林 超，李莎莎，龔 海

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

面齒輪傳動是一種圓錐齒輪與圓柱齒輪相互嚙合的齒輪傳動[1]，圓錐齒輪(面齒輪)采用直齒漸開線齒輪刀具經(jīng)范成加工而成.常見的面齒輪按傳動位置關(guān)系可分為正交、非正交、偏置正交和偏置非正交4種情形[2-5].按照齒形分為直齒面齒輪、斜齒面齒輪和弧齒面齒輪[6-11].目前，相交軸間的變傳動比傳動主要是利用非圓錐齒輪副來實(shí)現(xiàn)的[12]，然而非圓錐齒輪副的設(shè)計(jì)與加工相當(dāng)困難，正交變傳動比面齒輪副是在深入研究非圓錐齒輪副的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，由一個非圓柱齒輪和特殊非圓錐齒輪(變傳動比面齒輪)組成.與非圓錐齒輪副相比，正交變傳動比面齒輪副的最大特點(diǎn)是設(shè)計(jì)與加工更簡單，可以利用現(xiàn)有的機(jī)床和刀具對其進(jìn)行加工，易實(shí)現(xiàn)批量生產(chǎn).正交變傳動比面齒輪在紡織機(jī)械、農(nóng)用機(jī)械、工程機(jī)械、汽車等場合有著廣闊的應(yīng)用前景，所以對正交變傳動比面齒輪的研究有很重要的理論意義和工程應(yīng)用價值[13].

正交變傳動比面齒輪目前還無法通過三維軟件對其進(jìn)行直接造型，而齒輪的三維模型是進(jìn)行有限元分析、機(jī)構(gòu)仿真、數(shù)控加工等不可缺少的，為此，從正交變傳動比面齒輪設(shè)計(jì)基本原理和插齒加工原理出發(fā)，利用VB和Solidworks的二次開發(fā)工具，開發(fā)一套該面齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真加工系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)快速設(shè)計(jì)，大大減少重復(fù)設(shè)計(jì)量，縮短設(shè)計(jì)周期、提高設(shè)計(jì)效率.正交變傳動比面齒輪仿真加工系統(tǒng)可在計(jì)算機(jī)上模擬加工過程，得到該面齒輪三維模型并真實(shí)、直觀地展現(xiàn)其展成原理、復(fù)雜加工過程和效果，為進(jìn)一步的分析及制造研究奠定基礎(chǔ).

1 幾何設(shè)計(jì)

1.1 節(jié)曲線設(shè)計(jì)

本文討論的非圓柱齒輪節(jié)曲線為橢圓曲線(包括低階橢圓和高階橢圓)，其節(jié)曲線方程為[14]：

(1)

式中:a為橢圓的長軸半徑；k1為橢圓的偏心率，n1為橢圓的階數(shù).

建立正交變傳動比面齒輪副的坐標(biāo)系如圖1所示：坐標(biāo)系s1(x1,y1,z1)和s2(x2,y2,z2)為動坐標(biāo)系分別與非圓柱齒輪和正交變傳動比面齒輪剛性固接.坐標(biāo)系s10(x10,y10,z10)和s20(x20,y20,z20)為定坐標(biāo)系，與切齒機(jī)床的機(jī)座剛性固接.初始時，坐標(biāo)系s1和s10，s2和s20重合.R為正交變傳動比面齒輪節(jié)曲線所在圓柱齒輪的半徑，θ1，θ2分別為非圓齒輪、正交變傳動比面齒輪轉(zhuǎn)角.

圖1 正交變傳動比面齒輪副設(shè)計(jì)坐標(biāo)系

根據(jù)空間嚙合原理及空間坐標(biāo)變換關(guān)系得到由s1(x1,y1,z1)轉(zhuǎn)換到s2(x2,y2,z2)轉(zhuǎn)換矩陣為：

(2)

根據(jù)齒輪嚙合原理的推導(dǎo)，正交變傳動比面齒輪的節(jié)曲線在坐標(biāo)系s2(x2,y2,z2)用下列矩陣方程表示：

(3)

定義n2為正交變傳動比面齒輪的階數(shù)，表示該面齒輪節(jié)曲線在0～2π范圍內(nèi)變化的周期個數(shù).根據(jù)節(jié)曲線封閉的條件有：

(4)

式中：i12為正交變傳動比面齒輪副傳動比.

根據(jù)式(1)(4)算得R,帶入式(2)得到正交變傳動比面齒輪節(jié)曲線參數(shù)方程為：

(5)

由式(3)可以看出，正交變傳動比面齒輪節(jié)曲線的x，y坐標(biāo)表示的是一個半徑為定值R的圓，而z坐標(biāo)則是隨著θ1變化的，所以正交變傳動比面齒輪的節(jié)曲線是圓柱面上的空間曲線.

1.2 齒頂齒根曲線設(shè)計(jì)

正交變傳動比面齒輪的齒頂高和齒根高沿其節(jié)曲線法線方向計(jì)算，其齒頂曲線與齒根曲線是節(jié)曲線的等距曲線，它們與節(jié)曲線之間的法向距離分別是齒頂高h(yuǎn)a和齒根高h(yuǎn)f.由于直接基于圓柱面求齒頂曲線和齒根曲線的表達(dá)式比較困難，將正交變傳動比面齒輪節(jié)曲線展開為平面曲線，推導(dǎo)出其齒頂、齒根曲線方程.參照非圓齒輪的齒頂齒根計(jì)算方法，得到正交變傳動比面齒輪的齒頂曲線直角坐標(biāo)表達(dá)式：

(6)

齒根曲線直角坐標(biāo)表達(dá)式：

(7)

式中：

1.3 齒面方程

如圖2所示，刀具漸開線齒面方程為：

(8)

式中：τ=θos+θs，rbs為刀具基圓半徑，θs為刀具漸開線上一點(diǎn)的角度參數(shù)，μs為刀具漸開線上一點(diǎn)的軸向(沿zs方向)參數(shù)，θos確定刀具在基圓上的齒槽寬，并且對標(biāo)準(zhǔn)漸開線刀具用式(9)方程表示：

(9)

式中：Zs為刀具齒數(shù)；α0為壓力角.

根據(jù)空間坐標(biāo)變換關(guān)系得刀具坐標(biāo)系osxsyszs到正交變傳動比面齒輪動坐標(biāo)系s2(x2,y2,z2)的轉(zhuǎn)換矩陣[15]為：

(10)

式中：γ=ψ+θ1；

A=Dsinβ2sinθ2-Rcosθ2；

B=-Dsinβ2cosθ2-Rsinθ2；

C=r(π)-Dcosβ2．

ψ由公式(17)給出，D,β2在圖4中標(biāo)出．

圖2 刀具漸開線齒廓

正交變傳動比面齒輪齒面Σ2是由刀具齒面Σs包絡(luò)而成，Σ2可表示為：

(11)

1.4 齒寬設(shè)計(jì)

1.4.1 正交變傳動比面齒輪不根切的最小內(nèi)半徑

正交變傳動比面齒輪與一般的定傳動比面齒輪傳動一樣，也存在根切現(xiàn)象.由于根切的存在，正交變傳動比面齒輪的齒寬會受到限制，因此對其根切現(xiàn)象的研究是十分必要的，根據(jù)齒輪傳動無根切的通用條件[16]，可以得到加工刀具根切界限線的方程組：

(12)

(13)

式中：ras為刀具齒頂圓半徑.

(14)

1.4.2 正交變傳動比面齒輪不變尖的最大外半徑

正交變傳動比面齒輪齒頂變尖的幾何特征是輪齒兩側(cè)齒面相交其齒頂厚等于零.圖3是正交變傳動比面齒輪y2o2z2平面的軸截面示意圖，R1和R2分別表示其最小內(nèi)半徑和最大外半徑.因?yàn)閥2o2z2平面是正交變傳動比面齒輪輪齒兩側(cè)齒廓的對稱平面，所以正交變傳動比面齒輪齒頂變尖處應(yīng)在y2o2z2平面上，參考圖3，則變尖出的坐標(biāo)為：

x2=0,y2=-R2,z2=-rsm．

(15)

正交變傳動比面齒輪的齒面方程是關(guān)于θs和θ1兩個未知數(shù)的方程.由其齒面方程(11)和式(15)的第一和第三式可解出θs和θ1，從而得到正交變傳動比面齒輪不變尖的最大外半徑R2.

求得了正交變傳動比面齒輪不根切的最小內(nèi)半徑和不變尖的最大外半徑，正交變傳動比面齒輪的齒寬可表示為：

B=R2-R1．

(16)

圖3 最大外半徑

2 三維造型

正交變傳動比面齒輪齒面是很復(fù)雜的曲面，參考一般定傳動比面齒輪的建模方法，基于現(xiàn)有的三維軟件，主要的建模方法有NURBS自由曲面重構(gòu)和虛擬加工方法.前者是根據(jù)面齒輪齒面方程運(yùn)用數(shù)值方法求解齒面離散點(diǎn)，再在三維軟件中進(jìn)行曲面重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)面齒輪的幾何建模.后者是基于布爾運(yùn)算原理，模擬刀具和面齒輪毛坯的范成運(yùn)動，在三維軟件中直接實(shí)現(xiàn)面齒輪的幾何建模.由于正交變傳動比面齒輪數(shù)值求解過程抽象而繁瑣，因此，本文選用虛擬加工方法在Solidworks軟件中實(shí)現(xiàn)正交變傳動比面齒輪的三維造型.

2.1 虛擬加工原理

正交變傳動比面齒輪齒面是通過漸開線齒輪刀具與該面齒輪毛坯做范成運(yùn)動形成的，運(yùn)動過程中假想刀具與非圓齒輪內(nèi)嚙合.由于在Solidworks中無法實(shí)現(xiàn)實(shí)體的連續(xù)運(yùn)動并且進(jìn)行相關(guān)布爾運(yùn)算，因此，可以靠每次微小角度的轉(zhuǎn)動來模擬刀具和正交變傳動比面齒輪毛坯的范成運(yùn)動.切削該面齒輪的過程，實(shí)際上就是正交變傳動比面齒輪毛坯與刀具作布爾減運(yùn)算的過程.根據(jù)相對運(yùn)動原理，可以假設(shè)其毛坯固定，刀具的節(jié)曲線在毛坯節(jié)曲線上作純滾動，只要確定每一瞬時刀具的空間運(yùn)動關(guān)系，再完成布爾減運(yùn)算就能得到正交變傳動比面齒輪的三維模型.由于在布爾減運(yùn)算結(jié)果僅余被減物體，因此每次布爾減運(yùn)算后，都應(yīng)該對刀具進(jìn)行復(fù)制，實(shí)際上每次正交變傳動比面齒輪毛坯與刀具的布爾減運(yùn)算，減去的是刀具的副本，刀具本身沒有變化.仿真模型的精度是由每次刀具齒輪轉(zhuǎn)動的步進(jìn)角控制的，步進(jìn)角越小，精度越高.

根據(jù)嚙合原理和空間幾何關(guān)系，加工刀具空間運(yùn)動關(guān)系如圖4所示.φ1，φ2分別為非圓齒輪、正交變傳動比面齒輪轉(zhuǎn)角，r3為刀具節(jié)圓半徑.

圖4 刀具空間運(yùn)動關(guān)系示意圖

刀具繞自身軸線旋轉(zhuǎn)角度：

(17)

由微分幾何可得：

(18)

由刀具發(fā)生純滾動的弧長與非圓齒輪φ1角對應(yīng)的弧長相等可得：

(19)

根據(jù)余弦定理：

(20)

(21)

x=Dcos (φ1-β2)．

(22)

y=Dsin (φ1-β2)．

(23)

由傳動比關(guān)系得，刀具繞面齒輪軸線旋轉(zhuǎn)角：

(24)

正交變傳動比面齒輪參數(shù)化仿真加工模塊的程序流程圖如圖5所示．

2.2 軟件設(shè)計(jì)

根據(jù)以上設(shè)計(jì)過程及仿真加工原理，基于visual basic語言與Solidworks開發(fā)平臺，并結(jié)合matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，設(shè)計(jì)出正交變傳動比面齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真加工軟件，其界面如圖6所示．

參數(shù)化設(shè)計(jì)計(jì)算完成后，在仿真加工模塊輸入加工精度，加工起始角度和加工終止角度，依次點(diǎn)擊生成刀具、生成毛坯、仿真加工按鈕，程序會自動調(diào)用Solidwork軟件，開始虛擬加工.

2.3 仿真加工實(shí)例

分別取n1= [2，3]，n2=[8,12]，k=0.1，z1=[26，27]，m=3，由正交變傳動比面齒輪仿真加工程序得到三維實(shí)體后，利用三維軟件自帶的合并曲面功能，將仿真加工時產(chǎn)生的小曲面合并，分別得到的8階和12階正交變傳動比面齒輪模型如圖7所示.

圖5 程序流程圖

圖6 軟件界面

圖7 虛擬加工模型圖

3 實(shí)體加工及實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)體加工

分別用三軸數(shù)控銑削加工和數(shù)控電火花線切割加工方法加工出八階正交變傳動比面齒輪和二階非圓齒輪實(shí)體.仿真加工模型與實(shí)體如圖8所示.由圖8(c)可見，仿真加工模型與實(shí)體一致，表明該正交變傳動比面齒輪副的參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真系統(tǒng)的正確性.

圖8 實(shí)體加工

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

正交變傳動比面齒輪副的試驗(yàn)臺由變頻直流電動機(jī)、轉(zhuǎn)速扭矩測量儀、正交變傳動比面齒輪副傳動箱、試驗(yàn)臺架、變速箱綜合測試系統(tǒng)等儀器及設(shè)備組成.傳動試驗(yàn)臺如圖9所示.

圖9 試驗(yàn)臺布置

如圖10所示，實(shí)驗(yàn)測定的實(shí)際傳動比曲線和理論傳動比曲線在有些部位表現(xiàn)出差異，導(dǎo)致這種差異的原因是齒輪副加工過程存在加工誤差，齒輪的安裝過程存在安裝誤差，同時，傳感器采集數(shù)據(jù)本身及后期的數(shù)據(jù)處理過程也有一定的誤差.但是，其變化規(guī)律基本相同，變化趨勢基本一致，表明正交變傳動比面齒輪副的設(shè)計(jì)及三維造型方法是可行的.

4 結(jié) 論

1) 建立了正交變傳動比面齒輪嚙合坐標(biāo)系，由空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，得出了各坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出了正交變傳動比面齒輪的節(jié)曲線、齒頂曲線以及齒根曲線的參數(shù)方程.

2) 根據(jù)共軛齒廓理論，分析了加工過程中刀具的空間走刀軌跡，推導(dǎo)得到了正交變傳動比面齒輪的齒面參數(shù)方程.

3) 由空間齒輪嚙合原理，對正交變傳動比面齒輪的根切和變尖現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得出了正交變傳動比面齒輪無根切的最小內(nèi)徑及不產(chǎn)生變尖最大外徑計(jì)算方法.

4) 利用Solidworks三維造型功能以及應(yīng)用程序接口(API)，結(jié)合編程軟件VB，開發(fā)了正交變傳動比面齒輪的設(shè)計(jì)與仿真加工系統(tǒng)，得到了正交變傳動比面齒輪的三維實(shí)體及其裝配模型，實(shí)現(xiàn)了正交變傳動比面齒輪的可視化.

5) 完成了正交變傳動比面齒輪的加工，搭建了正交變傳動比面齒輪副的傳動實(shí)驗(yàn)臺，通過實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)分析方法及加工制造方法的正確性和可行性.

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