馬文萱，謝正光，張 輝，徐 偉

(南通大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇南通 226019)

隨著多媒體技術(shù)的迅猛發(fā)展，視頻應(yīng)用的范圍越來越廣泛。龐大的數(shù)字化視頻數(shù)據(jù)需要進行高效壓縮，壓縮后的碼流對信道誤碼十分敏感?，F(xiàn)有的視頻編碼標(biāo)準(zhǔn)(H.264/AVC)［1］大多以預(yù)測編碼為基礎(chǔ)，一旦某幀在傳輸過程中發(fā)生錯誤，就會導(dǎo)致其后續(xù)幀的錯誤累積。

傳統(tǒng)抗誤碼方法可分為3種［2］。一種是在編碼端使用冗余容錯的方法，如冗余片、靈活宏塊調(diào)整、幀內(nèi)刷新、可伸縮性編碼［3］以及多重描述編碼［4］，然而這些方法增加了冗余數(shù)據(jù)，使得信道的利用率下降。另一種是在解碼端使用錯誤隱藏、數(shù)據(jù)恢復(fù)［5－6］的方法，但這些方法只是盡可能地彌補誤碼所帶來的圖像視覺損傷，并不能真正地抑制差錯飄移。第3種在視頻傳輸?shù)倪^程中使用某種糾錯方法:比如前向糾錯，該方法的不足之處是當(dāng)錯誤率超出了信道編碼預(yù)設(shè)的糾錯能力時，所重建的視頻質(zhì)量就會迅速下降，呈現(xiàn)所謂的“懸崖效應(yīng)”。上述表明傳統(tǒng)抗誤碼方法存在諸多不足。

壓縮感知理論［7］可以從很少采樣數(shù)據(jù)中高準(zhǔn)確率重構(gòu)出原來信號的特性，受到了人們的重視。本文對壓縮感知線性規(guī)劃解碼和信道碼線性規(guī)劃解碼進行了研究，利用它們之間的聯(lián)系，提出了一種基于壓縮感知的LDPC碼的抗誤方法。相對于傳統(tǒng)誤碼，它在高誤碼率時表現(xiàn)出良好的性能。

1 壓縮感知線性規(guī)劃解碼

1.1 壓縮感知

壓縮感知理論首先由 Candes、Romberg［8］、Tao［9］和Donoho［10］等人在2004年提出文獻直到2006年才發(fā)表。Candes證明了只要信號在某一個正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率(M?N)采樣信號，而且能以高概率重構(gòu)該信號。壓縮感知理論指出，設(shè)長度為N的信號X在某組正交基或緊框架ψ上的變換系數(shù)是稀疏的，如果用一個與變換基ψ不相關(guān)的觀測基φM×N(M?N)對系數(shù)向量進行線性變換，并得到觀測集合M×1。那么就可以利用優(yōu)化求解方法從觀測集合中精確或低概率地重構(gòu)原始信號X。壓縮感知理論是一種新的在采樣的同時實現(xiàn)壓縮目的的理論框架，其框架如圖1所示。

圖1 壓縮感知理論框架

首先，如果信號X∈Rn在某個正交基或緊框架ψ上是可壓縮的，求出變換系數(shù)Θ=ΨTX，Θ是Ψ的等價或逼近的稀疏表示;第二步，設(shè)計一個平穩(wěn)，與變換基Ψ不相關(guān)的M×N維觀測矩陣Ψ，對Θ進行觀測得到觀測集合Y=ΦΘ=ΦΨTX，該過程也可以表示為信號X通過矩陣ACS進行非自適應(yīng)觀測:Y=ACSX(其中ACS=ΦΨT)，ACS稱為CS信息算子［11］;最后，利用0－范數(shù)意義下的優(yōu)化問題求解X的精確或近似逼近，見式(1)，稀疏信號e，對于合適的HCS，CS－OPT產(chǎn)生的估計值等于e，見式(2)。

假設(shè)輸入信號為x，輸出信號為y，并且這個信息符號在塊長度為n、維度為k=n－rank(Hcs)的實值碼CCS的幫助下編碼，過程如下:

1)CCS碼滿足 CCS∈{x∈Rn∣ HCS·x=0}。

2)假設(shè)一個生成矩陣GCS∈Rn×k滿足CCS∈{GCS·u∣u∈Rk}，通過這個生成矩陣進行x=GCS·u運算，信息向量u∈Rk被編碼成碼字x∈Rn。

3)設(shè)y∈ynCS為接收到的向量。對于一個合適的定義向量e∈Rn，稱作錯誤向量，可以寫成y=x+e。假設(shè)這個e是稀疏的，也就是說非零項個數(shù)被一些正整數(shù)k限制。

4)首先接收端計算

式中:

然后通過解決CS－OPT來獲得對e的估計，通過=y－求得，又因為是線性碼即可得到。求解CSOPT問題的計算極不穩(wěn)定而且是NP難問題［12］。Chen，Donoho和Saunders［11］指出求解一個更加簡單的L1優(yōu)化問題會產(chǎn)生同等的解，即

1.2 CS－LPD與CS－OPT等同的條件

探究CS－LPD與CS－OPT結(jié)果等同的條件，就是探究在何種條件下CS－LPD可以準(zhǔn)確求解出原來的信號，也就是探究何種測量矩陣的LP松弛是緊的。文獻［12］已經(jīng)指出一個測量矩陣的行數(shù)m滿足m=Θ(klog(n/k))，則可以通過CS－LPD恢復(fù)出k稀疏信號，表示為k=Θ(n)，但是它最適宜的量度要求構(gòu)造的矩陣的測量值數(shù)量線性于信號的維度n。一個證明測量矩陣是“好的”的充分條件是文獻［13－14］指出的有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)，如果測量矩陣滿足RIP，則它的LP松弛對于K稀疏向量e是緊的，并且重構(gòu)可以達到近似稀疏［13］。眾所周知，RIP不是一個“好的”測量矩陣的LP松弛的完整特性，而零空間性質(zhì)［15－16］是一個對于“好的”測量矩陣的必須且充分的條件。

定義1:假設(shè)，C∈R≥0。如果C·‖vs‖1≤‖v‖1對于所有v∈nullspaceR(HCS)成立就說明HCS具有零空間性質(zhì)NSPR≤(S，C)，寫成HCS∈NSPR≤(S，C)。如果C·‖vs‖1＜‖v‖1對于所有v∈nullspaceR(HCS)［17］成立就可以說明HCS具有嚴(yán)格的零空間性質(zhì)NSPR＜(S，C)，寫成 HCS∈NSPR＜(S，C)。

定義2:假設(shè)k∈Z≥0，C∈R≥0。如果 HCS∈NSPR≤(S，C)對于所有S?I(HCS)成立并且S≤k，則認為HCS具有零空間性質(zhì)NSPR≤(k，C)寫成HCS∈NSPR≤(k，C)。如果HCS∈NSPR＜(S，C)對于所有S?I(HCS)并且S≤k，則認為HCS具有嚴(yán)格的零空間性質(zhì)NSPR≤ (k，C)，寫成 HCS∈NSPR＜(k，C)。

文獻［16］分別給出了如上定義。定義2中的零空間條件對于K稀疏信號的“好的”測量矩陣是必須并且充分的，也就是說對于這些矩陣CS－LPD的估計值等同于CS－OPT的估計值?！昂玫摹睖y量矩陣的零空間性質(zhì)是將CS－LPD和CC－LPD聯(lián)系起來的重要關(guān)鍵點之一?？梢缘贸鲆韵吕碚?設(shè)HCS是一個測量矩陣，并且假設(shè)s=HCS·e，而且 e最多有k個非零元素，可以表示為‖e‖0≤k。如果HCS∈NSPR＜(k，C=1)，則由CSLPD產(chǎn)生的估計值e等同于CS－OPT產(chǎn)生的估計值e。

2 信道碼線性規(guī)劃解碼(CC－LPD)

2.1 信道碼線性規(guī)劃解碼框架

設(shè)輸入 xCC? {0，1}，輸出 yCC，信道規(guī)則為PY︱X(y︱x)。這個編碼方案是以一個塊長度為n、維度為k的二元線性碼CCC為基礎(chǔ)的，n≥k。下面來定義XCC:

1)設(shè) GCC∈為對于CCC的生成矩陣。因此，GCC秩為k，并且信息向量u∈通過x=GCC·u(mod 2)被編碼成x∈，也就是CCC={GCC·u︱u∈}。

2)設(shè) HCC∈是一個對于CCC的校驗矩陣。因此，HCC的秩n－k≤m，并且對于任x∈，當(dāng)且僅當(dāng)x∈CCC時滿足HCC·x=0(mod 2)，也就是說CCC={x∈︱HCC·x=0(mod 2)}。3)y∈ ynCC為接收到的向量，定義每個i∈I(HCC)(I(HCC)代表H的行集合)，對數(shù)似然比為

4)令yCC是二元的，可以寫成y=x+e(mod 2)，e∈為錯誤向量，s=H·y(mod 2)，s=H·y=H·

CCCCCC(x+e)=HCC·x+HCC·e=HCC·e(mod 2)。最大似然解碼(MLD)規(guī)則為

式中:

表示形式如式(4)，即

因為代價函數(shù)是線性的，并且一個線性函數(shù)達到它的凸集的最小極值點，本質(zhì)上等于CC－MLD2如式(6):

雖然只是一個線性規(guī)劃問題，但是因為它的描述復(fù)雜性高，所以通常不可以有效解決。

C 可以被寫成 CCC=CCC，1∩ … ∩ CCC，m，所以conv(CCC)=conv(CCC，1∩ … ∩ CCC，m)?conv(CCC，1)∩ … ∩conv(CCC，m)=P(HCC)。在文獻［18－19］中如下結(jié)論被證實:松弛具有一個重要的性質(zhì)即所有conv(CCC)的頂點都是P(HCC)的頂點。所以CC－MLD問題轉(zhuǎn)換為CC－LPD問題表示為式(7)，即

2.2 CC－LPD與CC－MLD等同的條件

在二元對稱信道中，設(shè)HCC為碼CCC的一個校驗矩陣，設(shè)S?I(HCC)。如果HCC滿足‖ωS‖1＜‖ω‖1，對于所有ω∈k(HCC){0}，則CC－LPD的結(jié)果等于這個發(fā)送的結(jié)果。其中，

3 CC－LPD與CS－LPD之間的聯(lián)系

由以上分析可知，要知道CC－LPD和CS－LPD之間的聯(lián)系，就需要理解在零空間里的哪些點可以與在基本多面體空間里的點產(chǎn)生聯(lián)系。文獻［20］中指出如下定理:設(shè)HCS是一個0－1測量矩陣，則v∈Nullsp(HCS)?|v|∈K(HCS)。即表示在HCS的R零空間的每個點可以聯(lián)系到HCS的基本錐空間上的一個點。因此，一個對于R零空間的問題點，將會轉(zhuǎn)化成在多面錐上的一個問題點，導(dǎo)致CC－LPD具有糟糕的性能。簡單來說，如果一個校驗矩陣HCS在多面錐空間里有不低的偽碼重量點，則在HCS的R零空間域中沒有問題點。在文獻［19］中給出了不同信道下的最低偽碼重量。

4 實驗仿真

4.1 實驗步驟

由以上的結(jié)論可知，如果一個校驗矩陣可以糾正CC－LPD中的k個比特翻轉(zhuǎn)錯誤，則這個校驗矩陣可以作為CS－LPD中的測量矩陣來恢復(fù)k稀疏的錯誤信號。因此可以采用IEEE802.16e標(biāo)準(zhǔn)中的校驗矩陣作為解碼端壓縮感知重構(gòu)的測量矩陣，實驗步驟圖見圖2。

圖2 實驗步驟圖

步驟如下:

1)對YUV文件進行編碼:通過264編碼器編碼為標(biāo)準(zhǔn)視頻文件264文件，對264文件的每個NAL的長度進行限制。

2)對264文件進行處理:將264文件按NAL為單位分別存儲，轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)據(jù)。IEEE802.16e標(biāo)準(zhǔn)中的碼長從 576～2 304不等，碼率有 1/2，2/3A，2/3B，3/4A，3/4B，5/6共6種。此次仿真中選取碼長為2 304、碼率為3/4A進行仿真。對不足2 304長度的NAL進行補0處理。

3)編碼:對每一個NAL數(shù)據(jù)進行基于IEEE802.16e的LDPC編碼。

4)信道仿真:分別加入信噪比為－1～+1.8 dB(步長0.2 dB)與1.9～3.5 dB(步長0.1 dB)的噪聲。

5)LDPC解碼:運用LLR－BP算法進行解碼。

6)CS重構(gòu)解碼:設(shè)IEEE 802.16e中的校驗矩陣為H，經(jīng)過LDPC編碼和信道仿真的信號為y∈F2，其中y=x+e。x∈F2為經(jīng)過LDPC編碼得到的信號，e∈F2為錯誤信號。將式子兩邊同時乘以H得到

因為H為x的生成矩陣，且x為線性碼，所以H·x(mod 2)為0，所以

通過求解式(15)得到e，通過回代即可得到y(tǒng)。

4.2 實驗結(jié)果

在對 clip_cif.yuv，akiyo_cif.yuv，news_cif.yuv 進行 2種編解碼方法得到的264文件解碼，發(fā)現(xiàn)2種方法能夠正確解碼的最大誤碼相差不大，但是解碼正確率有很大差異。圖3、圖4、圖5為3個不同文件的解碼正確率實驗結(jié)果圖。

圖4 兩種方法的解碼成功率對比圖

由圖可以看出當(dāng)信噪比大于2 dB時兩種解碼方法都可以正確解碼，驗證了“如果一個校驗矩陣可以糾正CCLPD中的k個比特翻轉(zhuǎn)錯誤，則這個校驗矩陣可以作為CS－LPD中的測量矩陣來恢復(fù)k稀疏的錯誤信號”的結(jié)論。并且由圖可以看出使用CS解碼正確率明顯高于傳統(tǒng)LDPC解碼方法。

圖5 兩種方法的解碼成功率對比圖

5 結(jié)束語

本文利用CC－LPD和CS－LPD之間的聯(lián)系將壓縮感知的重構(gòu)方法運用在LDPC解碼上。實驗結(jié)果表明本文所提出的基于CS的LDPC抗誤方法的解碼正確率明顯高于傳統(tǒng)LDPC解碼方法，提高了抗誤效果，提高了數(shù)據(jù)重構(gòu)的精確性，為后續(xù)研究提供了保證，為視頻抗誤碼傳輸提供了新的思路。

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