張苾菁

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“兒童與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！边@個(gè)理念，老師們想必都非常熟悉。當(dāng)然，不可否認(rèn)，很多情況下，類似這樣言簡(jiǎn)意賅的理念即便是被人們?cè)诓唤?jīng)意間記住了，若要真的用于指導(dǎo)自己的教學(xué)，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實(shí)上，對(duì)于理念的實(shí)踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進(jìn)行的，因?yàn)闆](méi)有觸及其本質(zhì)的要求，所以教學(xué)行為缺乏一種高位的設(shè)計(jì)，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時(shí)髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)偏離方向。

何謂數(shù)學(xué)化？人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個(gè)層次，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化是指從真實(shí)生活走進(jìn)符號(hào)世界,而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號(hào)世界中進(jìn)行移動(dòng)。

舉個(gè)例子，教學(xué)“運(yùn)算律”，老師們通常會(huì)這樣執(zhí)教。

教學(xué)片段一

1.師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準(zhǔn)備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請(qǐng)看圖片（圖略）。

2.師：仔細(xì)觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問(wèn)題？根據(jù)這些信息，你會(huì)列式解答嗎？

3.學(xué)生獨(dú)立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價(jià)。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價(jià)錢，再算出總價(jià)。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問(wèn)題的角度不同，有的同學(xué)先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學(xué)活動(dòng)其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)了學(xué)生將知識(shí)從具體的情境中分離抽象出來(lái)的過(guò)程，是將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)典型，其實(shí)質(zhì)就是學(xué)生帶著自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，朝學(xué)科知識(shí)逐漸靠近。情境幫助學(xué)生建立了從生活走向數(shù)學(xué)的通道，從根本上促進(jìn)學(xué)生意義建構(gòu)的主動(dòng)發(fā)生。因此，我們說(shuō)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，首先要關(guān)注情境的運(yùn)用，通過(guò)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當(dāng)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題列出不同的算式，準(zhǔn)備進(jìn)行解答時(shí),這其實(shí)就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。橫向數(shù)學(xué)化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學(xué)是不是就此完成了任務(wù)？學(xué)生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對(duì)于乘法分配律的理解，學(xué)生的難點(diǎn)到底在哪里？

我們知道，對(duì)于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒(méi)有因?yàn)榻粨Q和結(jié)合而發(fā)生改變，原來(lái)兩個(gè)數(shù)交換位置還是兩個(gè)數(shù)，原來(lái)三個(gè)數(shù)結(jié)合以后還是三個(gè)數(shù)，并且都只限于一種乘法計(jì)算，學(xué)生理解起來(lái)難度不大；但是對(duì)于乘法分配律來(lái)說(shuō)，等號(hào)左右兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個(gè)數(shù)變成了四個(gè)數(shù)，并且既有加法運(yùn)算又有乘法運(yùn)算，這兩個(gè)變化是學(xué)生理解的難點(diǎn)。因此，對(duì)于“乘法分配律”這個(gè)規(guī)律的前提：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘以及兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對(duì)規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個(gè)算式就讓學(xué)生觀察算式的特點(diǎn)對(duì)于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，顯得過(guò)于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學(xué)生的有意注意。

教學(xué)片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過(guò)要買8套，你會(huì)怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個(gè)例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號(hào)兩側(cè)算式帶來(lái)的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個(gè)例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對(duì)算式帶來(lái)的影響。）

3.在此基礎(chǔ)上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過(guò)程中，結(jié)合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗(yàn)到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律，進(jìn)而讓學(xué)生拋開(kāi)具體情境，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述。這是學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)橋梁。從這個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)始，學(xué)生就可以將注意的重心聚焦于對(duì)算式內(nèi)部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號(hào)左右兩邊有幾個(gè)不同的數(shù)？在進(jìn)行什么運(yùn)算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個(gè)數(shù)，加法和乘法。

師：等號(hào)兩邊的算式都在進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，它們的運(yùn)算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時(shí)先乘然后再加。

師：能把它們運(yùn)算順序具體地說(shuō)一說(shuō)嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能作如下語(yǔ)言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結(jié)果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

……

小結(jié)：通過(guò)剛才同學(xué)的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)左邊的算式都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是先算“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)”（板書）；等號(hào)右邊也都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是把這兩個(gè)數(shù)分別乘上這個(gè)數(shù)，結(jié)果相等。

師：誰(shuí)來(lái)把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)情況用自己的話說(shuō)說(shuō)？

……

（從結(jié)合具體式子的語(yǔ)言表述，逐漸走向概括的語(yǔ)言表述，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括能力的一個(gè)良好時(shí)機(jī)。）

師：剛才我們是通過(guò)3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒(méi)有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請(qǐng)大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說(shuō)一說(shuō)。

師：同學(xué)們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時(shí)候，類型重復(fù)的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學(xué)。）

師：同學(xué)們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個(gè)辦法，用一個(gè)等式把具有這種特點(diǎn)的等式都表示出來(lái)呢？用你喜歡的方式來(lái)表達(dá)，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨(dú)立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來(lái)表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達(dá)的意思都一樣。那同學(xué)們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導(dǎo)學(xué)生歸納：這樣的等式都表示一個(gè)相同的規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來(lái)分別表示不同的三個(gè)數(shù)，那么這個(gè)規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學(xué)們會(huì)用自己的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是乘法分配律嗎？同桌之間說(shuō)一說(shuō)。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問(wèn)題從具體情境中剝離了出來(lái)，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)符號(hào)研究數(shù)學(xué)規(guī)律，教師設(shè)計(jì)了幾個(gè)不同思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逼著學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法思考問(wèn)題，表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律，其目的是促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進(jìn)行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個(gè)過(guò)程是學(xué)生的認(rèn)知水平由事實(shí)性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果。這才是數(shù)學(xué)活動(dòng)所期許達(dá)成的目標(biāo)。因此，關(guān)注活動(dòng)的指向，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)該更為關(guān)注的問(wèn)題。

總之，橫向數(shù)學(xué)化生成生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，偏向于實(shí)踐活動(dòng)；縱向數(shù)學(xué)化生成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，偏重于幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維。在我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化應(yīng)該是同時(shí)存在的，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程中的思考體驗(yàn)會(huì)給后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)深遠(yuǎn)影響。

學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步形成猜測(cè)，兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號(hào)里的加號(hào)改成減號(hào)，這個(gè)等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問(wèn)題，是否有必要借助于情境來(lái)說(shuō)明道理？還是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出假設(shè)—舉例驗(yàn)證—?dú)w納規(guī)律的過(guò)程？答案是不言而喻的。

我們當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題研究時(shí)的數(shù)學(xué)化立場(chǎng)。如果說(shuō)從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)適宜的起點(diǎn)的話，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過(guò)程。這個(gè)過(guò)程應(yīng)該在有思維含量的數(shù)學(xué)活動(dòng)中被充分地展開(kāi)。若是在這項(xiàng)工作上我們?cè)僮魃钊氲乃伎己陀行У膶?shí)踐，我們數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會(huì)更濃郁。?

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荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“兒童與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！边@個(gè)理念，老師們想必都非常熟悉。當(dāng)然，不可否認(rèn)，很多情況下，類似這樣言簡(jiǎn)意賅的理念即便是被人們?cè)诓唤?jīng)意間記住了，若要真的用于指導(dǎo)自己的教學(xué)，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實(shí)上，對(duì)于理念的實(shí)踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進(jìn)行的，因?yàn)闆](méi)有觸及其本質(zhì)的要求，所以教學(xué)行為缺乏一種高位的設(shè)計(jì)，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時(shí)髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)偏離方向。

何謂數(shù)學(xué)化？人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個(gè)層次，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化是指從真實(shí)生活走進(jìn)符號(hào)世界,而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號(hào)世界中進(jìn)行移動(dòng)。

舉個(gè)例子，教學(xué)“運(yùn)算律”，老師們通常會(huì)這樣執(zhí)教。

教學(xué)片段一

1.師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準(zhǔn)備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請(qǐng)看圖片（圖略）。

2.師：仔細(xì)觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問(wèn)題？根據(jù)這些信息，你會(huì)列式解答嗎？

3.學(xué)生獨(dú)立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價(jià)。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價(jià)錢，再算出總價(jià)。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問(wèn)題的角度不同，有的同學(xué)先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學(xué)活動(dòng)其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)了學(xué)生將知識(shí)從具體的情境中分離抽象出來(lái)的過(guò)程，是將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)典型，其實(shí)質(zhì)就是學(xué)生帶著自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，朝學(xué)科知識(shí)逐漸靠近。情境幫助學(xué)生建立了從生活走向數(shù)學(xué)的通道，從根本上促進(jìn)學(xué)生意義建構(gòu)的主動(dòng)發(fā)生。因此，我們說(shuō)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，首先要關(guān)注情境的運(yùn)用，通過(guò)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當(dāng)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題列出不同的算式，準(zhǔn)備進(jìn)行解答時(shí),這其實(shí)就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。橫向數(shù)學(xué)化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學(xué)是不是就此完成了任務(wù)？學(xué)生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對(duì)于乘法分配律的理解，學(xué)生的難點(diǎn)到底在哪里？

我們知道，對(duì)于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒(méi)有因?yàn)榻粨Q和結(jié)合而發(fā)生改變，原來(lái)兩個(gè)數(shù)交換位置還是兩個(gè)數(shù)，原來(lái)三個(gè)數(shù)結(jié)合以后還是三個(gè)數(shù)，并且都只限于一種乘法計(jì)算，學(xué)生理解起來(lái)難度不大；但是對(duì)于乘法分配律來(lái)說(shuō)，等號(hào)左右兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個(gè)數(shù)變成了四個(gè)數(shù)，并且既有加法運(yùn)算又有乘法運(yùn)算，這兩個(gè)變化是學(xué)生理解的難點(diǎn)。因此，對(duì)于“乘法分配律”這個(gè)規(guī)律的前提：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘以及兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對(duì)規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個(gè)算式就讓學(xué)生觀察算式的特點(diǎn)對(duì)于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，顯得過(guò)于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學(xué)生的有意注意。

教學(xué)片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過(guò)要買8套，你會(huì)怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個(gè)例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號(hào)兩側(cè)算式帶來(lái)的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個(gè)例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對(duì)算式帶來(lái)的影響。）

3.在此基礎(chǔ)上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過(guò)程中，結(jié)合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗(yàn)到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律，進(jìn)而讓學(xué)生拋開(kāi)具體情境，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述。這是學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)橋梁。從這個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)始，學(xué)生就可以將注意的重心聚焦于對(duì)算式內(nèi)部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號(hào)左右兩邊有幾個(gè)不同的數(shù)？在進(jìn)行什么運(yùn)算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個(gè)數(shù)，加法和乘法。

師：等號(hào)兩邊的算式都在進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，它們的運(yùn)算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時(shí)先乘然后再加。

師：能把它們運(yùn)算順序具體地說(shuō)一說(shuō)嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能作如下語(yǔ)言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結(jié)果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

……

小結(jié)：通過(guò)剛才同學(xué)的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)左邊的算式都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是先算“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)”（板書）；等號(hào)右邊也都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是把這兩個(gè)數(shù)分別乘上這個(gè)數(shù)，結(jié)果相等。

師：誰(shuí)來(lái)把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)情況用自己的話說(shuō)說(shuō)？

……

（從結(jié)合具體式子的語(yǔ)言表述，逐漸走向概括的語(yǔ)言表述，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括能力的一個(gè)良好時(shí)機(jī)。）

師：剛才我們是通過(guò)3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒(méi)有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請(qǐng)大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說(shuō)一說(shuō)。

師：同學(xué)們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時(shí)候，類型重復(fù)的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學(xué)。）

師：同學(xué)們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個(gè)辦法，用一個(gè)等式把具有這種特點(diǎn)的等式都表示出來(lái)呢？用你喜歡的方式來(lái)表達(dá)，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨(dú)立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來(lái)表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達(dá)的意思都一樣。那同學(xué)們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導(dǎo)學(xué)生歸納：這樣的等式都表示一個(gè)相同的規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來(lái)分別表示不同的三個(gè)數(shù)，那么這個(gè)規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學(xué)們會(huì)用自己的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是乘法分配律嗎？同桌之間說(shuō)一說(shuō)。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問(wèn)題從具體情境中剝離了出來(lái)，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)符號(hào)研究數(shù)學(xué)規(guī)律，教師設(shè)計(jì)了幾個(gè)不同思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逼著學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法思考問(wèn)題，表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律，其目的是促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進(jìn)行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個(gè)過(guò)程是學(xué)生的認(rèn)知水平由事實(shí)性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果。這才是數(shù)學(xué)活動(dòng)所期許達(dá)成的目標(biāo)。因此，關(guān)注活動(dòng)的指向，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)該更為關(guān)注的問(wèn)題。

總之，橫向數(shù)學(xué)化生成生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，偏向于實(shí)踐活動(dòng)；縱向數(shù)學(xué)化生成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，偏重于幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維。在我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化應(yīng)該是同時(shí)存在的，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程中的思考體驗(yàn)會(huì)給后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)深遠(yuǎn)影響。

學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步形成猜測(cè)，兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號(hào)里的加號(hào)改成減號(hào)，這個(gè)等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問(wèn)題，是否有必要借助于情境來(lái)說(shuō)明道理？還是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出假設(shè)—舉例驗(yàn)證—?dú)w納規(guī)律的過(guò)程？答案是不言而喻的。

我們當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題研究時(shí)的數(shù)學(xué)化立場(chǎng)。如果說(shuō)從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)適宜的起點(diǎn)的話，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過(guò)程。這個(gè)過(guò)程應(yīng)該在有思維含量的數(shù)學(xué)活動(dòng)中被充分地展開(kāi)。若是在這項(xiàng)工作上我們?cè)僮魃钊氲乃伎己陀行У膶?shí)踐，我們數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會(huì)更濃郁。?

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荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“兒童與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。”這個(gè)理念，老師們想必都非常熟悉。當(dāng)然，不可否認(rèn)，很多情況下，類似這樣言簡(jiǎn)意賅的理念即便是被人們?cè)诓唤?jīng)意間記住了，若要真的用于指導(dǎo)自己的教學(xué)，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實(shí)上，對(duì)于理念的實(shí)踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進(jìn)行的，因?yàn)闆](méi)有觸及其本質(zhì)的要求，所以教學(xué)行為缺乏一種高位的設(shè)計(jì)，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時(shí)髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)偏離方向。

何謂數(shù)學(xué)化？人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個(gè)層次，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化是指從真實(shí)生活走進(jìn)符號(hào)世界,而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號(hào)世界中進(jìn)行移動(dòng)。

舉個(gè)例子，教學(xué)“運(yùn)算律”，老師們通常會(huì)這樣執(zhí)教。

教學(xué)片段一

1.師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準(zhǔn)備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請(qǐng)看圖片（圖略）。

2.師：仔細(xì)觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問(wèn)題？根據(jù)這些信息，你會(huì)列式解答嗎？

3.學(xué)生獨(dú)立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價(jià)。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價(jià)錢，再算出總價(jià)。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問(wèn)題的角度不同，有的同學(xué)先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學(xué)活動(dòng)其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)了學(xué)生將知識(shí)從具體的情境中分離抽象出來(lái)的過(guò)程，是將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)典型，其實(shí)質(zhì)就是學(xué)生帶著自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，朝學(xué)科知識(shí)逐漸靠近。情境幫助學(xué)生建立了從生活走向數(shù)學(xué)的通道，從根本上促進(jìn)學(xué)生意義建構(gòu)的主動(dòng)發(fā)生。因此，我們說(shuō)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，首先要關(guān)注情境的運(yùn)用，通過(guò)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當(dāng)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題列出不同的算式，準(zhǔn)備進(jìn)行解答時(shí),這其實(shí)就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。橫向數(shù)學(xué)化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學(xué)是不是就此完成了任務(wù)？學(xué)生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對(duì)于乘法分配律的理解，學(xué)生的難點(diǎn)到底在哪里？

我們知道，對(duì)于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒(méi)有因?yàn)榻粨Q和結(jié)合而發(fā)生改變，原來(lái)兩個(gè)數(shù)交換位置還是兩個(gè)數(shù)，原來(lái)三個(gè)數(shù)結(jié)合以后還是三個(gè)數(shù)，并且都只限于一種乘法計(jì)算，學(xué)生理解起來(lái)難度不大；但是對(duì)于乘法分配律來(lái)說(shuō)，等號(hào)左右兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個(gè)數(shù)變成了四個(gè)數(shù)，并且既有加法運(yùn)算又有乘法運(yùn)算，這兩個(gè)變化是學(xué)生理解的難點(diǎn)。因此，對(duì)于“乘法分配律”這個(gè)規(guī)律的前提：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘以及兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對(duì)規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個(gè)算式就讓學(xué)生觀察算式的特點(diǎn)對(duì)于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，顯得過(guò)于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學(xué)生的有意注意。

教學(xué)片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過(guò)要買8套，你會(huì)怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個(gè)例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號(hào)兩側(cè)算式帶來(lái)的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個(gè)例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對(duì)算式帶來(lái)的影響。）

3.在此基礎(chǔ)上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過(guò)程中，結(jié)合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗(yàn)到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律，進(jìn)而讓學(xué)生拋開(kāi)具體情境，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述。這是學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)橋梁。從這個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)始，學(xué)生就可以將注意的重心聚焦于對(duì)算式內(nèi)部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號(hào)左右兩邊有幾個(gè)不同的數(shù)？在進(jìn)行什么運(yùn)算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個(gè)數(shù)，加法和乘法。

師：等號(hào)兩邊的算式都在進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，它們的運(yùn)算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時(shí)先乘然后再加。

師：能把它們運(yùn)算順序具體地說(shuō)一說(shuō)嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能作如下語(yǔ)言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結(jié)果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

……

小結(jié)：通過(guò)剛才同學(xué)的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)左邊的算式都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是先算“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)”（板書）；等號(hào)右邊也都有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是把這兩個(gè)數(shù)分別乘上這個(gè)數(shù)，結(jié)果相等。

師：誰(shuí)來(lái)把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)情況用自己的話說(shuō)說(shuō)？

……

（從結(jié)合具體式子的語(yǔ)言表述，逐漸走向概括的語(yǔ)言表述，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括能力的一個(gè)良好時(shí)機(jī)。）

師：剛才我們是通過(guò)3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒(méi)有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請(qǐng)大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說(shuō)一說(shuō)。

師：同學(xué)們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時(shí)候，類型重復(fù)的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學(xué)。）

師：同學(xué)們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個(gè)辦法，用一個(gè)等式把具有這種特點(diǎn)的等式都表示出來(lái)呢？用你喜歡的方式來(lái)表達(dá)，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨(dú)立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來(lái)表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達(dá)的意思都一樣。那同學(xué)們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導(dǎo)學(xué)生歸納：這樣的等式都表示一個(gè)相同的規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來(lái)分別表示不同的三個(gè)數(shù)，那么這個(gè)規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學(xué)們會(huì)用自己的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是乘法分配律嗎？同桌之間說(shuō)一說(shuō)。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問(wèn)題從具體情境中剝離了出來(lái)，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)符號(hào)研究數(shù)學(xué)規(guī)律，教師設(shè)計(jì)了幾個(gè)不同思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逼著學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法思考問(wèn)題，表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律，其目的是促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進(jìn)行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個(gè)過(guò)程是學(xué)生的認(rèn)知水平由事實(shí)性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果。這才是數(shù)學(xué)活動(dòng)所期許達(dá)成的目標(biāo)。因此，關(guān)注活動(dòng)的指向，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)該更為關(guān)注的問(wèn)題。

總之，橫向數(shù)學(xué)化生成生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，偏向于實(shí)踐活動(dòng)；縱向數(shù)學(xué)化生成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，偏重于幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維。在我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化應(yīng)該是同時(shí)存在的，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程中的思考體驗(yàn)會(huì)給后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)深遠(yuǎn)影響。

學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步形成猜測(cè)，兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號(hào)里的加號(hào)改成減號(hào)，這個(gè)等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問(wèn)題，是否有必要借助于情境來(lái)說(shuō)明道理？還是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出假設(shè)—舉例驗(yàn)證—?dú)w納規(guī)律的過(guò)程？答案是不言而喻的。

我們當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題研究時(shí)的數(shù)學(xué)化立場(chǎng)。如果說(shuō)從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)適宜的起點(diǎn)的話，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過(guò)程。這個(gè)過(guò)程應(yīng)該在有思維含量的數(shù)學(xué)活動(dòng)中被充分地展開(kāi)。若是在這項(xiàng)工作上我們?cè)僮魃钊氲乃伎己陀行У膶?shí)踐，我們數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會(huì)更濃郁。?

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