李雅靜, 劉旭華, 賈曉鵬, 焦崗

(1.中國飛行試驗研究院 飛機(jī)所, 陜西 西安 710089;2.西安飛豹科技發(fā)展有限公司 設(shè)計部, 陜西 西安 710089)

0 引言

等效系統(tǒng)在飛機(jī)動態(tài)特性評價中是很重要的方法,對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行時域、頻域轉(zhuǎn)換是進(jìn)行低階等效系統(tǒng)擬配的基礎(chǔ),試飛數(shù)據(jù)頻域響應(yīng)分析的質(zhì)量直接影響擬配效果。

使用快速傅里葉方法進(jìn)行頻域分析時存在兩方面問題:第一,需要人工選擇窗口寬度[1],且由于單一窗口尺寸不能在整個頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生滿意的相干性,因此單個窗口寬度存在局限性;第二,頻域辨識更適用于長時間數(shù)據(jù)[2],而試飛中使用脈沖、倍脈沖等短時輸入較多,包含的頻段較窄導(dǎo)致頻域辨識結(jié)果較差,降低了采集數(shù)據(jù)的可用性。

本文針對上述問題提出了頻域響應(yīng)辨識的優(yōu)化方法,即組合窗法和頻域辨識修正法。仿真和真實飛行數(shù)據(jù)的計算結(jié)果說明這兩種方法能較好地解決前述問題。

1 組合窗法

1.1 窗口選擇

首先給出兩個公式說明窗口寬度與辨識最小頻率和頻率響應(yīng)中的隨機(jī)誤差的關(guān)系。

(1)窗口寬度直接決定傅里葉變換中的最小頻率fmin:

fmin=1/Twin

(1)

式中,Twin為窗口寬度。

(2)頻率響應(yīng)估計中的隨機(jī)誤差計算公式:

(2)

式中,Cε為常數(shù),用于反應(yīng)窗口重疊效應(yīng),增加窗口重疊比能減小隨機(jī)誤差,代價是快速增加計算量;γxy為相干函數(shù),飛行試驗應(yīng)在風(fēng)和湍流擾動最小時進(jìn)行,以獲得數(shù)據(jù)最大信噪比,使相干函數(shù)最大化;nd=Trec/Twin為用于求平均的獨立時間歷程數(shù)據(jù)個數(shù)。較短的窗口Twin能增加nd,但會損害低頻范圍的辨識精度。式(1)和式(2)表明,大窗口可以增加低頻的數(shù)據(jù)信息、加寬動態(tài)范圍,而小窗口有助于抑制高頻部分的隨機(jī)誤差,所以在不同的頻率點應(yīng)該選擇不同的窗口。

1.2 組合窗法

選擇單一窗口寬度需要進(jìn)行折中處理,即為了提高部分頻率點的頻率響應(yīng)精度,必須在其他頻率點做出犧牲。即使人工找到一個窗口寬度,也僅對所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)有限頻段具有最優(yōu)性。因此需要一種方法能夠去除重復(fù)的、人工的窗口尺寸優(yōu)化工作,在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)生成一個單一的、較準(zhǔn)確的頻率響應(yīng)。為此,本文提出了組合窗法。

根據(jù)不同窗口寬度在不同頻段作用,對動作段采用4個常用窗口寬度32 s,16 s,8 s和4 s進(jìn)行頻域辨識,給出窗口權(quán)值曲線如圖1所示。32 s窗口有效頻段為0.1～5.0 rad/s,16 s窗口有效頻段為1～8 rad/s,8 s窗口有效頻段為3～10 rad/s,4 s窗口有效頻段為5～50 rad/s。

圖1 窗口寬度權(quán)重Fig.1 Window size weighting coefficient

本文以幅值為例對每個頻率點進(jìn)行加權(quán),相位、相干函數(shù)類似,不再陳述。

(3)

式中,GDBC為綜合后的幅值;GDBi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的幅值;γi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的相干系數(shù);Wi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的權(quán)重值。根據(jù)上述加權(quán)方法可得到最終的估計幅值、相位和相關(guān)函數(shù)。以波音747模型為例進(jìn)行仿真,圖2和圖3為模型的輸入、輸出時間歷程;根據(jù)數(shù)據(jù)估計得到不同窗口寬度的頻域響應(yīng)如圖4所示。

圖2 仿真輸入時間歷程Fig.2 Simulation input time history

圖3 仿真輸出時間歷程Fig.3 Simulation output time history

圖4 頻域響應(yīng)Fig.4 Frequency response

圖4中r2為相干系數(shù)。由仿真結(jié)果可以看出,使用小窗口計算得到的頻率響應(yīng)在低頻段相干性較差,使用大窗口計算得到的結(jié)果在高頻段隨機(jī)誤差較大,而使用組合窗法計算得到的結(jié)果在整個頻段都有較好的相干性且較為平滑。辨識結(jié)果與建模傳遞函數(shù)頻響比較如圖5所示?？梢钥闯龆呤纸咏?表明使用組合窗法不需人工選擇窗口寬度,并能得到一個單一的、在整個頻率范圍內(nèi)較精確的頻域響應(yīng)。

圖5 真實頻響與辨識結(jié)果比較Fig.5 Comparison between true frequency response and identification result

2 頻域辨識修正法

頻域辨識方法適合長時間數(shù)據(jù),時域辨識方法適用于短時間數(shù)據(jù)。試飛中脈沖、倍脈沖等短時間動作較多、數(shù)據(jù)較短,對時域辨識結(jié)果進(jìn)行頻域分析,既可用于修正頻域辨識結(jié)果,也可用于驗證頻域辨識結(jié)果,最終能得到較好的辨識結(jié)果。

2.1 時域辨識方法

設(shè)飛機(jī)的高階增穩(wěn)系統(tǒng)及其等效系統(tǒng)在相同的輸入u(t)作用下的輸出響應(yīng)分別為yH(t)和yL(t),則兩個系統(tǒng)近似為輸入、輸出等效的條件。這里yL(t)并不是一般意義上的低階等效系統(tǒng),而是一個若干階的系統(tǒng)。

代價函數(shù)[3]為:

(4)

yH(t)可以通過直接測量得到;yL(t)在第k個采樣時刻的數(shù)值應(yīng)滿足如下差分方程:

A(q-1)yL(k)=B(q-1)u(k)+e(k)

(5)

其中:

A(q-1)=1+a1q-1+…+anq-n

(6)

B(q-1)=b1q-1+…+bnq-n+1

(7)

式中,e(k)為方程殘差,由剩余高階特性、隨機(jī)風(fēng)干擾及測量噪聲等引起。

MATLAB自帶的系統(tǒng)辨識工具箱[4]使得辨識方法十分簡便,上述時域辨識方法只是其中的一種ARX,還包括PEM,BJ,OE,ARMAX等。時域法辨識采用多個模型結(jié)構(gòu)和不同的辨識算法。使用不同辨識函數(shù)進(jìn)行辨識后,比較辨識系統(tǒng)輸出與真實系統(tǒng)輸出的相似度并選出最優(yōu)辨識結(jié)果,即選擇相似度最大的一組進(jìn)行頻域響應(yīng)計算,得到時域辨識系統(tǒng)的頻響。

2.2 時域辨識對頻域辨識修正法

使用時域方法得到的頻響修正直接頻域辨識結(jié)果。修正方法為:分別對數(shù)據(jù)進(jìn)行時域辨識和頻域辨識,時域辨識得到狀態(tài)空間方程或傳遞函數(shù),再對該傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域分析,得到系統(tǒng)頻域響應(yīng);頻域辨識直接使用快速傅里葉變換進(jìn)行頻域分析;將兩個結(jié)果進(jìn)行比較并加權(quán)得到最終的頻響。

首先使用桿輸入激勵由系統(tǒng)辨識工具箱得到的時域模型,若輸出與飛機(jī)真實輸出相似度大于85%,則說明該模型可以代替飛機(jī)真實模型;若相似度小于85%則不修正。修正量計算式為:

(8)

(9)

Wf(i)=1-Wt(i)

(10)

修正公式為:

G(i)=Wt(i)Gt(i)+Wf(i)Gf(i)

(11)

P(i)=Wt(i)Pt(i)+Wf(i)Pf(i)

(12)

式中,r2(i)為頻域辨識的相干系數(shù);fitmax為時域辨識的相似度;Wt(i),Wf(i)分別為時域辨識頻響與頻域辨識頻響所占比例;Gt(i),Gf(i)分別為各頻率點時域辨識與頻域辨識幅值響應(yīng);Pt(i),Pf(i)分別為各頻率點時域辨識與頻域辨識相位響應(yīng)。由式(9)可見，加權(quán)系數(shù)由頻域辨識的相干系數(shù)和時域辨識的相似度組成,哪個大,則響應(yīng)辨識方法的結(jié)果所占權(quán)重大。

一般情況下,使用相干函數(shù)的大小評價頻域計算結(jié)果,圖6為某機(jī)俯仰角速度頻域辨識結(jié)果。直接辨識結(jié)果的低頻段相干函數(shù)小,擬配時一般適當(dāng)縮小擬配頻率范圍,縮小到0.7～10.0 rad/s[5]。圖7所示的擬配結(jié)果并不好,因為該機(jī)的頻率范圍較低,從0.7 rad/s開始擬配頻率范圍較窄,導(dǎo)致擬配結(jié)果差。

圖6 俯仰角速度頻域辨識結(jié)果Fig.6 Frequency domain identification results of rate of pitch

圖7 時域修正前俯仰角速度擬配結(jié)果Fig.7 Matching results of rate of pitch before time domain

在低頻段辨識結(jié)果差、縮小擬配范圍也無效的情況下,使用時域結(jié)果或綜合結(jié)果可以得到較好的擬配結(jié)果,如圖8所示。大量試飛數(shù)據(jù)計算結(jié)果表明,時域辨識對頻域辨識的修正方法大大提高了試飛數(shù)據(jù)的利用率。此外時域結(jié)果可以對頻域結(jié)果進(jìn)行驗證,如圖9所示。在計算過程中,如果時域估計模型的頻響與直接計算得到的頻響較接近,一般情況下可以得到很好的擬配結(jié)果。

圖8 時域修正后俯仰角速度擬配結(jié)果Fig.8 Matching results of rate of pitch after time domain

圖9 俯仰角速度頻響Fig.9 Frequency response identification result of rate of pitch

3 結(jié)束語

本文從實際出發(fā),提出了組合窗法、時域辨識對頻域辨識修正的方法,很好地解決了頻域響應(yīng)辨識過程中存在的問題,通過實例驗證了方法的有效性。將本文方法應(yīng)用于實際飛機(jī)動態(tài)特性指標(biāo)計算,得到了很好的效果,使辨識結(jié)果更準(zhǔn)確、擬配結(jié)果更合理,而且大大提高了試飛數(shù)據(jù)的利用率。

參考文獻(xiàn)：

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