李祥秀，譚 平，劉良坤，張 穎，閆維明，周福霖，

（1．北京工業(yè)大學 建筑工程學院，北京 100124；2．廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405）

TMD作為一種減振消能裝置，性能穩(wěn)定可靠，適用范圍廣，因此，在結構減振控制中受到較多的關注。目前已經(jīng)有不少高層建筑及高聳結構成功運用TMD來控制結構的振動［1］。歐進萍等［2］結合我國現(xiàn)行風荷載規(guī)范，研究了設置TMD、TLD控制系統(tǒng)的高層建筑風振分析與抗風設計的實用方法；李春祥等［3］對TMD－高層鋼結構系統(tǒng)的風振舒適度的控制設計方法進行了研究，并推到了TMD－高層鋼結構系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和減震系數(shù)的表達式；李創(chuàng)第等［4］對帶TMD的高層建筑風振響應問題進行了系統(tǒng)研究，用復模態(tài)理論獲得了結構風振響應的解析解，并證明此方法可用于對帶TMD結構的風振與抗風可靠度分析及基于可靠度約束的抗風優(yōu)化設計。

近年來，結構振動的能量分析方法在土木工程領域受到廣泛關注，該方法克服了傳統(tǒng)方法的局限，從能量角度分析了地震對結構的作用。Housner［5］于20世紀50年代提出了能量法的概念，并將其引入到結構控制中。譚平等［6］基于能量原理分析了TMD系統(tǒng)的減振性能，并指出TMD系統(tǒng)對中長周期結構有很好的能量控制效果；卜國雄等［7］基于能量法優(yōu)化設計了TMD參數(shù)，以主結構在整個地震過程中吸收的能量最小為優(yōu)化準則，考慮了主結構阻尼比的影響，通過非線性規(guī)劃的數(shù)學方法得出TMD的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比。以往對于TMD系統(tǒng)的研究，多側重于研究主結構峰值響應的減振效果以及從能量方面分析系統(tǒng)的減振機理。本文提出功率法，從功率的角度研究了主結構在附加TMD后，結構在地震激勵下的減振效果，并考慮了結構周期和阻尼比的影響。同時分析了以主結構耗能功率最小為優(yōu)化目標時TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與以往的四種優(yōu)化方法進行了對比。

1 結構－TMD系統(tǒng)的功率平衡方程

本文基于結構－TMD系統(tǒng)的運動方程，提出結構－TMD系統(tǒng)的功率平衡方程。因功率綜合考慮傳到結構上的力和速度兩個量值，同時功率也表示能量對時間的微分，因此和瞬時能量相比，更能貼切地表示結構實時能量的轉移與流動。

1．1 運動方程

將結構簡化為單自由度體系如圖1所示，TMD安裝在結構頂部，其運動方程為：

其中：m1，c1，k1為主結構的質(zhì)量、阻尼和剛度；m2，c2，k2為TMD的質(zhì)量、阻尼和剛度分別為主結構和TMD相對于地面的加速度、速度和位移；為 地面加速度。

圖1 單自由度體系模型Fig．1Single-DOFmodelofsystem

1．2 功率平衡方程

根據(jù)功率法的原理，對式（1）兩邊同時乘以相對速度變量，可得：

上式中，定義：為主結構的動能功率，S＝D為主結構的自身耗能功率為主結構的彈性功率為TMD轉移的功率簡稱為轉移功率為輸入功率。

由式（4）可知，結構設置TMD裝置后，主結構的部分功率被TMD所轉移，從而減小了主結構的功率響應。

2 結構－TMD系統(tǒng)的功率響應分析

假定TMD系統(tǒng)的主結構周期1s，阻尼比0．02，主結構的質(zhì)量1000t，TMD與主結構的質(zhì)量比為0．03，TMD的頻率比和阻尼比采用DenHartog公式來選取，分別為0．97、0．1。本文選用ElCentro波為地震激勵，持時30s，峰值為100gal。其傅里葉圖如圖2所示。

Hilbert-Huang變換是一種有效的時頻分析方法，它建立一套不受傅里葉變換理論束縛，又區(qū)別傅里葉譜的方法。本文基于HHT變換得到地震波的時頻圖如圖3所示。

圖2 頻譜圖Fig．2Frequencyspectrumofgroundmotion

圖3 時頻圖Fig．3Time-frequencyofgroundmotion

2．1 結構體系功率響應分析

從無控結構與TMD系統(tǒng)主結構位移響應及加速度響應對比圖（圖4）可以看出，TMD系統(tǒng)有一定的減振效果，但在地震動初始階段控制效果不明顯。

TMD系統(tǒng)的功率響應分布如圖5所示。由圖可以看出，結構的各種功率均在0～15 s內(nèi)占據(jù)一定的成分，在15 s之后則迅速衰減并漸趨于零值。這主要是因為：El Centro波在初始階段脈沖運動比較強烈，結構的位移、速度和加速度響應在0～15 s均比較大，15 s之后則迅速衰減。另外，結構的輸入功率、彈性功率及動能功率均出現(xiàn)負值，這是由地震力做負功引起的。同時，文獻［12］從能量方面對此作了解釋。

結構在安裝TMD裝置后，結構的總輸入功率、總彈性能功率、總動能功率及主結構的耗能功率均有減少，峰值減小百分比分別為 0．14、0．19、0．31、0．36。這是因為主結構在附加TMD后，主結構帶動TMD運動，TMD轉移了主結構的部分功率，從而提高了結構的抗震安全性。

由圖3可以看出，El Centro波在10～15 s的頻率主要集中在0．5～0．8 Hz和1．2～1．8 Hz之間，即外激勵頻率與主結構的頻率比在0．5～0．8和1．2～1．8之間（主結構的工程頻率為1 Hz），而由TMD的減振原理圖（圖6）可知，當外激勵頻率與主結構的頻率比在0．5～0．8和1．2～1．8之間時，TMD系統(tǒng)與無控時相比放大了結構的響應。因此，結構的各功率響應在10～15 s時有控較無控均有放大現(xiàn)象。同時由圖5可以看出不同功率的減振效果不同，這是由TMD系統(tǒng)對結構的位移、速度和加速度的減振效果不同引起的。

圖4 位移、速度及加速度時程響應Fig．4 Time history of structural displacement，velocity and acceleration

圖5 結構功率響應對比Fig．5 Comparison of structural power history responses

2．2 主結構周期的影響

取主結構周期變化范圍為0～10 s，主結構的質(zhì)量為1 000 t，主結構的阻尼比為0．02，TMD與主結構的質(zhì)量比為0．03，采用 Kannai－Tajimi譜隨機地震動模型進一步研究主結構耗能功率均值隨周期的分布與變化規(guī)律。?、蝾悎龅?，譜強度S0＝0．078，場地圓頻率為 wg＝15．71，場地阻尼比為 ζg＝0．72。

結構耗能功率均值隨周期的變化如圖7所示。與無控結構相比，TMD系統(tǒng)主結構的耗能功率均值的峰值明顯減小。同時由圖8可以看出，當結構周期在0～0．2 s左右時，有控結構的耗能功率均值較無控結構有放大的現(xiàn)象，對于結構周期在0．2～10 s時，有控結構較無控結構的耗能功率功率比值均小于0．5，這說明TMD系統(tǒng)除了對于特別剛性的結構（T＜0．2 s）之外，都有減振效果。

2．3 主結構阻尼比的影響

主結構周期變化范圍為0～10 s，分別考慮主結構的阻尼比為 0．02、0．05、0．08，TMD與主結構的質(zhì)量比為0．03，研究結構在El Centro波（取自Ⅱ類場地）作用下主結構的阻尼比對各功率響應的影響。

不同阻尼比情況下，TMD系統(tǒng)各功率響應的峰值如圖9所示；主結構的阻尼比對總輸入功率峰值影響較小，僅在與地震波頻率相近時才有所波動，并且結構的總輸入功率隨阻尼比增大而減小；TMD系統(tǒng)主結構的耗能功率隨著阻尼比的增大而增大，且受主結構阻尼比的影響較大；TMD系統(tǒng)轉移的功率隨著阻尼比的增大而減小，這是因為增大主結構的阻尼，結構自身阻尼耗能必然增加，這雖能較好的較小結構的位移響應，但TMD的吸振作用相對減少。同時，由圖9可以看出，當結構的輸入功率取峰值時，阻尼耗能功率和轉移能功率也取得最大值，保證了結構安全性。

圖6 TMD減振原理圖Fig．6 Schematic of vibration reduction of TMD

圖7 主結構耗能功率隨周期的變化Fig．7 Dissipation power with structural period

圖8 有控結構與無控結構的耗能功率比值Fig．8 Ratio of dissipation power between controlled and uncontrolled system

圖9 主結構不同阻尼比下最大功率響應對比Fig．9 Maximum power response of main structure for various damping ratios

圖10 相對值曲線Fig．10 Curves of the relative values

圖10 給出了耗能功率、轉移能功率及總輸入能功率三者之間的相對值曲線。由圖10（a）及10（b）可以看出，耗能功率與轉移能功率占總輸入能的比例隨著主結構阻尼比的增大呈現(xiàn)截然相反的趨勢，即主結構阻尼比越大，主結構的耗能越大，轉移能越小。不同阻尼比情況下，轉移能功率占主結構耗能功率的比例如圖10（c）所示。主結構阻尼比較小時（ζ＝0．02），在地震波的主頻附近，結構的轉移能功率大于結構的耗能功率，其比值在1．5～2．5附近，而當遠離地震波的主頻時，結構耗能功率大于轉移能功率。當主結構阻尼比ξ＝0．05、0．08時，轉移能功率與耗能功率的比值均小于1，即主結構阻尼比越大，主結構自身阻尼耗能功率大于轉移給TMD的功率，此時，主結構自身耗能是消耗地震能量的主要部分，TMD的貢獻相對較小。

3 基于功率法的TMD參數(shù)優(yōu)化

TMD參數(shù)的選取對TMD的控制效果有決定性的影響。Den Hartog［8］提出了不考慮主結構阻尼的TMD最優(yōu)參數(shù)設計方法；Warburton［9］提出了用于單自由度無阻尼結構，在白噪聲激勵下，TMD的最優(yōu)參數(shù)；Tsai等［10］推出了適用于有阻尼結構受基底激勵時TMD的最優(yōu)參數(shù)，Sadek等［11］提出了一種以結構－TMD系統(tǒng)前2階模態(tài)阻尼比相等并且最大為目標，確定TMD最優(yōu)頻率比和阻尼比的方法。

結構的耗能功率體現(xiàn)了結構實時耗能的能力，因此，本文以主結構的耗能功率最小為優(yōu)化目標得出TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與上述四種優(yōu)化方法做了對比分析。

3．1 主結構耗能功率公式推導

本節(jié)將考慮結構基底受到簡諧激勵＝P sin wt，通過待定系數(shù)法求解主結構的速度，從而得出主結構的耗能功率公式。

假設結構的穩(wěn)態(tài)解為：

對應的速度與加速度為：

將式（5）、（6）代入到振動方程式（1）、（2）中并根據(jù)恒等式的條件求解四元一次方程組可得：

其中：主結構的頻率 ω1，阻尼比 ξ1，TMD的頻率 ω2，阻尼比ξ2，質(zhì)量比為μ＝m2／m1。求解四元一次方程組得到 A1～A4，如式（7）所示。

主結構的速度：

則主結構的耗能功率為：

3．2 優(yōu)化結果對比分析

以主結構的耗能功率最小為優(yōu)化目標時得到TMD最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與Den Hartog、Warburton、Tsai及Sadek提出的四種優(yōu)化方法做了對比分析，對比圖如圖11所示。

圖11 質(zhì)量比、最優(yōu)頻率比及最優(yōu)阻尼三者之間的變化圖Fig．11 Relationship among the mass ratio，optimal frequency ratio and optimal damping ratio

由圖11可以看出，以主結構耗能功率最小為優(yōu)化目標得到TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比的大小均介于上述四種優(yōu)化方法之間。利用MATLAB中的公式擬合工具箱，可以得到基于主結構的耗能功率最小并考慮主結構阻尼比為0．02時TMD的最優(yōu)參數(shù)公式為：

其殘差分別為3．510 8e－16，0．006 080 3。

取質(zhì)量比的變化范圍為0．01～0．1，主結構的阻尼比為0．02，TMD的最優(yōu)參數(shù)分別按上述五種方法選取，并假定地震激勵的功率譜密度為白噪聲S0，研究TMD系統(tǒng)在隨機激勵下的減振效果，結果如圖12所示。

圖12 位移方差對比Fig．12 Comparison of the displacement variance

由圖12可以看出，基于主結構耗能功率優(yōu)化的結構的位移方差較無控結構相比有很大程度的減小，且控制效果基本上介于 Den Hartog、Warburton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間，因此該優(yōu)化方法具有一定的適應性與可靠性。

3．3 優(yōu)化后能量及功率對比

結構的基本參數(shù)與第二章節(jié)中采用的參數(shù)相同，下面取質(zhì)量比為0．03，TMD的最優(yōu)參數(shù)按上述五種方法選取，研究結構在EL Centro波作用下的能量和功率響應，并與無控結構做了對比。如圖13所示。

由圖13可以看出，當TMD的最優(yōu)參數(shù)采用本文提出的優(yōu)化方法時，結構的能量響應和功率響應與無控結構相比有一定程度減小，特別是主結構的阻尼耗能功率減小幅度明顯，且控制效果基本上介于Den Har-tog、Warburton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間。因此，本文提出的基于主結構耗能功率最小為優(yōu)化目標的優(yōu)化方法具有一定的可靠性且基于此方法得出的最優(yōu)參數(shù)的公式對以后的研究具有參考價值。

圖13 結構能量及功率響應對比Fig．13 Comparison of structural energy and power history responses

4 結 論

（1）結構安裝TMD后，結構的總輸入功率、總彈性功率、總動能功率及主結構的耗能功率均有所減少，TMD系統(tǒng)對結構的響應有較好的控制效果。

（2）當結構自振頻率與地震波的主要頻率相近時，結構的各功率的峰值普遍較大。且TMD系統(tǒng)除了對于特別剛性的結構（T＜0．2 s）之外，都有減振效果。

（3）主結構的阻尼比對總輸入功率峰值影響較小，對主結構的耗能功率峰值影響較大，且隨著阻尼比的增大，結構的總輸入功率減小，主結構的耗能功率增大，而TMD系統(tǒng)轉移的功率隨著阻尼比的增大而減小。隨著主結構阻尼比的增大，主結構自身耗能成為消耗地震能量的主要部分，而TMD的貢獻相對較小。

（4）以主結構耗能功率最小為優(yōu)化目標得到TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比的大小均介于Den Hartog、War-burton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間，且綜合各項指標其控制效果均介于四者之間，但較無控結構相比有很好的控制效果。

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