史文譜，魏 娟

（1.煙臺大學(xué) 機電汽車工程學(xué)院，煙臺 264005；2.山東省高校先進(jìn)制造與控制技術(shù)重點實驗室，山東 264005）

Green函數(shù)法作為求解數(shù)學(xué)物理方程問題的重要方法應(yīng)用非常廣泛，如流體問題［1］、Possion方程邊值問題［2］、裂紋問題［3－4］、動態(tài)載荷區(qū)間識別問題［5］及電磁波電阻率測量問題［6］等。又如利用Green函數(shù)法及復(fù)變函數(shù)法研究界面脫膠圓夾雜對SH波散射的遠(yuǎn)場解［7］；借助空間契合思想與Fredholm積分方程理論研究雙相壓電介質(zhì)中交界面附近圓孔邊界處環(huán)向動應(yīng)力集中系數(shù)與環(huán)向電場強度集中系數(shù)的變化規(guī)律［8］；基于飽和介質(zhì)三維波動理論的Biot模型，采用傅里葉積分變換與Hankel變換及算子理論研究橫觀各向同性飽和土中柱面載荷的動力Green函數(shù)問題，并給出柱坐標(biāo)系下橫觀各向同性飽和土中波動方程非軸對稱通解［9］；而有關(guān)圓形區(qū)域內(nèi)含多圓孔缺陷的SH波散射問題研究較少見。本文利用波函數(shù)展開法、復(fù)變函數(shù)法及Graf加法公式，討論圓形區(qū)域內(nèi)含多圓孔缺陷時在圓形域邊界處作用反平面線源載荷條件的Green函數(shù)解。結(jié)果可廣泛用于與圓形區(qū)域內(nèi)含夾雜SH波散射問題研究，具有重要理論意義。

1 問題模型分析

建立坐標(biāo)系xoy見圖1，半徑為R的圓形區(qū)域介質(zhì)內(nèi)有 N個半徑為 Rj（j＝1，2，…，N）的圓孔缺陷，其圓心oj（j＝1，2，…，N）在坐標(biāo)系 xoy中的位置向量設(shè)為 rj0＝（rj0，θj0），對應(yīng)的復(fù)數(shù)坐標(biāo)為 Zj0＝rj0exp（iθj0）。以圓心建立局部坐標(biāo)系xjojyj。圓形區(qū)域介質(zhì)剪切模量、質(zhì)量體密度為μ，ρ。圓形區(qū)域外邊界Γ作用的反平面脈沖線源設(shè)為 δ（r－R0）e－iωt，R0＝（R，θ0）（θ0為邊界 Γ的脈沖線源作用位置方位角）。

對反平面SH波散射問題而言，位移場 u（r，θ，t）＝U（r，θ）exp（－iωt）中位移幅度函數(shù) U（r，θ）滿足 Helmholtz方程，即

式中：2為Laplace算子；K＝ω／V為波數(shù)；ω為載荷擾動圓頻率；V＝（μ／ρ）1／2為介質(zhì)內(nèi)波速。

在圓形區(qū)域外邊界Γ的穩(wěn)態(tài)線源載荷δ（r－R0）e－iωt作用下，各圓孔分別產(chǎn)生一向外傳播的散射波，且均滿足式（1），可表為

圖1 圓形區(qū)域內(nèi)多圓孔對SH波散射Fig.1 Scattering of several cavities in circular domain to SHwave

圓形區(qū)域邊界Γ本身在介質(zhì)內(nèi)會激發(fā)一駐波（考慮波場在o點處的有界性），可表為

介質(zhì)內(nèi)應(yīng)力場 τrz，τθz與波函數(shù)幅度函數(shù) U（Z，Z）關(guān)系為

對各圓孔散射波幅度函數(shù)而言，本文用Graf加法公式。當(dāng)需利用Γ處邊界條件時，特殊函數(shù)加法公式為

第i個圓孔產(chǎn)生的波函數(shù)轉(zhuǎn)換到第j個局部坐標(biāo)系時所用特殊函數(shù)加法公式為

聯(lián)立式（4）～式（6）得定解方程組為

圖2 第i，j局部坐標(biāo)系間多極坐標(biāo)變換Fig.2 Multicoordinate transform between i－th and j－th local coordinate system

對式（11）、（12）兩邊分別乘以 e－iqθ，e－iqθj（q＝0，±1，…），并在區(qū)間［－π，π］內(nèi)積分得

求解式（13）、（14）可得未知系數(shù) Cn，Bjn（n＝0，±1，…；j＝1，2，…，N），從而確定介質(zhì)內(nèi) Green函數(shù)解。

圓孔 1邊界處環(huán)向動應(yīng)力 τr1z（R1，θ1）可表示為

2 算例與分析

圖3 圓管外邊界受反平面穩(wěn)態(tài)載荷作用時動力響應(yīng)Fig.3 Dynamic response of the pipe with steady outplane loading acting on its exterior boundary

考慮圓形區(qū)域內(nèi)有兩個不相交的圓孔 1、2（圖 1），已知參數(shù) μ＝6×106N／m2，R＝10 m，R1＝3 m，R2＝4 m，r10＝4 m，r20＝5 m，波數(shù) K取 0.05，0.2，0.35，0.5。分析圓孔1邊界處環(huán)向動應(yīng)力模τθ的變化及分布。θ10＝0，θ20＝π，θ0＝0時，計算結(jié)果見圖4（a）；θ10＝π，θ20＝0，θ0＝0時，計算結(jié)果見圖 4（b）；θ10＝π，θ20＝0，θ0＝π／2時，計算結(jié)果見圖 4（c）。由圖4（a）、（b）看出，由于兩圓孔中心線經(jīng)過線源載荷位置，故結(jié)果對稱（對稱于 0°～180°）；由圖 4（c）看出，因兩圓孔中心線不經(jīng)過線源載荷位置，結(jié)果不對稱。由此知低頻響應(yīng)普遍不明顯。為進(jìn)一步說明本文方法及結(jié)論的正確性，選數(shù)學(xué)物理方程定解問題作為對比算例，見圖3。

式中：r2為圓管內(nèi)半徑；r1為圓管外半徑；f（θ）為外部分布載荷幅度函數(shù)；x為介質(zhì)點位置向量，定義x＝（r，θ）；μ為圓管材料剪切模量。

取 f（θ）＝3cos（2θ）分析管內(nèi)邊界處環(huán)向動應(yīng)力幅度模τθ隨無量綱波數(shù)Kr2（K為波數(shù)）變化情況。由數(shù)學(xué)物理方法得定解問題理論解為

管內(nèi)邊界處動應(yīng)力幅度模形式為

若取μ＝6×106N／m2，r1＝10 m，r2＝3 m，波數(shù) K取0.05，0.2，0.35，0.5，則理論解與本文 Green函數(shù)積分解（N＝1，r10＝0）計算結(jié)果見圖4（d）。由圖4（d）看出，兩者在計算精度范圍內(nèi)完全一致，說明本文方法有效、可行。

圖4 圓孔邊界處環(huán)向應(yīng)力幅度變化Fig.4 Variations of the hoop stress of the points on the boundary of the number one circular cavity

3 結(jié) 論

（1）本文針對圓形區(qū)域外邊界處作用反平面線源載荷時其內(nèi)部多圓孔缺陷對SH波散射的Green函數(shù)解問題進(jìn)行研究，利用復(fù)變函數(shù)法、波函數(shù)展開法及Graf加法公式提出的解析求解方法，亦適用于線源作用在某個內(nèi)部圓孔邊界情形。所得Green函數(shù)解對采用大圓逼近直邊界法研究雙相介質(zhì)界面附近圓形夾雜及孔洞對SH波散射問題有重要參考意義。

（2）該方法計算收斂速度快、精度高。通過具有理論解的數(shù)學(xué)物理定解問題驗證方法、結(jié)論的正確性。圓形區(qū)域外邊界處作用反平面分布載荷時，利用疊加原理結(jié)合本文Green函數(shù)解可直接給出問題的積分解。

［1］Manyanga D O，Duan W Y.Green functions with pulsating sources in a twolayer fluid of finite depth［J］.China Ocean Eng.，2011，25（4）：609－624.

［2］陳秀武.Poisson方程邊值問題的Green函數(shù)法［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，22（1）：122－124.CHEN Xiuwu.Green function’s method of poisson equation boundary conditions questions［J］.Journal of Gansu Lianhe University（Natural Sciences），2008，22（1）：122－124.

［3］齊輝，張根昌，陳冬妮，等.SH波入射時半空間界面裂紋與圓形襯砌的相互作用［J］.爆炸與沖擊，2012，32（5）：463－469.QI Hui， ZHANG Genchang， CHEN Dongni， et al.Scattering of SHwave by the circular lining with an interface crack in a bimaterial halfspace［J］.Explosion and Shock Waves，2012，32（5）：463－469.

［4］崔元慶，楊衛(wèi)，仲政.半無限平面裂紋構(gòu)型橫向應(yīng)力的Green函數(shù)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2011，32（8）：912－919.CUI Yuanqing， YANG Wei， ZHONG Zheng. Green’s function for tstress of a semiinfinite plane crack［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2011，32（8）：912－919.

［5］王曉軍，楊海峰，邱志平，等.基于Green函數(shù)的動態(tài)載荷區(qū)間識別方法研究［J］.固體力學(xué)學(xué)報，2011，32（1）：95－101.WANG Xiaojun， YANG Haifeng，QIU Zhiping， et al.Research on interval identification method for dynamic loads based on Green’s function［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2011，32（1）：95－101.

［6］楊錦舟，魏寶君，林楠.徑向成層介質(zhì)的Green函數(shù)及其在隨鉆電磁波電阻率測量的應(yīng)用［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，33（3）：53－58.YANG Jinzhou，WEI Baojun，LIN Nan.Green’s function for radial stratified media and its application to electromagnetic wave resistivity measurement while drilling tool［J］.Journal of China University of Petroleum，2009，33（3）：53－58.

［7］趙嘉喜，齊輝.界面脫膠圓夾雜對SH波散射的遠(yuǎn)場解［J］.力學(xué)與實踐，2009，31（1）：47－51.ZHAO Jiaxi，QI Hui.Far field solution of SHwave scattered by an interface cylindrical inclusion with disconnected curve［J］.Mechanics in Practice，2009，31（1）：47－51.

［8］李冬，宋天舒.雙相壓電介質(zhì)中界面附近圓孔的動態(tài)性能分析［J］.振動與沖擊，2011，30（3）：91－95.LI Dong，SONG Tianshu.Dynamic perfermance analysis of circular cavity near interface in piezoelectric bimaterials［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（3）：91－95.

［9］王小崗.橫觀各向同性飽和土中柱面載荷的動力Green函數(shù)［J］.力學(xué)學(xué)報，2010，42（5）：909－918.WANG Xiaogang.Dynamic Green’s function for internal barrel loads in transversely isotropic saturated soils［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，42（5）：909－918.