之間點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出結(jié)論。這種情況引發(fā)振蕩的概率相對(duì)較小，并不能很好地解釋近期出現(xiàn)的一些振蕩的原因，同時(shí)也未能考慮到隨機(jī)因素，所以本文將傳統(tǒng)的強(qiáng)迫振蕩稱為“狹義強(qiáng)迫振蕩”。

2 廣義強(qiáng)迫振蕩機(jī)理分析

采用頻域方式描述線性系統(tǒng)。設(shè)其頻域傳遞函數(shù)為H（f），輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程u的功率譜密度（PSD）為Su（f），輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程 y 的功率譜密度為 Sy（f），根據(jù)線性系統(tǒng)理論則有[22]：

設(shè)H（f）所對(duì)應(yīng)的拉氏傳遞函數(shù)為G（s），設(shè)其n個(gè)極點(diǎn)為 λi，m 個(gè)零點(diǎn)為 βj，則有：

設(shè)某個(gè)振蕩模式對(duì)應(yīng)一對(duì)共軛復(fù)根：

傳遞函數(shù)中與此相對(duì)應(yīng)的部分記為：

如果 f=foi，則有：

如果該模式具有較弱阻尼，即 σi較小，則就很大。以算例系統(tǒng)中模式9為例，其如圖1所示。

圖1 某個(gè)模式幅頻特性平方Fig.1 Squared amplitude-frequency characteristic of an oscillation mode

如果這樣的模式有I個(gè)，則這I個(gè)模式對(duì)應(yīng)的幅頻特性是乘積關(guān)系：

即幅頻特性在I個(gè)模式頻率附近，都具有一個(gè)尖波，示意圖如圖2中實(shí)線所示。

圖2 廣義強(qiáng)迫振蕩機(jī)理圖Fig.2 Mechanism of general forced oscillations

如果在某些較弱阻尼模式頻率對(duì)應(yīng)的頻段上，有某些輸入隨機(jī)激勵(lì)具有較大的功率譜幅值，如圖2（a）中點(diǎn)劃線所示。根據(jù)式（3），相乘以后所得輸出變量功率譜（如圖中虛線）就大，比如圖2（a）中較弱阻尼模式fo1；反之，如果在某些較弱阻尼模式頻率對(duì)應(yīng)的頻段上，輸入隨機(jī)激勵(lì)的功率譜小，則該頻段輸出變量的功率譜就小，如圖2（a）中較弱阻尼模式fo2和fo3。但如果輸入隨機(jī)激勵(lì)的功率譜頻段發(fā)生變化，如圖2（b）所示，輸出變量功率譜在較弱阻尼模式fo1處小，而在較弱阻尼模式fo2和fo3處則大。

即如果有某些輸入隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段能夠覆蓋某些較弱阻尼模式頻率，就有可能引發(fā)較大的振蕩，振蕩中包含這些較弱阻尼模式頻率分量。

需要特別指出的是，狹義強(qiáng)迫振蕩條件是假設(shè)振蕩源是單頻、而且振蕩源頻率恰好等于或者約等于自然振蕩頻率，這種情況發(fā)生的可能性小。而本文發(fā)現(xiàn)的隨機(jī)激勵(lì)引發(fā)振蕩的條件，只需要某些隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段能夠覆蓋某些較弱阻尼模式頻率，這種情況發(fā)生的可能性就顯著增加。這有可能解釋為什么近期電力系統(tǒng)中一些振蕩屬于強(qiáng)迫振蕩，卻又找不到振蕩原因，也有可能解釋為什么近期電力系統(tǒng)振蕩增多。

由于隨機(jī)激勵(lì)引發(fā)的振蕩屬于強(qiáng)迫振蕩，但又顯著擴(kuò)大了狹義強(qiáng)迫振蕩的范圍，所以本文將隨機(jī)激勵(lì)引發(fā)的振蕩稱之為“廣義強(qiáng)迫振蕩”。

3 廣義強(qiáng)迫振蕩計(jì)算分析

3.1 計(jì)算方法

首先，根據(jù)輸入隨機(jī)激勵(lì)的功率譜，通過頻時(shí)變換[20-22]，可以獲得對(duì)應(yīng)的時(shí)域隨機(jī)波動(dòng)曲線。

然后，基于電力系統(tǒng)分析綜合程序（PSASP）用戶程序接口（UPI）環(huán)境，使 PSASP 和用戶程序（UP）模塊聯(lián)合運(yùn)行，共同完成計(jì)算任務(wù)，如圖3所示。通過UPI模塊，本文將隨機(jī)波動(dòng)的功率源模型以等效電流注入的形式參與系統(tǒng)時(shí)域仿真，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)外部隨機(jī)激勵(lì)的模擬。在混合仿真計(jì)算的過程中，利用PSASP與UP間的數(shù)據(jù)交互，基于電路原理，將隨機(jī)功率波動(dòng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時(shí)變電流數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換公式如下：

其中，Ir和Ii分別為等效電流實(shí)部和虛部；P和Q分別為隨機(jī)波動(dòng)的有功和無(wú)功功率；U和θ分別為從仿真系統(tǒng)中導(dǎo)出的注入母線電壓和相角。

圖3 PSASP與UP連接關(guān)系Fig.3 Relationship of PSASP and UP

在獲得了相應(yīng)的等效電流后，將其注入相應(yīng)的母線節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，具體流程請(qǐng)見相關(guān)文獻(xiàn)[23]。由此獲得輸出變量的時(shí)域響應(yīng)，再通過時(shí)頻變換[20-22]即可獲得輸出變量的功率譜。

3.2 算例系統(tǒng)

算例系統(tǒng)為新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，如圖4所示。由于G10是外網(wǎng)等值機(jī)，其慣性時(shí)間常數(shù)很大，因此選取G10為參考機(jī)。

圖4 算例系統(tǒng)圖Fig.4 Simulation system scheme

3.3 模態(tài)分析結(jié)果

算例系統(tǒng)中，發(fā)電機(jī)采用5階詳細(xì)模型，負(fù)荷采用恒阻抗模型。利用PSASP中的小干擾分析模塊，可以獲得該系統(tǒng)的9個(gè)機(jī)電振蕩模式及其主要參與機(jī)組，如表1、表2所示。由表1可見，9個(gè)模式的頻率均屬于低頻振蕩范圍[6]。另外，表2中各機(jī)組參與各振蕩模式的程度在“＜-＞”符號(hào)兩端分別按從左至右遞減排列，相關(guān)因子小的機(jī)組沒有列入。

表1 系統(tǒng)振蕩模式Tab.1 Oscillation modes of simulation system

表2 系統(tǒng)振蕩模式主要參與機(jī)組Tab.2 Major participant generators in oscillation modes

3.4 狹義強(qiáng)迫振蕩計(jì)算結(jié)果

模態(tài)分析表明，G5參與5個(gè)機(jī)電振蕩模式，分別是模式 1、6、7、8、9，并且參與度均較大，便于進(jìn)行對(duì)比分析。因此，等效電流注入點(diǎn)選在連接G5的節(jié)點(diǎn)34，用以模擬發(fā)電機(jī)有功出力的隨機(jī)波動(dòng)。算例中G5有功出力為5.08 p.u.（508 MW），在該節(jié)點(diǎn)分別注入頻率為1.14 Hz（對(duì)應(yīng)模式6）和1.3 Hz（不對(duì)應(yīng)任何模式）、幅值為0.05 p.u.的正弦功率波動(dòng)，輸出G5相對(duì)G10功角功率譜進(jìn)行對(duì)比，所得結(jié)果見圖5。

圖5 正弦激勵(lì)下G5相對(duì)功角功率譜Fig.5 PSD of relative angle under sinusoidal excitation

由圖5可見，單頻正弦激勵(lì)能夠引起系統(tǒng)功角發(fā)生與激勵(lì)相同頻率的強(qiáng)迫振蕩，并且頻率為1.14Hz的正弦激勵(lì)引起的系統(tǒng)功角振蕩幅值遠(yuǎn)大于頻率為1.3 Hz情況下的振蕩幅值。上述結(jié)果以及其余機(jī)組相對(duì)功角的功率譜分析表明：

a.若正弦激勵(lì)的頻率約等于系統(tǒng)振蕩模式頻率，則該模式被激發(fā)而出現(xiàn)大幅振蕩，參與該模式機(jī)組的功率譜幅值明顯大于未參與機(jī)組；

b.若正弦激勵(lì)的頻率與系統(tǒng)振蕩模式頻率差距較大，則出現(xiàn)小幅強(qiáng)迫振蕩；

c.距激勵(lì)源較近機(jī)組振蕩相對(duì)大，較遠(yuǎn)機(jī)組振蕩相對(duì)小。

3.5 廣義強(qiáng)迫振蕩計(jì)算結(jié)果

從模態(tài)分析表2中可以看出，G5參與的5個(gè)振蕩模式頻率范圍在0.5～1.5 Hz之間。根據(jù)第2節(jié)廣義強(qiáng)迫振蕩理論，若隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段能夠覆蓋系統(tǒng)某些振蕩模式頻率，就會(huì)激發(fā)系統(tǒng)在該模式頻率下的振蕩。為了驗(yàn)證這一理論，首先假設(shè)隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段在0～3 Hz之間，其余頻段幅值為0，這樣就覆蓋了G5參與的5個(gè)振蕩模式頻率。其次，為了便于和狹義強(qiáng)迫振蕩計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，將功率譜幅值與單頻正弦激勵(lì)功率譜幅值保持一致。然后，根據(jù)頻時(shí)變換法，獲取隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)域序列，如圖6所示，圖中功率為標(biāo)幺值，后同。

圖6 隨機(jī)激勵(lì)功率譜和時(shí)域序列Fig.6 PSD and corresponding time-domain sequences of random excitation

其后，將頻時(shí)變換后的隨機(jī)激勵(lì)時(shí)域序列注入算例系統(tǒng)，注入點(diǎn)仍選取節(jié)點(diǎn)34，輸出變量選為G5相對(duì)G10的功角以及節(jié)點(diǎn)16和19之間聯(lián)絡(luò)線的有功功率，在獲得時(shí)域曲線后進(jìn)行功率譜分析，所得結(jié)果如圖7和圖8所示。

由圖可見，隨機(jī)激勵(lì)會(huì)激發(fā)出強(qiáng)迫低頻振蕩。從圖7中標(biāo)出的功率譜峰值頻率可以看出，當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段覆蓋G5參與的5個(gè)振蕩模式頻率時(shí)，能夠從G5相對(duì)功角功率譜中觀測(cè)到對(duì)應(yīng)頻率的5個(gè)尖峰。從圖8中區(qū)域聯(lián)絡(luò)線有功功率結(jié)果來(lái)看，能夠觀察到4個(gè)尖峰但缺少模式1。分析表明模式1是G4和G5之間的局部振蕩模式，而聯(lián)絡(luò)線在G4和G5之外，故模式1未能在聯(lián)絡(luò)線功率譜中觀測(cè)到。

需要說(shuō)明的是，由于算例系統(tǒng)的非線性以及數(shù)值計(jì)算誤差等原因，圖7和圖8中功率譜峰值頻率與系統(tǒng)振蕩模式頻率略有偏差但不大?？傊?，通過計(jì)算各機(jī)組相對(duì)功角功率譜進(jìn)行驗(yàn)證，能夠得出結(jié)論：G5參與的5個(gè)振蕩模式均被激發(fā)，而G5未參與的4個(gè)振蕩模式均未被激發(fā)。

圖7 寬頻段隨機(jī)激勵(lì)下G5相對(duì)功角及其功率譜Fig.7 Relative angle under random excitation and its PSD

圖8 寬頻段隨機(jī)激勵(lì)下區(qū)域聯(lián)絡(luò)線有功功率及其功率譜Fig.8 Active power on area tie-line under random excitation and its PSD

圖9 兩頻段隨機(jī)激勵(lì)功率譜Fig.9 PSD of two-segment random excitation

為了進(jìn)一步驗(yàn)證廣義強(qiáng)迫振蕩理論，將全頻段隨機(jī)激勵(lì)分為2個(gè)窄頻段，針對(duì)G5參與的5個(gè)振蕩模式有選擇地進(jìn)行激發(fā)。假設(shè)原隨機(jī)激勵(lì)在0.4～0.7 Hz和1.1～1.4 Hz這2個(gè)頻段功率譜幅值不變，其余頻段幅值變?yōu)?，如圖9所示。為了更加符合實(shí)際電網(wǎng)出現(xiàn)的隨機(jī)功率波動(dòng)，將低頻段隨機(jī)激勵(lì)注入點(diǎn)選在連接G5的節(jié)點(diǎn)34，模擬發(fā)電機(jī)有功出力的慢變隨機(jī)波動(dòng)；而高頻段隨機(jī)激勵(lì)注入點(diǎn)選在與G5電氣距離最近的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)20，模擬負(fù)荷的快變隨機(jī)波動(dòng)。在發(fā)電機(jī)功率和負(fù)荷功率的隨機(jī)激勵(lì)下，所得G5相對(duì)功角的功率譜如圖10所示，聯(lián)絡(luò)線16-19有功功率的功率譜如圖11所示。

圖10 兩頻段隨機(jī)激勵(lì)下G5相對(duì)功角功率譜Fig.10 PSD of relative angle under two-segment random excitation

圖11 兩頻段隨機(jī)激勵(lì)下區(qū)域聯(lián)絡(luò)線有功功率功率譜Fig.11 PSD of active power on area tie-line under two-segment random excitation

從模態(tài)分析結(jié)果中可以看到，兩頻段隨機(jī)激勵(lì)的功率譜僅覆蓋了G5參與的模式6和模式9的對(duì)應(yīng)頻率。從圖10、圖11也只觀測(cè)到2個(gè)尖峰，其峰值頻率分別對(duì)應(yīng)模式6和模式9，而模式1、7、8則沒有觀測(cè)到。由此可以得出結(jié)論，當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)的功率譜未能覆蓋某振蕩模式對(duì)應(yīng)頻率時(shí)，該模式不會(huì)被激發(fā)。這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文廣義強(qiáng)迫振蕩理論的正確性。除此之外，通過圖10、圖11結(jié)果對(duì)比可以看出，不僅發(fā)電機(jī)有功出力的隨機(jī)波動(dòng)會(huì)引起系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩，與發(fā)電機(jī)電氣距離較近的負(fù)荷功率隨機(jī)波動(dòng)也有可能對(duì)系統(tǒng)振蕩產(chǎn)生影響，并且激勵(lì)源與觀測(cè)點(diǎn)位置的電氣距離越近，影響就越大。

4 結(jié)論

本文從頻域角度發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)激勵(lì)引發(fā)的廣義強(qiáng)迫振蕩。從理論分析和計(jì)算分析證明：如果輸入隨機(jī)激勵(lì)功率譜頻段能夠覆蓋系統(tǒng)某些較弱阻尼模式頻率，就有可能引發(fā)較大的強(qiáng)迫振蕩，輸出振蕩中包含這些較弱阻尼模式頻率分量。

相比于狹義強(qiáng)迫振蕩理論在頻率上的“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”相等，廣義強(qiáng)迫振蕩理論中“面對(duì)點(diǎn)”的激發(fā)條件顯著增加了系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩的可能性。這有可能解釋為什么近期電力系統(tǒng)中一些振蕩屬于強(qiáng)迫振蕩卻找不到振蕩原因，也有可能解釋近期電力系統(tǒng)振蕩增多的原因。