王洋, 劉瑩瑩, 黃河, 周軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安 710072)

0 引言

完全自主軌道保持可以有效降低衛(wèi)星的運(yùn)行成本,提高衛(wèi)星應(yīng)對(duì)突發(fā)事件的能力[1]。我國(guó)研發(fā)的二代北斗導(dǎo)航星座由MEO,GEO,IGSO三種衛(wèi)星組成,其中MEO衛(wèi)星多達(dá)24顆,如果能夠?qū)崿F(xiàn)MEO衛(wèi)星的自主軌道保持,則可以極大地提高星座的工作能力,同時(shí)降低維護(hù)成本。具有完全自主軌道保持能力的衛(wèi)星必須具有完全自主的導(dǎo)航與軌道控制。

天文導(dǎo)航是真正意義上的完全自主導(dǎo)航,軌道外推導(dǎo)航或者GPS導(dǎo)航都不是完全的自主導(dǎo)航。軌道外推導(dǎo)航需要定期注入軌道初值,所以不是完全的自主導(dǎo)航,GPS衛(wèi)星BLOCKⅡR利用軌道外推的方式進(jìn)行自主導(dǎo)航,可以實(shí)現(xiàn)180天用戶測(cè)距誤差優(yōu)于6 m,缺點(diǎn)是在無(wú)地面站導(dǎo)航數(shù)據(jù)的情況下,缺乏時(shí)間基準(zhǔn),誤差不斷累積,難以實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間自主運(yùn)行[2]。GPS導(dǎo)航受制于GPS系統(tǒng),也不是完全的自主導(dǎo)航方式,且主要適用于LEO軌道[3]。天文導(dǎo)航雖然是完全自主導(dǎo)航,但是精度低,位置誤差接近1 km(1σ)[4],PRISMA項(xiàng)目中利用高精度GPS導(dǎo)航實(shí)現(xiàn)自主軌道保持,導(dǎo)航的位置與速度誤差分別優(yōu)于10 cm(1σ)與1 mm/s(1σ)[5]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于自主軌道控制也進(jìn)行了許多的研究,Mclnnes提出了一種基于位函數(shù)的環(huán)狀星座自主軌道控制方法[6],這種方法的缺點(diǎn)是推力器需要產(chǎn)生連續(xù)的推力。Junhua Xiang等提出了一種利用軌道要素之間的線性關(guān)系,間接補(bǔ)償相位以及升交點(diǎn)赤經(jīng)的漂移[7],但是并未討論導(dǎo)航誤差以及初始入軌偏差的影響。

本文對(duì)二代北斗導(dǎo)航星座中MEO衛(wèi)星相對(duì)相位的自主軌道保持問題進(jìn)行了研究。在分析攝動(dòng)影響的基礎(chǔ)上,通過(guò)相位的變化量間接求取軌道長(zhǎng)半軸偏差,克服低精度的天文導(dǎo)航對(duì)軌道控制的影響,采用間接求取的長(zhǎng)半軸偏差進(jìn)行軌控,可以有效消除相對(duì)相位的漂移。

1 相對(duì)相位演化

a,e,i,Ω,ω,M為開普勒軌道六要素,下面軌道根數(shù)如無(wú)特殊說(shuō)明,皆指平軌道根數(shù)。設(shè)tk時(shí)刻,衛(wèi)星i的軌道相位角為λik,平近點(diǎn)角為Mik,近地點(diǎn)角距ωik,則對(duì)于衛(wèi)星1和2,設(shè)t2>t1,分別有:

(1)

對(duì)于MEO衛(wèi)星攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)而言,只有長(zhǎng)期變化才會(huì)引起衛(wèi)星軌道構(gòu)型的根本變化,太陽(yáng)光壓主要引起周期變化,下面研究地球非球形與第三引力體引起的長(zhǎng)期攝動(dòng)變化,設(shè)Mec與Mtc分別為地球非球形攝動(dòng)與第三引力體引起的平近點(diǎn)角長(zhǎng)期變化率,ωec與ωtc分別為地球非球形攝動(dòng)與第三引力體引起的近地點(diǎn)角距的長(zhǎng)期變化率,由文獻(xiàn)[8]可知,對(duì)于小偏心率軌道有:

(2)

不考慮入軌偏差時(shí),相對(duì)相位變化量Δλ為:

Δλ=(λ21-λ11)-(λ20-λ10)

=(λ2c-λ1c)(t1-t0)

(3)

式中,λ2c和λ1c為相位角長(zhǎng)期變化率。

由文獻(xiàn)[8]可知,對(duì)于MEO衛(wèi)星,長(zhǎng)半軸a以及軌道傾角i無(wú)長(zhǎng)期變化,則由式(2)可知,同一MEO軌道面的衛(wèi)星,Mtc,ωtc,Mec以及ωec是相同的,即λ2c與λ1c相同。長(zhǎng)期來(lái)看,空間攝動(dòng)不會(huì)引起相對(duì)相位的長(zhǎng)期變化?？紤]衛(wèi)星存在入軌長(zhǎng)半軸偏差Δa,相應(yīng)的軌道角速度偏差為Δn。

Δλ=Δn(t1-t0)

(4)

因此,相對(duì)相位控制的目標(biāo)就是消除初始入軌長(zhǎng)半軸偏差。

2 相對(duì)相位自主控制

2.1 自主軌道控制面臨的問題

衛(wèi)星的初始瞬時(shí)軌道根數(shù)為:i=55°,Ω=30°,a=27 732.14 km,ω=30°,e=0.004 8,u=0°。

天文導(dǎo)航只能測(cè)量出位置與速度信息,需要研究軌道根數(shù)的誤差分布,假設(shè)位置與速度的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為1 km與0.1 m/s[4],經(jīng)過(guò)l=20 000次蒙特卡洛法實(shí)驗(yàn),可得長(zhǎng)半軸a的誤差分布δa0如圖1所示。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代統(tǒng)計(jì)[9],得到各個(gè)瞬時(shí)軌道根數(shù)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差與誤差均值如表1所示。

圖1 軌道根數(shù)誤差Fig.1 Orbit element error

軌道根數(shù)誤差標(biāo)準(zhǔn)差誤差均值 a/m241066.43ω/(°)1.103.46×10-2e5.52×10-53.22×10-6u/(°)6.89×10-52.43×10-3λ/(°)1.807.32×10-2

對(duì)于衛(wèi)星i與衛(wèi)星j,其長(zhǎng)半軸分別為ai和aj,軌道角速度分別為ni和nj,長(zhǎng)半軸偏差Δaij=aj-ai,軌道角速度偏差Δnij=nj-ni。衛(wèi)星i為標(biāo)稱軌道,則有如下關(guān)系存在[10]:

(5)

由表1可知,在天文導(dǎo)航情況下,長(zhǎng)半軸a的誤差標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到2 km以上,而當(dāng)ai=27 730.14 km,Δaij=1 km時(shí),相對(duì)相位漂移高達(dá)每年13°。如果直接采用天文導(dǎo)航所得到的長(zhǎng)半軸偏差進(jìn)行控制,則相對(duì)相位會(huì)在短時(shí)間內(nèi)迅速漂移,這樣將會(huì)加大控制燃料的消耗與控制的頻率,無(wú)法保證衛(wèi)星的長(zhǎng)期軌道保持的要求。

2.2 相對(duì)相位自主保持方案

設(shè)tk時(shí)刻,衛(wèi)星i的偏近點(diǎn)角為Eik,緯度俯角為uik,真近點(diǎn)角為fik,軌道周期為Ti,不失一般性,取衛(wèi)星1和2,通過(guò)控制衛(wèi)星2來(lái)控制相對(duì)相位,Δλ為相對(duì)相位角差,ΔE為相對(duì)偏近點(diǎn)角差,Δu為相對(duì)緯度幅角差。定義如下:

(6)

由式(5)可得:

(7)

下面證明當(dāng)t1-t0=NT1(N=1,2,…)時(shí),有Δu≈ΔE成立,由軌道力學(xué)有:

ΔE-f(e,E)=Δn12NT1

(8)

其中:

ΔE=(E21-E11)-(E20-E10)

f(e,E)=e[(sinE22-sinE21)-

(sinE12-sinE11)]

由于t1-t0=NT1,則E21≈E20,且E11=E10,則f(e,E)≈0,所以有:

ΔE≈Δn12NT1

(9)

同時(shí),考慮t0到t1時(shí)間較短,假設(shè)近地點(diǎn)角距ω未發(fā)生變化。

Δu-ΔE= (f22-E22)-(f21-E21)+

(f11-E11)-(f12-E12)

≈0

(10)

則可知Δu≈ΔE。

(11)

圖2 估計(jì)誤差Fig.2 Estimation error

GPS衛(wèi)星也是MEO衛(wèi)星,其地理經(jīng)度的控制采取了極限環(huán)的控制策略,通過(guò)極限環(huán)實(shí)現(xiàn)地理經(jīng)度的穩(wěn)定[11-12],考慮設(shè)計(jì)合適的極限環(huán)實(shí)現(xiàn)相對(duì)相位的穩(wěn)定。

長(zhǎng)半軸的控制量為f,控制之前的長(zhǎng)半軸為a0,則控制之后的長(zhǎng)半軸a1=a0+f。其中f由下式給出:

(12)

圖3 控制相位圖Fig.3 Diagram of phase control

3 仿真算例

長(zhǎng)半軸的控制量由式(12)給出,Ft如圖4所示,其中第1次推力器噴氣時(shí)間為21.26 s,第2次為15.19 s。由圖5給出真實(shí)的長(zhǎng)半軸偏差Δa12。設(shè)tk時(shí)刻,衛(wèi)星1與衛(wèi)星2的相位角差δλ=λ2k-λ1k。由圖6給出δλ。

圖4 切向控制力Fig.4 Tangential force

圖5 長(zhǎng)半軸偏差Fig.5 Semimajor axis deviation

圖6 相位角差Fig.6 Phase angle difference

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了北斗導(dǎo)航星座的MEO衛(wèi)星相對(duì)相位的完全自主保持問題,在分析相對(duì)相位漂移的基礎(chǔ)上,考慮到天文導(dǎo)航低精度的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了一種間接求取長(zhǎng)半軸補(bǔ)償量從而實(shí)現(xiàn)相對(duì)相位穩(wěn)定的軌道控制策略。仿真驗(yàn)算證明,在長(zhǎng)半軸導(dǎo)航誤差標(biāo)準(zhǔn)差高達(dá)2 410 m的情況下,采用所設(shè)計(jì)的控制策略仍然能夠有效地實(shí)現(xiàn)相對(duì)相位的長(zhǎng)期穩(wěn)定控制,說(shuō)明該策略完全能夠滿足MEO衛(wèi)星相對(duì)相位自主保持的要求。

文中采用估計(jì)精度較高的緯度幅角u代替相位角λ設(shè)計(jì)控制律,在小偏心率的MEO軌道中效果良好,以后研究的重點(diǎn)是如何解決大偏心率下的相對(duì)相位自主保持問題。

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