●張傳鵬 (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

例談高考解析幾何復(fù)習(xí)中題目的運用與講解

●張傳鵬 (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，具有代數(shù)和幾何雙重學(xué)科特點，因此許多學(xué)生感覺有點難學(xué)，許多教師就讓學(xué)生通過題海戰(zhàn)術(shù)加以鞏固.其實在解決解析幾何問題的過程中，需要提高的不僅是運算技能和對知識本身的理解，更重要的是在這個過程中提升思維能力和養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.筆者在高考解析幾何復(fù)習(xí)時對運用題目與講解題目有以下幾點做法，與同行交流.

1 進行題目變式

教師在進行高考復(fù)習(xí)時，經(jīng)常會找一些歷年高考試題讓學(xué)生做.高考試題都是經(jīng)過命題專家精心命制的，里面有許多好題，把這些好題講給學(xué)生聽，分析透徹，讓學(xué)生有所受益.但是筆者認(rèn)為只是做到這樣是不夠的，如果能對一些高考試題進行有效的改編，學(xué)生對問題將會有更加清晰的認(rèn)識.

圖1

例1如圖1，直線y=kx+b與橢圓交于點 A，B，記△AOB的面積為S.

(1)求在 k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值;

(2)當(dāng)|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程.本題是2007年浙江省的數(shù)學(xué)高考試題，講解此題后，教師可以繼續(xù)以下變式：

變式1當(dāng)|AB|=2時，求S△AOB的最大值.

變式2當(dāng)點O到直線AB的距離為1時，求S△AOB的最大值.

變式1的2種解法如下：

時，S△AOB的最大值為1.

變式2的解答如下：

解設(shè)點O到AB的距離為d，則

通過這樣的變式，可以讓學(xué)生形成較好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生就會對這類最值問題的處理比較清晰，更加了解題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，知曉數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程、概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、問題的發(fā)現(xiàn)過程、規(guī)律的揭示過程、方法的思考過程、揭示知識間內(nèi)在聯(lián)系的過程.

2 多角度講解、剖析

理性思維的形成是以數(shù)學(xué)題目為載體，在題目的解決過程中形成的.教師在講解題目時，千萬不能直接把答案寫在黑板上，讓學(xué)生看懂就行了，這樣的教學(xué)過程只注重知識的強化，沒有鍛煉學(xué)生的思維和自主解決問題的能力.教師教給學(xué)生的不僅僅是會算，更要會想，要尊重學(xué)生的思維習(xí)慣，把復(fù)雜的問題最大限度地簡單化，才是教學(xué)的真諦.講解要多角度，思路自然、清晰，學(xué)生更多、更好的解法就會自然生成.

例2 給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于點A，B.

通過分析可以發(fā)現(xiàn)l在y軸上的截距就是直線斜率的相反數(shù)，因此可以從以下角度來考慮：

角度2利用求根公式，尋找直線斜率與λ的關(guān)系

角度3構(gòu)造對偶式，利用韋達定理

角度4數(shù)形結(jié)合，利用拋物線定義

圖2

過點 A作 AD⊥BB1于點 D，則BD=(λ －1)t，于是在△ABD 中，

3 尋找錯解中的閃光點

學(xué)生解題有錯誤很正常，教師要讓學(xué)生學(xué)會主動參與找錯、議錯、評錯、賞錯，對學(xué)生來說這是一種可貴的成功體驗.有時候看似錯誤的解法中隱藏著教師意想不到的“大智慧”.

圖3

(1)求雙曲線的方程.

本題是筆者所任教學(xué)校一次月考中的試題，其中第(1)小題比較簡單，所求雙曲線的方程為3x2－y2=12，第(2)題的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：

解法1設(shè)直線OP的方程為y=kx(k≠0)，聯(lián)立雙曲線方程得

第(2)題學(xué)生的得分率非常低，分析錯誤的原因是很少有學(xué)生想到設(shè)直線OP的方程為y=kx，而首先想到的是設(shè)直線OQ的方程為y=kx+m，與雙曲線方程聯(lián)立后，計算量非常大，導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生都做不下去.筆者分析了學(xué)生的答題情況，順著學(xué)生的思路進行整理，產(chǎn)生了以下解法：

我們發(fā)現(xiàn)，解法2是最復(fù)雜的，也是許多學(xué)生想到的方法，聯(lián)立后運用韋達定理代入，計算量大;而解法3通過引入點O到直線PQ的距離，使計算得到簡化;解法4則有設(shè)而不求之感.