陽 丹，王湘江

(南華大學機械工程學院，湖南衡陽421001)

0 引 言

磁致伸縮材料、壓電陶瓷等智能材料均存在遲滯非線性現(xiàn)象。非線性特性的存在使智能材料重復(fù)性降低，瞬態(tài)位置響應(yīng)速度變慢，可控性變差。為減小這種非線性特性所造成的不良影響，更好地發(fā)揮智能材料的性能，很多科研機構(gòu)和研究人員正在從事遲滯非線性系統(tǒng)建模及控制方法等方面的相關(guān)研究，因此，許多遲滯建模方法和控制技術(shù)應(yīng)運而生，并日趨成熟、完善［1］。在遲滯建模方面，Preisach模型是應(yīng)用最廣的一類遲滯模型［2-4］，1935年 Preisach等人建立了比較完善的遲滯模型—Preisach模型。1997年P(guān)ingGe為了適應(yīng)遲滯補償?shù)男枰?，建立了改進的Preisach模型。并用該模型大幅提高了遲滯系統(tǒng)的跟蹤精度。壓電陶瓷等智能材料的遲滯系統(tǒng)可以通過串聯(lián)Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)準確反映其遲滯特性。在非線性遲滯模型辨識方面［5］，可以通過最小二乘法進行離線辨識，最小二乘思想最早于1975年由高斯(K.F.Gauss)提出來，被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計，甚至在許多辨識方法失效的情況下，最小二乘法卻可以提供對問題的有效解決辦法［6］。也可以依據(jù)對象的輸入/輸出數(shù)據(jù)，不斷地辨識模型參數(shù)以進行在線辨識，隨著科學研究的不斷進行，通過在線辯識，模型會變得越來越準確，越來越接近于實際，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7-8］是20世紀末迅速發(fā)展起來的一門高等技術(shù)。已經(jīng)在各個領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識為解決未知不確定非線性系統(tǒng)的辨識問題提供了一條新的思路。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識方法可以精確地模擬出遲滯系統(tǒng)。在辨識模型不斷的改進下，基于辨識模型綜合出來的控制方法也將隨之不斷的改進。

本研究通過辨識的傳遞函數(shù)建立其逆模型控制系統(tǒng)，根據(jù)對遲滯逆模型是否進行在線調(diào)整，可將控制方案分為動態(tài)控制和靜態(tài)控制方案。本研究屬于靜態(tài)控制。靜態(tài)補償方案以 Ping Ge，Samir Mittal，Sumiko Majima等為代表［9］。筆者在逆模型控制過程中加入PID控制器［10］，通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)，使控制系統(tǒng)逐漸適應(yīng)誤差變化，最終將遲滯系統(tǒng)調(diào)整到一個滿意的工作狀態(tài)。本研究針對智能材料遲滯非線性現(xiàn)象，進行遲滯系統(tǒng)建模;然后，對遲滯系統(tǒng)進行系統(tǒng)辨識;最后，對辨識系統(tǒng)進行控制研究。

1 遲滯系統(tǒng)的建立

通過研究得出將Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)得到的遲滯系統(tǒng)能夠達到比較理想的遲滯效果，遲滯系統(tǒng)能夠準確地反應(yīng)壓電陶瓷等智能材料的遲滯特性。在相關(guān)的研究中已經(jīng)得到論證［11］。遲滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 遲滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本研究采用Preisach模型做為純遲滯模型，具有普遍意義。Preisach模型由最簡單的滯回發(fā)生器γαβ疊加構(gòu)造而成。盡管每個發(fā)生器僅能表現(xiàn)出一個局部記憶滯回，但疊加在一起就表現(xiàn)為全局記憶性。給定這一族發(fā)生器任意的權(quán)重函數(shù)μ(α，β)(該函數(shù)具體數(shù)值的選用取決于Preisach函數(shù)的構(gòu)造)。其函數(shù)式為:

式中:x(t)—驅(qū)動器的輸出，u(t)—輸入。

由式(1)可知，Preisach模型函數(shù)為連續(xù)的雙重積分函數(shù)，所以不便于模擬仿真，于是把積分模型離散處理，將Preisach模型采用 Matlab/Simulink中的43個backlash算子疊加形成。通過設(shè)置backlash中deadband width參數(shù)達到疊加效果。每個算子的deadband width為1/7，這樣得到的Preisach模型遲滯特性能夠滿足研究需求。輸入信號通過多個遲滯算子疊加在一起得到遲滯輸出信號。本研究采用u(t)=sin(πt)作為輸入信號，得到的遲滯模型如圖2所示。

圖2 控制信號的遲滯模型

然后本研究將得到的Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)起來，二階傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)在壓電陶瓷等智能材料具有一般代表性，如超磁致伸縮微位移驅(qū)動器(GMA)中，根據(jù)GMA機電系統(tǒng)動力學模型和牛頓第二定律可知GMA系統(tǒng)傳遞函數(shù)為二階傳遞函數(shù)［12］，在Matlab中通過模型轉(zhuǎn)化命令可以實現(xiàn)離散傳遞函數(shù)和連續(xù)傳遞函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換［13］。所以本研究采用離散二階傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有一般代表性，選用傳遞函數(shù)為G(z)=(-0.2z+0.2)/(z2-1.1z+0.1)，輸入信號通過遲滯系統(tǒng)得到輸出y(t)如圖3所示。

2 遲滯模型的系統(tǒng)辨識

圖3 通過遲滯模型的輸出信號

通過輸入信號u(t)和遲滯系統(tǒng)得到輸出數(shù)據(jù)y(t)進行模型的參數(shù)辨識。根據(jù)辨識方法和精度不一樣，系統(tǒng)參數(shù)辨識可以分為離線辨識和在線辨識。離線辨識常用的辨識方法為最小二乘法。在線辨識方法比較廣泛，本研究主要采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識方法。

本研究通過分析最小二乘法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識原理，然后對遲滯系統(tǒng)進行辨識，再比較離線辨識和在線辨識的辨識結(jié)果。

2.1 最小二乘法辨識

離散系統(tǒng)函數(shù)表達式為:

本研究采用最小二乘法來確定模型參數(shù)，待估參數(shù)向量θ為:

式中:φ—數(shù)據(jù)向量。

對象式(2)可以寫成如下最小二乘形式:

利用最小二乘法得到系統(tǒng)辨識參數(shù)θ為:

通過遲滯系統(tǒng)輸入信號u(t)和輸出數(shù)據(jù)y(t)得到最小二乘法辨識參數(shù)為:

式(2)在零初始條件下，取Z變換:

得到的辨識傳遞函數(shù)為:

辨識原理圖如圖4所示。實際輸出和最小二乘法辨識輸出以及比較誤差如圖5所示，輸入信號y(t)和辨識系統(tǒng)輸出信號yG(t)之間誤差e(t)是比較小的，從而確認式(7)二階模型的有效性。

圖4 辨識原理示意圖

圖5 實際輸出和最小二乘法辨識輸出以及比較誤差

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)越的自調(diào)整和自適應(yīng)性，本研究采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識方法進行遲滯模型參數(shù)辨識，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的辨識方法如圖6所示。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識方法示意圖

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識原理為:

令θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值w:

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練規(guī)則為:

其中:

式中:ci—加權(quán)因子，0 ＜ci＜1，ci=μi，0 ＜ μ ＜1。

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型參數(shù)

本研究使用離線辨識二階模型估計參數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識加權(quán)系數(shù)的初始值。這將減少在線辨識的計算時間。根據(jù)式(11)和式(12)，得到遲滯系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型。二階模型辨識參數(shù)結(jié)果如圖7所示。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型輸出和遲滯模型實際輸出以及相關(guān)的誤差如圖8所示。因為誤差很小，辨識輸出和實際輸出幾乎重疊。

圖8 實際輸出和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出以及比較誤差

根據(jù)圖8得到遲滯系統(tǒng)輸出和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識輸出誤差已經(jīng)非常小，可以得出Matlab/Simulink搭建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型能夠準確地辨識出遲滯系統(tǒng)的模型參數(shù)，從而說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識方法的有效性。

通過觀察比較離線和在線辨識，離線最小二乘法每次的辨識結(jié)果只能得到一組參數(shù)，這樣的辨識程序運行速度快，但是得到的參數(shù)誤差相對比較大。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識采用在線辨識，對參數(shù)進行實時調(diào)整，程序運行速度比離散有所減慢，但使得辨識參數(shù)和傳遞函數(shù)系數(shù)之間誤差最小化，能找到最優(yōu)辨識參數(shù)。

3 控制系統(tǒng)的設(shè)計和執(zhí)行

通過系統(tǒng)辨識得到辨識傳遞函數(shù)模型，本研究針對辨識傳遞函數(shù)模型提供了兩種控制方法:一種是逆模型控制系統(tǒng)，這是一種完全的開環(huán)控制系統(tǒng)，不需要任何反饋數(shù)據(jù)的控制器;另一種是前饋逆模型PID控制系統(tǒng)，這是一種閉環(huán)反饋系統(tǒng)，能夠?qū)崟r調(diào)整參數(shù)達到最佳控制效果。

3.1 建立逆模型控制系統(tǒng)

逆模型控制系統(tǒng)原理如圖9所示。

圖9 逆模型控制器示意圖

如果傳遞函數(shù)不穩(wěn)定，那么式(7)不能直接用作建立逆模型控制系統(tǒng)，需要構(gòu)建逆模型G-1(z)，逆模型有點滯后于遲滯系統(tǒng)，通過之前設(shè)計好的函數(shù)模型G1(z)和最優(yōu)函數(shù)模型G2(z)來設(shè)計逆模型。即:

其中，之前設(shè)計好的函數(shù)模型為:

最后，得到輸出y(k)為:

逆模型穩(wěn)定的前提是辨識得到傳遞函數(shù)必須穩(wěn)定，根據(jù)離散傳遞函數(shù)穩(wěn)定條件，傳遞函數(shù)必須是最小相位系統(tǒng)，其零點必須在z平面的單位圓里。如果傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，那么直接用傳遞函數(shù)倒數(shù)可以得到系統(tǒng)的逆模型。即:

最優(yōu)函數(shù)模型為:

其中:Δ≥1。

最優(yōu)函數(shù)模型是不穩(wěn)定的，因為它的極點不在z平面單位圓里面，所以G2(z)可以擴展為:

由于辨識傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，直接通過式(17)可以得到逆模型。通過逆模型控制得到補償效果如圖10所示。

圖10 輸入信號和逆模型控制輸出以及比較誤差

3.2 建立前饋逆模型PID控制

為了提高系統(tǒng)的魯棒性，更好操作參數(shù)變化。本研究設(shè)計一種前饋逆模型PID控制方法。其原理如圖11所示。

圖11 前饋逆模型PID控制器示意圖

前饋逆模型PID控制數(shù)學模型為:

其中:

前饋逆模型PID控制器的控制結(jié)果如圖12所示，通過圖12得出:輸入信號與前饋逆模型PID控制的輸出信號已經(jīng)很接近，兩者之間誤差已經(jīng)很小。為了更好說明前饋逆模型PID控制器的有效性，測試前饋PID控制器的控制能力，可以在不同頻率下進行控制。本研究還采用u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)作為輸入信號，得到控制結(jié)果如圖13所示。圖12、圖13結(jié)果說明控制器可以有效跟蹤動態(tài)輸入信號，實現(xiàn)對遲滯系統(tǒng)有效補償控制。

圖12 輸入信號為u(t)=sin(πt)控制結(jié)果

圖13 輸入信號為u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)控制結(jié)果

通過相同輸入信號u(t)=sin(πt)作用，逆模型控制方法和前饋逆模型PID控制方法的補償結(jié)果如圖10、圖12所示。為了更直觀地比較兩種控制方法的控制效果，本研究采用均方根誤差來比較。其計算公式為:

得到的比較結(jié)果如表1所示。最后可以得到前饋逆模型PID控制方法能更有效進行遲滯補償。

表1 兩種控制方法的RMS誤差

4 結(jié)束語

本研究運用Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立了遲滯系統(tǒng)，通過辨識結(jié)果說明離線和在線辨識方法都能有效辨識遲滯系統(tǒng)，從辨識誤差分析結(jié)果可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識方法能非常精確地辨識遲滯系統(tǒng)。由遲滯系統(tǒng)補償結(jié)果來看，遲滯非線性已基本得到消除。該結(jié)果說明所提出的前饋逆模型PID控制是可行的，但此時要注意PID參數(shù)的選取，避免出現(xiàn)飽和、振蕩等情況的發(fā)生。

本研究采用的辨識方法和控制技術(shù)能夠有效地降低智能材料中遲滯現(xiàn)象的影響。其辨識和控制方法具有普遍意義，可以推廣到其他系統(tǒng)中的遲滯非線性補償控制中。

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