吳文青，謝誕梅，楊 毅，胡鵬飛

（武漢大學(xué) 動力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072）

彎軸事故可能發(fā)生在轉(zhuǎn)子的運(yùn)輸、安裝或者使用過程中。雖然對大部分的旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，轉(zhuǎn)子彎曲（包括熱彎曲和初始彎曲）的幅度都非常微小，有時甚至可以忽略不計(jì)，但是，對于需要長期運(yùn)行的大型汽輪發(fā)電機(jī)組而言，由于其軸系跨度大、且轉(zhuǎn)子直徑大，其細(xì)微變化都將嚴(yán)重影響軸系的穩(wěn)定性。運(yùn)行中，轉(zhuǎn)子的彎曲可以由很多因素引起：工況快速變動中產(chǎn)生的熱變形、轉(zhuǎn)子受到冷熱交替的沖擊、碰磨、摩擦部位的熱效應(yīng)、軸系剛度的改變等。研究成果表明，彎軸引起的振動響應(yīng)狀態(tài)與傳統(tǒng)的由于質(zhì)量不平衡造成的和轉(zhuǎn)速變化一致的振動響應(yīng)非常相似，二者僅在振動幅值和相位角上存在著一些微小的區(qū)別，特別在極低速或極高速情況下這種區(qū)別比較明顯。對于有初始彎曲的轉(zhuǎn)子，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近0時，振幅接近初始彎曲值；反之，在高轉(zhuǎn)速下，因?yàn)閺椥宰冃闻c彎曲變形呈180°反向，振幅趨于0。幾十年來，學(xué)者們對初始彎曲故障引起的轉(zhuǎn)子振動現(xiàn)象進(jìn)行了深入的研究。林富生等［1］研究了有初彎的剛度非對稱轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性，并進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。羅廷等［2］研究了具有初始彎曲的多圓盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階振動特性。Nicholas等［3］通過理論和實(shí)驗(yàn)的方法研究了彎軸狀態(tài)下?lián)闲赞D(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)；Parkinson等［4］指出轉(zhuǎn)子在彎軸和質(zhì)量不平衡下具有不同的振動響應(yīng)；Shiau等［5］研究了殘余彎曲對具有傾斜輪盤和不平衡質(zhì)量的簡化輪盤－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)的影響；Edwards等［6］則給出了通過測量轉(zhuǎn)動信號確定轉(zhuǎn)子彎曲和彎曲形狀的模態(tài)分量判斷法。上述文獻(xiàn)沒有涉及交叉剛度、回轉(zhuǎn)效應(yīng)、剪切模量和慣性效應(yīng)等，而這些因素對大型汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子的影響不容忽視。

1 000 MW超超臨界機(jī)組憑借良好的運(yùn)行性能在中國得到快速發(fā)展。然而，運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)顯示，很多1 000 MW超超臨界汽輪發(fā)電機(jī)組都存在振動偏大的現(xiàn)象，特別是低壓轉(zhuǎn)子的振動比較突出。資料顯示，在機(jī)組的調(diào)試和運(yùn)行初始階段，低壓轉(zhuǎn)子的彎軸故障越來越突出。造成這種故障的原因可能是由于低壓轉(zhuǎn)子存在著不均勻的溫度場，而不均勻的溫度場可能是由于機(jī)組啟停過程中溫度的快速增加／減少所造成。針對這一問題，本文選取某1 000 MW超超臨界汽輪機(jī)的低壓＃2轉(zhuǎn)子為研究對象，研究其在具有初始彎曲狀態(tài)下的振動特性［7］。圖1給出了低壓＃2轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，在建立有限元模型時考慮了軸系的回轉(zhuǎn)效應(yīng)、剪切彈性模量、轉(zhuǎn)動慣量。整個轉(zhuǎn)子被劃分為46個節(jié)點(diǎn)。計(jì)算中，取兩軸承處的初始支撐剛度相同（kxx＝kyy＝2．45×109N／m）、阻尼相同（cxx＝cyy＝3×103N·s／m）。

圖1 低壓＃2轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)?；疐ig．1 Modeling of a LP B rotor-bearing system

1 模態(tài)分析

對于一個多自由度的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)，其振動方程通常按如下方程描述：

式中：q為廣義坐標(biāo)系下的單位矢量；M為質(zhì)量矩陣；G為回轉(zhuǎn)矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度；F（t）為合力。

1．1 自由振動

對于自由振動，F(xiàn)（t）＝0。此時，方程（1）的狀態(tài)空間表達(dá)可以寫成［8］：

一階微分方程的空間矢量X＝｛q q·｝T是

因此，自由振動的解可以寫成如下形式：

式中，X0是復(fù)矢量，s是復(fù)標(biāo)量。將式 （4）代入式 （3）并整理得：

因指數(shù)不為零，故

式（6）是特征值的求解問題，其解有2n對共軛復(fù)數(shù)：

式中：si為第i模態(tài)的特征值，它以共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)；ωni、ωdi、ζi分別為固有頻率、固有阻尼頻率和阻尼系數(shù)。

1．2 不平衡響應(yīng)

作用在節(jié)點(diǎn)k上的廣義力矢量可以用偏心輪盤的偏心距離ε和偏心角度β表示［6］。

式中：δ和γ分別是t＝0時在Oxy軸平面產(chǎn)生的外部不平衡力和力矩的大小。將方程（8）代入方程（1）即有：

其穩(wěn)定解可以通過假設(shè) q（t）＝R（q0ejΩt）求得（其中q0為復(fù)數(shù)）。因此

1．3 彎軸響應(yīng)

對于一個彎曲轉(zhuǎn)子，其運(yùn)動方程可以寫成［6］

式中：qe為節(jié)點(diǎn)處的彈性彎曲矢量；q為該節(jié)點(diǎn)處總的彎曲矢量。因此有q＝qe＋qb，其中qb表示帶有初始彎曲的轉(zhuǎn)子在靜止?fàn)顟B(tài)下彎曲矢量，由此可得qe＝qqb。因此，方程（11）可以改寫成

彎曲轉(zhuǎn)子的各幾何截面的詳盡定義如文獻(xiàn)［9］所述。因?yàn)檗D(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，所以描述彎曲轉(zhuǎn)子狀態(tài)的方程是時間的函數(shù)，于是有 qb（t）＝R（qb0ejΩt）其中 qb0為復(fù)數(shù)。因此

令其解的形式為 q（t）＝R（q0ejΩt），則

2 計(jì)算結(jié)果

2．1 轉(zhuǎn)子固有頻率

表1給出了轉(zhuǎn)子在0 r／min和3 000 r／min之間的前8階固有頻率（特征值）。轉(zhuǎn)速為0時，固有頻率成對出現(xiàn)，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)子在x方向和y方向的慣性及支持剛度完全相同。當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到3 000 r／min時，在回轉(zhuǎn)效應(yīng)的作用下，每一對固有振動頻率會發(fā)生分離現(xiàn)象。其原因是該轉(zhuǎn)子及其輪盤的直徑大而導(dǎo)致回轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響也大。需要說明的是，因方程根的實(shí)部非常小，其阻尼系數(shù)近似為0，因此有阻尼的固有頻率與無阻尼的固有頻率非常接近。

表1 前8階的特征值及對應(yīng)的固有頻率Tab 1．The first eight eigenvalues and natural frequencies0 rev／min3000 rev／minRoot s

2．2 案例分析

2．2．1 案例 1：轉(zhuǎn)子的支撐各向同性

（1）不平衡響應(yīng)

假設(shè)在轉(zhuǎn)子11號和31號節(jié)點(diǎn)（圖1所示）上的相同相位角位置各附加一個大小相同的不平衡質(zhì)量（0．001 m）。圖2給出了施加不平衡質(zhì)量后x方向上的不平衡響應(yīng)（因?yàn)檗D(zhuǎn)子是軸對稱，所以其在x方向和y方向的響應(yīng)一致）。由圖可知，在轉(zhuǎn)速為1 360、2 750和3 680 r／min時轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)達(dá)到最大值。比較發(fā)現(xiàn)，這幾個轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子的前三階固有頻率基本一致，只有正進(jìn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時，相位角幾乎產(chǎn)生了180°的改變（由于阻尼的存在，相位角的變化不完全等于180°）。而當(dāng)轉(zhuǎn)速低于2 240 r／min之前，2節(jié)相位相同。在共振轉(zhuǎn)速和反共振轉(zhuǎn)速2節(jié)點(diǎn)的相位角都會發(fā)生翻轉(zhuǎn)。11號節(jié)點(diǎn)處的相位角在轉(zhuǎn)速為2 250 r／min時由約180°翻轉(zhuǎn)至約 －180°，而在2 890 r／min時又由約－180°翻轉(zhuǎn)至約180°；31號節(jié)點(diǎn)處的相位角在轉(zhuǎn)速為3 050 r／min時由約180°翻轉(zhuǎn)至約 －180°。

圖2 轉(zhuǎn)子11、31號節(jié)點(diǎn)x方向的不平衡響應(yīng)Fig．2 Unbalance response of the rotor at node 11，31 in the x direction

（2）彎軸響應(yīng)

本文在計(jì)算彎曲轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)時，首先通過有限元計(jì)算得到轉(zhuǎn)子的初始彎曲值，Christopher等［9］對此有過詳盡的論述。圖3給出了通過有限元模型獲得的階梯軸在垂直平面的撓曲變形分布。轉(zhuǎn)子上施加了輪盤和轉(zhuǎn)子的質(zhì)量力。

圖4給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對在初始彎曲不平衡力作用下、在11、31號節(jié)點(diǎn)處的振動響應(yīng)。

圖3 階梯軸在垂直平面的撓曲變形分布Fig．3 Stepped shaft deflection in vertical plane

圖4 彎軸狀態(tài)下轉(zhuǎn)子11號、31號節(jié)點(diǎn)x方向上振動響應(yīng)Fig．4 The response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to a bent rotor

與圖2中因不平衡力而產(chǎn)生的響應(yīng)相比，雖然二者的響應(yīng)結(jié)果非常相似，但在轉(zhuǎn)子的低速區(qū)和高速區(qū)存在著細(xì)微差別：首先，在轉(zhuǎn)速為2 670 r／min附近時，轉(zhuǎn)子的11號節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng)值為0；其次，11和31號節(jié)點(diǎn)在第二、第三峰值處均未出現(xiàn)反共振；第三，最大響應(yīng)分別發(fā)生在轉(zhuǎn)速為 1 360 r／min，2 750 r／min和3 680 r／min時，這與不平衡力引起的轉(zhuǎn)子最大響應(yīng)值一致；最后，11號節(jié)點(diǎn)處的相位角在2 170 r／min時由約180°翻轉(zhuǎn)至約 －180°，而31號節(jié)點(diǎn)處的相位角在2 870 r／min時由約 180°翻轉(zhuǎn)至 －約 180°。

2．2．3 案例 2：轉(zhuǎn)子的支撐各向異性

對同一軸系，本文還計(jì)算了軸承支撐剛度變化的影響：即在其他參數(shù)不變的條件下，將其軸承支撐方式改變?yōu)楦飨虍愋?，軸承的初始支撐剛度給定為kxx＝2．45×109N／m及 kyy＝2．00×109N／m。

（1）不平衡響應(yīng)

在上述條件下，同樣假設(shè)在轉(zhuǎn)子11號和31號節(jié)點(diǎn)（圖1所示）上的相同相位角位置各附加一個大小相同的不平衡質(zhì)量（0．001 m）。此時的不平衡響應(yīng)如圖5所示。

由圖5可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為 1 340、1 360、2 620、2 760、3 360和3 670 r／min時響應(yīng)達(dá)到最大。此外，在這種條件下，轉(zhuǎn)子同時出現(xiàn)正進(jìn)動和反進(jìn)動現(xiàn)象。

由于系統(tǒng)x、y方向的支撐剛度不一樣，造成了這兩個方向上渦動幅度不一樣，如圖6和圖7所示。

圖5 轉(zhuǎn)子11號、31號節(jié)點(diǎn)x方向上不平衡力作用下的響應(yīng)（橢圓長軸方向）Fig．5 Response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to out-of-balance force at node 11 and node 31（the length of the semimajor axis of the orbit）

圖6 11號節(jié)點(diǎn)處x、y方向上的振動響應(yīng)，著色區(qū)域?yàn)榉催M(jìn)動Fig．6 Response in x and y direction at node 11．The shaded region indicates backward whirl

圖7 31號節(jié)點(diǎn)處x、y方向上的振動響應(yīng)，著色區(qū)域?yàn)榉催M(jìn)動Fig．7 Response in x and y direction at node 31．The shaded region indicates backward whirl

圖8 彎曲轉(zhuǎn)子11、31號節(jié)點(diǎn)處x方向上的振動響應(yīng)Fig．8 The response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to a bent rotor

仔細(xì)觀察圖6和圖7不難看出，在x和y方向的振幅最大響應(yīng)處，相位的響應(yīng)也發(fā)生改變，但x方向上相位角的變化跟y方向上相位角的變化并不一致。圖6和圖7中的著色區(qū)域表示反進(jìn)動的轉(zhuǎn)速區(qū)域（所對應(yīng)的x和y方向的相位響應(yīng)不同）。由此可知，在某些轉(zhuǎn)速區(qū)域，轉(zhuǎn)子的一些部位進(jìn)行反進(jìn)動運(yùn)動而另外一些部位進(jìn)行著正進(jìn)動運(yùn)動（交叉模態(tài)）。

（2）彎軸的響應(yīng)

對于彎曲轉(zhuǎn)子（圖3所示），其11、31號節(jié)點(diǎn)處振動幅值和相位角的響應(yīng)如圖8所示?？梢钥闯?，在轉(zhuǎn)速為1 340 r／min和1 360 r／min區(qū)域存在著兩個峰值，同時存在著正進(jìn)動和反進(jìn)動。

圖9和圖10給出了節(jié)點(diǎn)11和節(jié)點(diǎn)31處x、y方向上振動響應(yīng)。圖中陰影區(qū)域表示反進(jìn)動的轉(zhuǎn)速區(qū)域（所對應(yīng)的x和y方向的相位響應(yīng)不同）。

圖9 彎曲轉(zhuǎn)子11號節(jié)點(diǎn)處x、y方向上的振動響應(yīng)Fig．9 Response in x and y direction at node 11 due to a bent rotor

圖10 彎曲轉(zhuǎn)子31號節(jié)點(diǎn)處x、y方向上的振動響應(yīng)Fig．10 Response in x and y direction at node 31 due to a bent rotor

圖11 各向異性支撐下彎曲轉(zhuǎn)子11（虛線）、31（實(shí)線）號節(jié)點(diǎn)處渦動軸心軌跡（×表示軌跡的起點(diǎn)，◇表示軌跡的終點(diǎn)）Fig．11．Whirl orbits at node 11（dashed）and node 31（sdid）for the bent rotor on anisotropic bearings．The cross denotes the start of the orbit and the diamond denotes the end

與不平衡響應(yīng)類似，在某些轉(zhuǎn)速區(qū)域，轉(zhuǎn)子的一些部位進(jìn)行反進(jìn)動運(yùn)動而另外一些部位進(jìn)行著正進(jìn)動運(yùn)動，不同的是，所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速范圍不同。圖11給出了這2個節(jié)點(diǎn)在不同轉(zhuǎn)速下的軸心軌跡圖。由圖可知，在上述條件下，這些軸心軌跡呈橢圓形，可能是正進(jìn)動也可能是反進(jìn)動。

3 結(jié) 論

本文研究了1 000 MW超超臨界汽輪發(fā)電機(jī)組低壓＃2轉(zhuǎn)子在不平衡力和彎曲狀態(tài)下的振動瞬態(tài)響應(yīng)，所得結(jié)論如下：

（1）由不平衡力和轉(zhuǎn)子彎曲激發(fā)的轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)特征雖然非常相似，但是仍然有著輕微的差別；

（2）轉(zhuǎn)子在定速下旋轉(zhuǎn)會出現(xiàn)因質(zhì)量不平衡或彎曲而產(chǎn)生的渦動，當(dāng)轉(zhuǎn)子支撐在各向同性軸承上時，無論是激振力是正向或反向渦動，所引起的振動響應(yīng)均為正進(jìn)動；

（3）而當(dāng)轉(zhuǎn)子支撐在各向異性軸承上時，無論是激振力是正向或反向渦動，所引起的振動響應(yīng)均將是為反進(jìn)動。

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