池光勝， 李慧玲

(1.山東凱文科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山東濟(jì)南 250200;2.山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東 淄博 255000)

二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程交替差分格式及其一致性

池光勝1， 李慧玲2

(1.山東凱文科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山東濟(jì)南 250200;2.山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東 淄博 255000)

研究二維有限域上的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解法，通過(guò)移位的Grunwald公式對(duì)空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，得到Euler隱式差分格式。利用傅里葉變換理論證明了交替差分格式的一致性。

二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程; Euler隱式差分格式; 一致性

0引言

對(duì)于正常擴(kuò)散，通常用傳統(tǒng)的二階對(duì)流-擴(kuò)散(彌散)方程來(lái)描述，而反常擴(kuò)散則是非馬爾可夫(時(shí)間上)的非局域性(空間上)的運(yùn)動(dòng)，因此必須考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)空相關(guān)性，由此需要引入分?jǐn)?shù)階微積分，得到分?jǐn)?shù)階微分方程的反常擴(kuò)散模型。對(duì)一維對(duì)流-擴(kuò)散方程，于強(qiáng)等［1］給出了時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的隱式差分近似，并利用分?jǐn)?shù)階離散系數(shù)的特點(diǎn)，證明了這個(gè)隱式差分近似的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性。劉發(fā)旺等［2］利用拉普拉斯變換及H函數(shù)的性質(zhì)，研究了一個(gè)時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-彌散方程的求解。鄭達(dá)藝等［3］采用Grunwald改進(jìn)型的離散方法對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階微分方程的差分格式，并證明了隱式格式是無(wú)條件穩(wěn)定和收斂的。對(duì)于二維對(duì)流擴(kuò)散方程，周璐瑩等［4］對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)間空間對(duì)流-擴(kuò)散方程分別建立了差分格式，實(shí)現(xiàn)了數(shù)值求解。Chen S等［5］給出了一類(lèi)求解二維分?jǐn)?shù)階滲透方程的差分格式的數(shù)值解法。上述研究均未對(duì)二維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用移位的Grunwald型離散方法進(jìn)行分析，本文通過(guò)給出求解一個(gè)二維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的隱式差分格式，給出差分格式一致性的證明。

1 二維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的差分格式

其中1＜α，β＜2，DL=DL(x)＞0是縱向擴(kuò)散系數(shù)，DT=DT(y)＞0是橫向擴(kuò)散系數(shù)，f(x，y，t)是源項(xiàng)。首先對(duì)所求區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分:

對(duì)于二維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

其中hx和hy為二維空間步長(zhǎng)，τ為時(shí)間步長(zhǎng)。設(shè)uni，j表示 u 在(xi，yj)點(diǎn)處、時(shí)刻 tn時(shí)的近似值。對(duì)二維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有:

式中Γ(·)是伽馬函數(shù)。記

空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可以用移位的Grunwald公式進(jìn)行差分離散:

可得式(1)的隱式差分格式如下:

若定義分?jǐn)?shù)階差分算子:

則式(5)可寫(xiě)成如下算子形式:

上述形式的ADI方法可通過(guò)以下迭代形式來(lái)求解。在時(shí)間tn+1處:

2 Euler差分格式的一致性

對(duì)于二維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，若?α，β＞0，p，q≥0且 p，q∈Z，空間步長(zhǎng) hx，hy＞0，也可以用如下式子來(lái)定義移位的Grunwald公式:

證明ADI交替差分格式的一致性:一維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可用移位的Grunwald公式近似表達(dá)為［3］其中

接下來(lái)將證明式(13)一致近似于混合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

定理 1 設(shè) r＞α +β +3，r∈Z，則對(duì)任意的 f∈Wl，1(R2)，(x，y)∈R2有，函數(shù)f在?1(R2)內(nèi)有l(wèi)階的偏導(dǎo)數(shù)，并且在無(wú)窮遠(yuǎn)處，l-1階的偏導(dǎo)數(shù)都為0。

證明 f∈?(R2)的Fourier變換為:

證畢。

這表明A D I方法取代隱式歐拉算法后精度并沒(méi)有減小，它的收斂精度為O(hx，hy，τ)。

3 數(shù)值算例

圖1 數(shù)值解和解析解的比較圖

通過(guò)計(jì)算結(jié)果可以看出，使用移位的Grunwald公式對(duì)二維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散建立的差分格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算是有效的。

［1］于強(qiáng)，劉發(fā)旺.時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的隱式差分近似［J］.廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，45(3):315-319.

［2］LIU F，ANH V V，TURNER I，et al.Time fractional advection-dispersion equation［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2003，13(1/2):233-245.

［3］鄭達(dá)藝，劉發(fā)旺，盧旋珠.空間分?jǐn)?shù)階微分方程混合問(wèn)題的數(shù)值方法［J］.莆田學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，13(2):11-14.

［4］周璐瑩，吳吉春，夏源.二維分?jǐn)?shù)對(duì)流-彌散方程的數(shù)值解［J］.高校地質(zhì)學(xué)報(bào)，2009，15(4):569-575.

［5］CHEN S，LIU F，TURNER I，et al.An implicit numerical method for the two-dimensional fractional percolation equation［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2003，13(9):322-331.

［6］黃鳳輝，郭柏靈.一類(lèi)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2010，31(7):781-790.

［責(zé)任編輯:魏 強(qiáng)］

Finite difference methods and its consistency for two-dimensional fractional dispersion equation

CHI Guang-sheng1，LI Hui-ling2
(1.Department of Basic Courses，Shandong Kaiwen College of Science ＆ Technology，Ji’nan 250200，China;2.Institute of Applied Mathematics，Shandong University of Science ＆ Technology，Zibo 255000，China)

In this paper we discuss the numerical method for two-dimensional fractional dispersion equation which fractional derivative can be approximated by the shifted Grunwald-formula on a finite domain.We get its Euler alternating directions implicit method which consistency can be proved by Fourier transform.

two-dimensional fractional dispersion equation; Euler implicit method; consistency

O242.1

A

1673-2944(2014)05-0064-04

2013-12-04

山東凱文科技職業(yè)學(xué)院自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KW201209)

池光勝(1985—)，男，山東省淄博市人，山東凱文科技職業(yè)學(xué)院講師，碩士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理問(wèn)題;李慧玲(1987—)，女，河南省鶴壁市人，山東理工大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理問(wèn)題。