劉 紅，張 宇

(1. 哈爾濱金融學(xué)院 基礎(chǔ)部，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150001)

近年來，混沌控制及其理論在國內(nèi)外得到了迅速的發(fā)展，它在物理、醫(yī)學(xué)、工程等方向上的應(yīng)用已經(jīng)成為一個熱點話題.自從Ott, Grebogi和Yorke提出混沌控制的方法以來[1-3]，混沌控制方法就不斷地被提出和改進，而這些混沌控制方法一般分為反饋控制和非反饋控制這兩種類型，其中反饋控制是指將不穩(wěn)定的周期軌道最終穩(wěn)定到某個具體穩(wěn)定的周期軌道上，非反饋控制是指利用所給的參數(shù)激勵或外部激勵來實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制[4].之后，隨著研究的不斷深入，Ramesh和Narayanan實現(xiàn)了在服從均勻分布噪聲背景下對混沌系統(tǒng)的控制[5]，Wei和Leng討論了在白噪聲背景下Duffing振子的混沌運動[6]，Liu等人研究了有界噪聲對Duffing系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響[7]，Qu和Hu等人利用弱諧和激勵來研究非自治系統(tǒng)的混沌控制，尤其是在弱諧和激勵下實現(xiàn)了隨機相位對非自治系統(tǒng)的混沌控制[8]，Lei和Xu等人將隨機相位應(yīng)用到一類復(fù)Duffing系統(tǒng)中，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的混沌控制[9-10].

混沌控制作為混沌研究的一個新階段，已經(jīng)呈現(xiàn)了廣闊的發(fā)展前景.然而在一些實際的問題中，人們發(fā)現(xiàn)確定性的動力系統(tǒng)常常受到隨機激勵的影響，也就是小噪聲的擾動，隨著隨機混沌控制這一方法的提出，利用隨機激勵對系統(tǒng)進行混沌控制已經(jīng)受到各界的廣泛關(guān)注.噪聲在實際工程中廣泛存在，因此研究噪聲對系統(tǒng)的擾動產(chǎn)生的影響，不論在理論上還是在實際的應(yīng)用中都具有普遍的意義.隨機控制主要包括隨機參數(shù)控制，隨機力控制和隨機相位控制這三種控制方法，本文主要研究噪聲作為隨機相位對系統(tǒng)進行混沌控制.

1 Bon hoeffer-Van der pol系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為

Bonhoeffer-Van der Pol振子是生物學(xué)、物理學(xué)、機械工程學(xué)中的一個重要系統(tǒng)，它是用來描述電刺激在神經(jīng)細胞膜上傳播的一個二維模型，簡稱為BVP系統(tǒng)[11].它是生物學(xué)中著名Hodgkin-Huxley模型的一種簡單形式，和Van der Pol振子相比較，BVP振子有特殊的分叉結(jié)構(gòu)，帶有感應(yīng)器的電阻是BVP振子的一個組成部分.Rabinovitch證實了在控制動力學(xué)行為方面，BVP振子比Van der Pol振子更有優(yōu)勢，這是因為在BVP振子中由于電阻的存在，可以誘導(dǎo)次臨界的Andronov-Hopf分叉發(fā)生[12].它的應(yīng)用滲透到各個領(lǐng)域，不論是在機械工程領(lǐng)域里，還是在通信工程領(lǐng)域中，Bonhoeffer-Van der Pol系統(tǒng)的特性都得到很好的發(fā)展.

Bonhoeffer-Van der pol模型的動力學(xué)方程為：

(1)

其中

I(t)=A0+A2cos(ωt)

在神經(jīng)細胞學(xué)的應(yīng)用中，x1表示神經(jīng)細胞膜上的電勢，x2表示折射率，I(t)是輸入電流，a，b，c是常數(shù)，分別代表細胞膜的半徑，不固定的電阻率和溫度因數(shù).

方程(1)可以寫成：

(2)

系統(tǒng)方程(2)的線性化方程為：

(3)

計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為：

(4)

其中

(5)

圖1 最大Lyapunov指數(shù)隨時間變化圖

從圖1中可以看出，最大Lyapunov指數(shù)λ值在開始的一段時間里在零點處上下波動，隨著時間的變化，最大Lyapunov指數(shù)值始終大于0,系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.

為了進一步證實上述結(jié)論，做出Poincaré 截面

令

θ∶R1→S1

t→θ(t)=wt,mod 2π

(6)

方程(2)可以寫成

(7)

定義截面為：

∑θ0={(x,θ)∈Rn×S1|θ=θ0∈(0,2π]}

(8)

做出系統(tǒng)的Poincaré 截面，如圖2所示.

從圖2中可以看到，Poincaré 截面上有成片的密集點，說明存在混沌吸引子，可知系統(tǒng)是混沌的.

我們隨后做出系統(tǒng)的相圖和時間歷程圖來證實結(jié)論的正確性，分別如圖3、4所示.

從相圖中可以看出，系統(tǒng)的相軌跡很混亂，沒有一定的規(guī)律；從時間歷程圖中同樣可以看出，時間歷程不規(guī)則.通過對圖像的分析，可知BVP系統(tǒng)在一定的參數(shù)范圍內(nèi)和初始條件下是混沌的.

圖2 Poincaré截面

圖3 相圖

圖4 時間歷程圖

2 Bonhoeffer-Van der pol系統(tǒng)的混沌控制

方程(2)加入隨機相位后變成：

(9)

這里ζ(t)為標(biāo)準(zhǔn)的Gauss白噪聲，σ表示噪聲強度，其中ζ(t)滿足：Eζ(t)=0，Eζ(t)ζ(t+τ)=δ(τ)，其中δ(τ)為Dirac-Delta函數(shù).

相應(yīng)的線性化方程為

(10)

令

則有

(11)

假設(shè)F(t)是遍歷的，且有E[‖A+F(t)‖]<∞，由Oseledec多遍歷性定理[13], ?λ1,λ2和兩個隨機子空間E1,E2，其中，E1,E2滿足：E1?E2=Uδ(0)?R2，其中Uδ(0)代表0點的鄰域，則有

Y0∈Ei{0},i=1,2

這里

(12)

則λi(i=1,2)定義為Lyapunov指數(shù).如果有

(13)

則λ被定義為系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù).

運用Wedig[14]引入的Khasminskii球面坐標(biāo)變換[15]可得到最大Lyapunov指數(shù)的計算方法如下：

(14)

則有

(15)

其中

且有

a′=[m(t)+n(t)]a

(16)

系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為

(17)

在實際的計算過程中，設(shè)步長為Δt，則式(17)右端可化為

(18)

結(jié)合式(14)～(18)，對方程(9)和(10)求解，可以得到系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù).取上一節(jié)中相同的參數(shù)值和初始條件，經(jīng)過多次數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)平均最大Lyapunov指數(shù)隨噪聲強度σ的變化圖1～5.

從圖5可知，系統(tǒng)在σ=0時是混沌的，隨著噪聲強度σ的不斷增加，當(dāng)增加到一個臨界值σc=0.05時，這時平均最大Lyapunov指數(shù)值λ由正變?yōu)樨?，表示系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象變?yōu)榱朔€(wěn)定的周期現(xiàn)象，之后σ的變化對平均最大Lyapunov指數(shù)的符號影響不大，這表明，在σ>σc=0.05這個范圍內(nèi)，成功地抑制了系統(tǒng)的混沌行為.接下來，我們做出系統(tǒng)的Poincaré 截面來證實上述的結(jié)論.

圖5 平均最大Lyapunov指數(shù)隨噪聲強度變化的曲線圖

令Poincaré 截面為

∑→∑,∑{(x(t),x(t))|t=0,2π/Ω,4π/Ω,…}?R2,

利用四階Runge-Kutta法對微分方程(9)進行求解，在迭代一個周期T=2π/ω的時間內(nèi)繪制一個點，刪除最初200個點后，用剩下的200個迭代點來繪制系統(tǒng)的Poincaré 截面，當(dāng)噪聲強度σ=0.3時如圖6所示.

從圖6中可以看出，系統(tǒng)有穩(wěn)定的吸引子，說明系統(tǒng)的混沌行為受到了控制.在相同的噪聲強度下，做出系統(tǒng)的相圖和時間歷程圖，分別如圖7、8所示.

分析可知，系統(tǒng)的相軌跡從原來雜亂無章的曲線變成一個規(guī)則的圓點，時間歷程圖也呈規(guī)則狀態(tài).總之，通過這些圖形的比對和分析，說明了利用Guass白噪聲作為隨機相位實現(xiàn)了BVP系統(tǒng)的混沌控制，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài).

圖6 σ=0.3時Poincaré 截面

圖7 σ=0.3時相圖

圖8 σ=0.1時時間遍歷圖

3 結(jié) 語

本文研究了Bonhoeffer-Van der pol系統(tǒng)的隨機混沌控制，在給定的參數(shù)范圍內(nèi)，通過對系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)圖的分析，基本可以判斷系統(tǒng)是混沌的.為了能抑制混沌的產(chǎn)生，介紹了利用Guass白噪聲作為隨機相位對系統(tǒng)進行干擾，利用Matlab程序做出干擾后的最大Lyapunov指數(shù)圖，通過對比分析，可知在一定的噪聲強度下，系統(tǒng)的混沌行為得到了抑制.

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