孫景文，常鮮戎

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003)

0 引言

短期負(fù)荷預(yù)測是負(fù)荷預(yù)測的重要組成部分，是針對未來一天到數(shù)天各時段負(fù)荷的研究，對于機組最優(yōu)組合、經(jīng)濟調(diào)度和最優(yōu)潮流等有著重要的意義[1]。因此，提高短期負(fù)荷預(yù)測的精度很有必要。

由于負(fù)荷的隨機因素太多，非線性極強，而傳統(tǒng)的負(fù)荷預(yù)測方法如回歸分析、灰色預(yù)測、相似日法等難以達(dá)到精度要求。智能算法如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機、模糊粗糙集理論、混沌理論等的出現(xiàn)為負(fù)荷預(yù)測帶來了新的契機。

支持向量機SVM(Support Vector Machines)是基于Vapnik等提出的統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論，最初用于解決分類問題，隨著不敏感損失函數(shù)的引入，開始用于解決回歸問題，即支持向量回歸機SVR(Support Vector Regression)。SVR已經(jīng)廣泛應(yīng)用于時間序列預(yù)測領(lǐng)域[2，3]，當(dāng)然也包括電力負(fù)荷預(yù)測領(lǐng)域[4，5]。由于基本的 SVR需要求解的是二次規(guī)劃問題，數(shù)據(jù)樣本較大時求解比較慢，因此實用階段受到了一定的限制。最小二乘支持向量機LSSVR(Least Square Support Vector Regression)[6]將SVR中的損失函數(shù)設(shè)定為最小二乘損失函數(shù)，將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，從而使得問題求解變成線性KKT(Karush-Kuhn-Tucker)方程組的求解，求解速度很快。LSSVR用于負(fù)荷預(yù)測有兩個關(guān)鍵因素:(1)訓(xùn)練樣本即輸入輸出選取;(2)LSSVR的正則化參數(shù)和核函數(shù)參數(shù)選取。

針對關(guān)鍵因素 (1)，本文擬采用改進(jìn)混沌理論解決。通過求解最大李雅普諾夫指數(shù)可以判斷電力負(fù)荷序列屬于混沌序列[7]，因此可以用重構(gòu)相空間理論將一維負(fù)荷序列映射到高維空間中去。SVR的核心思想正是利用核函數(shù)將低維輸入映射到高維空間，與混沌理論有相似之處。文獻(xiàn)[7]和[8]都指出，數(shù)值測試表明，按照經(jīng)典混沌理論選擇的嵌入維數(shù)和延遲時間一般都不是負(fù)荷預(yù)測需要的合適參數(shù)。因此，有必要尋找合適的方法來進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選。

針對關(guān)鍵因素 (2)，本文擬采用ACPSO(A-daptive Chaos Particle Swarm Optimization)來解決。LSSVR的參數(shù)選擇對于預(yù)測的精度來說非常重要，因此必須進(jìn)行認(rèn)真精確的尋找。文獻(xiàn)[9]采用交叉驗證的思想進(jìn)行最優(yōu)參數(shù)的選取，但是效率不高;文獻(xiàn)[10]采用粒子群算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，但基本的粒子群算法易陷入局部極小，搜索后期速度緩慢，效果也不甚理想。ACPSO是基本PSO的改進(jìn)算法，針對PSO的缺點，引入自適應(yīng)策略和混沌思想，有效提高PSO的算法性能。

因此，為了提高短期負(fù)荷預(yù)測的精度和速度，本文提出了基于改進(jìn)混沌理論和ACPSO-LSSVR的預(yù)測模型。首先利用改進(jìn)混沌理論優(yōu)選LSSVR的訓(xùn)練樣本即輸入輸出，然后利用ACPSO優(yōu)選LSSVR的參數(shù)，最后利用LSSVR進(jìn)行快速的負(fù)荷預(yù)測。實例分析驗證了該方法的有效性。

1 改進(jìn)混沌理論

重構(gòu)相空間過程中，嵌入維數(shù)m、延遲時間τ和預(yù)測參考點的正確選取是重構(gòu)成功的關(guān)鍵。

1.1 嵌入維數(shù)和延遲時間的選取

關(guān)于嵌入維數(shù)和延遲時間的選取，已經(jīng)有很多成熟的理論方法，如G-P法、偽最近鄰域法、真實矢量場法和Cao氏法確定嵌入維數(shù);自相關(guān)法、改進(jìn)自相關(guān)法和互信息法確定延遲時間[11]。上述方法均是將二者的求取獨立計算，而近年來學(xué)者指出影響重構(gòu)質(zhì)量的是嵌入窗寬，即 (m-1)τ?；诖耍琸im，Eykholt和Salas提出C-C方法[12]，如下:

將原始時間序列x(i)，i=1，2，…，N分成t個不相交的子序列，長度l=[N/t]([]表示取整):

計算每個子序列的統(tǒng)計量S(m，N，r，τ):

式中:Cl是第l個子序列的關(guān)聯(lián)積分，定義如式(3):

局部最大間隔可以取S的零點或?qū)λ械陌霃絩相互差別最小的時間點。定義差量如式 (4):

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，m取值在2～5之間，r取值在σ/2～2σ之間。σ是時間序列的均方差。得到方程如式 (5):

傳統(tǒng)C-C法認(rèn)為S(t)的第一個過零點或ΔS(t)的第一個極小點就是最優(yōu)延遲時間τ，Scor(t)的全局最小點就是嵌入窗寬τw。

以Lorenzs混沌系統(tǒng)為例，得到C-C法確定的m，τ和τw如表1。由表1可以看出，S(t)的第一個零點與ΔS(t)的第一個極小點一般不相等，得出的延遲時間相差很多，并且S(t)的第一個零點確定的延遲時間不穩(wěn)定。同時，Scor(t)曲線上 (限于篇幅，此處略去)存在一些與最小點很接近的局部極小點，它們的存在對于尋找最小點很不利[13]。

表1 C-C法確定洛倫茲混沌序列

鑒于C-C法存在的不足，本文作出如下改進(jìn):(1)由于ΔS(t)確定的延遲時間很穩(wěn)定，僅以其作為延遲時間的選擇依據(jù);(2)定義S1(m，τ)=std{S(m，r，τ)}，這比采用公式 (4)可以更全面衡量全部相點的均勻性。定義Scor2(t)=S1(t)+|S(t)|，發(fā)現(xiàn)其一般有比較明顯的周期性，因此，以Scor2(t)的周期作為嵌入窗寬。用改進(jìn)方法求Lorenz序列的m，τ和τw如表2。

1.2 鄰近相點的選取

混沌預(yù)測方法包括全局預(yù)測和局域預(yù)測。全局預(yù)測需要滿足所有訓(xùn)練相點，這導(dǎo)致了其高度復(fù)雜性，很難實用。因此，本文選擇局域預(yù)測法。但是，局域預(yù)測需要尋找與待預(yù)測相點鄰近的若干相點，來擬合非線性函數(shù)。因此，鄰近相點的選取至關(guān)重要。

表2 改進(jìn)C-C法確定洛倫茲混沌序列

多數(shù)選取方法是依據(jù)相點間的歐氏距離來衡量鄰近程度，即用各相點與預(yù)測中心點的歐式距離大小來選取鄰近點，但這種做法很容易引進(jìn)“偽鄰近相點”，即當(dāng)前距離接近，并不意味著相點的演化趨勢接近，因此應(yīng)該以歐氏距離和相點演化趨勢兩個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行衡量。方法如下:

(1)依據(jù)歐式距離尋找與預(yù)測中心點XM接近的K個待優(yōu)選的初始鄰近相點Xi1(i=1，2，…，k);

(2)向前追蹤K個待優(yōu)選的初始鄰近相點的歷史情況，本文選擇追蹤兩步，看是否與預(yù)測中心相點在演化過程“一直鄰近”，若出現(xiàn)不鄰近情況，則認(rèn)為該鄰近相點是偽鄰近點，剔除;

(3)經(jīng)過 (1)和 (2)保留下來的相點才是真正的鄰近相點，以它們作為訓(xùn)練樣本。

2 最小二乘支持向量機LSSVR

LSSVR不同于標(biāo)準(zhǔn)SVR在于它把不等式約束變成等式約束，并且將經(jīng)驗風(fēng)險由偏差的一次方變?yōu)槎畏剑瑢⑶蠼舛我?guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問題。

對于給定的訓(xùn)練樣本集 (xi，yi)，i=1，…，l，xi∈Rn，yi∈R，利用高維空間里的線性函數(shù)來擬合:

式中:Φ()代表非線性映射。把數(shù)據(jù)樣本從輸入空間映射到高維特征空間，使輸入空間中的非線性擬合問題變?yōu)楦呔S空間中的線性擬合問題。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理，綜合考慮擬合誤差和函數(shù)復(fù)雜度，回歸問題可以表示為約束優(yōu)化問題:

式中:γ為正則化參數(shù);b為偏差。為了求解

(7)式的優(yōu)化問題，將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，建立下述Lagrange函數(shù):

式中:αi是 Lagrange乘子，根據(jù) Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)條件，消去ei和w后，得到如下線性方程組:

求解式 (9)可以得到b和α，最后可得如下預(yù)測模型:

由上可知，LSSVR具有更小的計算復(fù)雜度，并且需要確定的參數(shù)僅有兩個γ和σ。

3 自適應(yīng)混沌粒子群算法ACPSO

粒子群算法是由美國心理學(xué)家Kennedy和電氣工程師Eberhart于1995年提出的一種模擬鳥類群體覓食行為的仿生智能算法，是基于群體智能的隨機尋優(yōu)算法[14]。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群PSO

假設(shè)在D維的搜索空間，有一群體，其粒子數(shù)為m，xi=(xi1，xi2，…，xiD)表示第i個粒子的位置，vi= (vi1，vi2，…，viD)表示第i個粒子的飛行速度，Pi= (pi1，pi2，…，piD)表示第 i個粒子經(jīng)歷過的最好位置，即適應(yīng)度值最優(yōu)，Pg=(pg1，pg2，…，pgD)表示所有粒子經(jīng)歷過的最好位置。每次迭代粒子根據(jù)下面公式更新自己的速度和位置:

式 (11)中:w表示慣性權(quán)重，取0.1-0.9;c1和c2表示學(xué)習(xí)因子，一般均取2;r1和r2是[0，1]之間隨機數(shù)。公式由3部分組成，第一部分是粒子之前的速度;第二部分是“認(rèn)知”部分，代表粒子本身的思考，僅考慮自身的經(jīng)驗;第三部分是“社會”部分，代表著粒子之間的社會信息共享。

粒子在搜索過程中，速度和位置都有一定的限制，即 vimin≤vi≤vimax，ximin≤xi≤ximax，如果超出，就取邊界值。

3.2 混沌粒子群CPSO

3.1中提出的基本PSO，其搜索過程有兩點明顯不足:(1)初始化粒子是隨機的，隨機過程雖然大多能保證粒子初始分布較均勻，但對于粒子質(zhì)量卻不能保證，影響收斂;(2)迭代過程中，當(dāng)粒子位置、個體極值和群體極值3個接近時，速度更新由wvid決定。由于w＜1，粒子速度越來越慢，接近于零，失去全局搜索能力，最后導(dǎo)致陷入局部極小。

一般來說，由確定性方程得到的具有隨機性的運動狀態(tài)叫做混沌?；煦缇哂须S機性和遍歷性。將混沌思想引入PSO主要體現(xiàn)在兩個方面:(1)采用混沌序列初始化粒子的位置和速度，從中擇優(yōu)選取初始群體;(2)以當(dāng)前群體搜索到的最優(yōu)位置為基礎(chǔ)產(chǎn)生混沌序列，以混沌序列中的最優(yōu)位置粒子取代群體中任一個粒子的位置。

一般以Logistic方程確定的混沌系統(tǒng)對PSO進(jìn)行改進(jìn)，方程為

μ為控制參數(shù)，建議取4，初值z0∈[0，1]，具體的改進(jìn)過程參見文獻(xiàn)[15]。

3.3 自適應(yīng)粒子群APSO

在標(biāo)準(zhǔn)PSO中，w對于算法收斂有重要影響:w值大有利于全局搜索，有利于保持粒子多樣性;w值小有利于局部搜索，粒子多樣性逐漸喪失。保持群體多樣性是算法能夠收斂到全局最優(yōu)的前提，而標(biāo)準(zhǔn)PSO的迭代是多樣性逐漸喪失的過程，因此本文提出自適應(yīng)調(diào)整w的改進(jìn)方法。

假設(shè)群體規(guī)模是m，若favg是粒子當(dāng)前適應(yīng)度平均值，則

式中:fi是第i個粒子的當(dāng)前適應(yīng)度值。設(shè)最優(yōu)粒子適應(yīng)度值為fg，并且將適應(yīng)度值優(yōu)于favg的粒子再次求平均得到favg1。由此可將群體根據(jù)適應(yīng)度值差異分為3個子群，分別采用不同的自適應(yīng)操作，使群體始終保持多樣性。w小的粒子用來局部尋優(yōu)，加速收斂;w大的粒子早期用來全局尋優(yōu)，后期用來跳出局部極小，避免早熟收斂。

適應(yīng)度值為fi的粒子，w調(diào)整如下:

(1)fi優(yōu)于favg1:該粒子已接近全局最優(yōu)，所以應(yīng)被賦予較小w，加速向全局最優(yōu)收斂，公式如下:

(2)fi優(yōu)于favg但次于favg1:該粒子是群體中一般的粒子，具有良好的全局尋優(yōu)和局部尋優(yōu)能力，以遞減策略進(jìn)行調(diào)整:

(3)fi次于favg:該粒子是群體中較差的粒子，w的調(diào)整參考文獻(xiàn)[16]來進(jìn)行:

算法停滯時，如果粒子分布分散，則|fgfavg1|較大，式 (17)中w會減小，加強局部尋優(yōu);如果粒子分布密集，則|fg-favg1|較小，式(17)中w會增大，粒子全局尋優(yōu)能力加強，有效跳出局部最優(yōu)。

3.4 ACPSO算法流程

ACPSO是將混沌思想和自適應(yīng)思想融合進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)PSO中產(chǎn)生的改進(jìn)算法，流程如下:

Step1:初始化最大迭代次數(shù)iterm，群體規(guī)模m，位置和速度的上下限，終止閾值ε，混沌初始化粒子的位置和速度;

Step2:計算粒子適應(yīng)度值fi，若fi優(yōu)于Pi的適應(yīng)度值，則替換Pi;若fi優(yōu)于Pg的適應(yīng)度值，則替換Pg;

Step3:根據(jù)公式 (11)、(12)更新粒子的位置和速度;

Step4:對最優(yōu)位置Pg進(jìn)行混沌優(yōu)化，得到性能最好的可行解，替換任一粒子;

Step5:判斷終止條件是否滿足。滿足轉(zhuǎn)向Step7，否則轉(zhuǎn)向Step6;

Step6:根據(jù)粒子適應(yīng)度值采取相應(yīng)的w調(diào)整策略，按照式 (15)、(16)、(17);

Step7:滿足終止條件，算法結(jié)束。

4 算例分析

本文以2001年歐洲智能技術(shù)網(wǎng)絡(luò)舉辦的關(guān)于電力負(fù)荷預(yù)測技術(shù)大賽的原始數(shù)據(jù)為例，檢驗本文所提出方法的有效性。

原始數(shù)據(jù)為1997年和1998年兩年的每30 min一次的電力負(fù)荷值。本文選取1998年1月1日至1998年3月31日的電力負(fù)荷進(jìn)行驗證。其中1月1日至2月28日負(fù)荷作為訓(xùn)練樣本，3月1日至3月24日為檢測樣本，3月25日至3月31日為待預(yù)測樣本。

4.1 嵌入維數(shù)和延遲時間的確定

對于實際的電力負(fù)荷來說，預(yù)測之前首先要做的工作就是判斷其是否為混沌序列。最大李雅普諾夫指數(shù)一般用來進(jìn)行混沌的判別，混沌序列的最大李雅普諾夫指數(shù)大于零。通過采用小數(shù)據(jù)量法[11]對實際電力負(fù)荷進(jìn)行判別，其最大李雅普諾夫指數(shù)為0.023。

通過采用改進(jìn)的C-C法進(jìn)行嵌入維數(shù)和延遲時間的選取，得到m=4，τ=16，τw=48。文獻(xiàn)[7]指出，對于24 h的負(fù)荷序列來說，τ=8在數(shù)值測試中誤差相對較小，而對于本文中48 h的負(fù)荷序列，正好是 τ=16，很吻合。文獻(xiàn)[8]指出，嵌入窗寬τw不應(yīng)該是 (m-1)τ，而應(yīng)該是(m+1)τ/3。因此，本文固定τ=16不變，將m取值限定為3～10，以測試樣本預(yù)測誤差為衡量標(biāo)準(zhǔn)，選擇最優(yōu)的m。結(jié)果如表3，mse表示平均誤差。

表3 不同m對應(yīng)的測試誤差

4.2 鄰近相點的選取

本文采用1.2節(jié)提出的選取方法對鄰近相點進(jìn)行選取:首先確定用于局域預(yù)測的鄰近相點的個數(shù)，鄰近相點個數(shù)太少不利于規(guī)律的尋找，而鄰近相點的個數(shù)太多又會導(dǎo)致訓(xùn)練時間的增加，并且使得一些偽鄰近相點進(jìn)入到訓(xùn)練樣本中，影響預(yù)測的精度。本文根據(jù)文獻(xiàn)[17]中采用的HQ準(zhǔn)則 (Hannan-Quinn準(zhǔn)則，即漢南-奎因準(zhǔn)則)進(jìn)行鄰近相點個數(shù)的確定，得出鄰近相點個數(shù)為30。然后，本文先將鄰近相點個數(shù)確定為50個，即“粗選取”，追蹤這50個相點的演化軌跡，根據(jù)歐式距離和演化情況選取其中最優(yōu)的30個，即“細(xì)選取”。最后，以這30個相點作為訓(xùn)練樣本對SVR進(jìn)行訓(xùn)練，對待預(yù)測點進(jìn)行預(yù)測。

4.3 基于ACPSO-LSSVR的預(yù)測

由于需要預(yù)測未來24 h即48點的負(fù)荷，預(yù)測分為單步遞歸預(yù)測和多步預(yù)測兩種方式。本文采用單步遞歸預(yù)測，即每次預(yù)測一個點，然后將該預(yù)測點作為已知負(fù)荷加入到序列中，預(yù)測下一個點，以此類推，直至48個點全部預(yù)測完畢。

本文采用ACPSO進(jìn)行SVR參數(shù)優(yōu)選時，懲罰因子γ/2限定范圍是[1，500]，核函數(shù)寬度2σ2的限定范圍是[0.01，10]。

為了更直觀地說明預(yù)測效果，本文將3月25日至3月31日的待預(yù)測樣本每天的預(yù)測均方誤差mse，單點最大預(yù)測誤差max和單點最小誤差min統(tǒng)計如表4。將3月25日的每點預(yù)測情況作圖如圖1。

表4 3月25日至3月31日預(yù)測誤差

圖1 3月25日每點預(yù)測情況

為了說明本文提出的方法的有效性和改進(jìn)效果。本文分別以網(wǎng)格搜索法確定最優(yōu)參數(shù)的LSSVR方法 (簡稱LSSVR)，以標(biāo)準(zhǔn)PSO確定最優(yōu)參數(shù)的LSSVR方法 (簡稱PSO-LSSVR)，以ACPSO確定最優(yōu)參數(shù)的傳統(tǒng)SVR方法 (簡稱ACPSOSVR)分別對同樣的電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測，從精度和速度兩個方面進(jìn)行比較，結(jié)果如表5。

由表5可以看出，本文提出方法不論是預(yù)測精度還是預(yù)測速度都有優(yōu)勢。比較預(yù)測精度可以看出，采用ACPSO優(yōu)化參數(shù)之后，精度能夠得到提高，二者預(yù)測精度比用網(wǎng)格搜索法和標(biāo)準(zhǔn)PSO的預(yù)測模型精度要高。比較預(yù)測時間可以看出，除了網(wǎng)格搜索法的LSSVR(因為網(wǎng)格搜索要進(jìn)行大量的重復(fù)試探性計算)，采用LSSVR比采用SVR所耗費的時間少很多，驗證了采用LSSVR提高計算速度的可行性;而采用LSSVR的預(yù)測方法中，ACPSO所用的預(yù)測時間最短，驗證了采用優(yōu)化算法優(yōu)化參數(shù)的可行性。

表5 4種不同預(yù)測方法比較

5 結(jié)論

本文針對目前常用的混沌理論存在的相空間重構(gòu)不準(zhǔn)確以及鄰近點選擇不準(zhǔn)確的缺點，提出了改進(jìn)C-C法進(jìn)行相空間重構(gòu)和追蹤?quán)徑帱c演化軌跡排除“偽鄰近點”的改進(jìn)混沌理論;針對傳統(tǒng)的SVR求解速度慢以及參數(shù)難以確定的缺點，提出采用LSSVR加快求解速度和ACPSO確定最優(yōu)參數(shù)的ACPSO-LSSVR。對于實際負(fù)荷的預(yù)測分析證明了該方法的有效性和實用性。但是，目前對于負(fù)荷預(yù)測的精度和速度要求甚高，如何進(jìn)一步提高預(yù)測精度和預(yù)測速度仍然是負(fù)荷預(yù)測的關(guān)鍵問題和難題。

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