譚韶毅，薛 璞，陳歡歡，謝慈航

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

飛機(jī)在使用中會受到由于滑跑、突風(fēng)、機(jī)動、著陸撞擊以及坐艙增壓等所造成的重復(fù)載荷的作用，飛機(jī)結(jié)構(gòu)的一些部位特別是局部高應(yīng)力區(qū)，如局部應(yīng)力集中區(qū)，有缺陷區(qū)等部位就會產(chǎn)生由于交變應(yīng)力引起的疲勞裂紋，交變應(yīng)力的繼續(xù)作用，使疲勞裂紋不斷擴(kuò)展而導(dǎo)致疲勞破壞.當(dāng)交變載荷的頻率與結(jié)構(gòu)的某一階(甚至某幾階)固有頻率一致或比較接近時，結(jié)構(gòu)將會發(fā)生共振，這時一定的激勵將會產(chǎn)生更大的響應(yīng)，使結(jié)構(gòu)更加易于產(chǎn)生破壞，而且結(jié)構(gòu)內(nèi)部動態(tài)應(yīng)力變化劇烈，常規(guī)有限元很難得到準(zhǔn)確的動應(yīng)力分布.目前對于動應(yīng)力的計算思路大體基于系統(tǒng)運動方程對位移的求解，然后通過位移求解動應(yīng)力，例如基于位移模態(tài)疊加法、直接積分法的常規(guī)有限元方法[1-5]、模態(tài)加速度方法[6]等.常規(guī)有限元法中，動應(yīng)力的計算是通過單元形函數(shù)求導(dǎo)得到的.模態(tài)加速度方法中提出動態(tài)修正項的概念，將動態(tài)修正項應(yīng)用于應(yīng)力的模態(tài)疊加法中，考慮了高階模態(tài)對動應(yīng)力的影響.這幾種方法對于普通動態(tài)問題，其計算精度已經(jīng)可以滿足正常動應(yīng)力分析的需求.但是對于振動疲勞問題，由于振動應(yīng)力水平是決定振動疲勞壽命的主要因素之一，微小的應(yīng)力誤差會導(dǎo)致較大的壽命預(yù)估誤差[7].因此，常規(guī)的動應(yīng)力計算理論無法滿足我們對動態(tài)應(yīng)力精度的要求，并且國內(nèi)外對于提高動應(yīng)力精度的研究也十分缺乏.近幾年，基于模態(tài)疊加理論的虛擬激勵法被越來越多的應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)分析中，該方法考慮了不同模態(tài)之間的耦合效應(yīng)[8].本文基于虛擬激勵法以及應(yīng)力的模態(tài)疊加理論，提出求解動態(tài)應(yīng)力的虛擬激勵法，避免了由位移求解動應(yīng)力的二次誤差，以及考慮了模態(tài)之間的耦合效應(yīng)，從而達(dá)到提高動應(yīng)力精度的要求.

1 模態(tài)疊加理論

1.1 模態(tài)疊加法

在結(jié)構(gòu)動響應(yīng)分析中，通常是把結(jié)構(gòu)離散為線性或非線性多自由度系統(tǒng)，然后通過求解多自由度系統(tǒng)得到結(jié)構(gòu)在任意激勵下的動態(tài)響應(yīng).

多自由度系統(tǒng)的運動方程如下：

(1)

模態(tài)疊加法是基于系統(tǒng)運動方程，利用固有頻率和振型來計算結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的方法.其基本原理是：對結(jié)構(gòu)自由振動進(jìn)行模態(tài)分析，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型φi，利用固有振型φi組成的模態(tài)矩陣[φ]對式(1)進(jìn)行解耦，將結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為各主坐標(biāo)的非耦合方程.

通過坐標(biāo)變換

(2)

代入運動方程(1)得到：

(3)

上式兩邊前乘[φ]T得

(4)

對式(4)進(jìn)行求解，求出各主坐標(biāo)的響應(yīng)uj，最后利用物理坐標(biāo)和主坐標(biāo)的關(guān)系，得到物理坐標(biāo)下的響應(yīng)

(5)

其中：uj為j第模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)；{φ}j為第j模態(tài)的模態(tài)位移向量；

在模態(tài)變換中，式(5)包含了全部的N階模態(tài)，事實上并不需要知道所有的模態(tài)，一方面工程實際證明并不是所有的模態(tài)都能被激起；另一方面，模態(tài)位移法中，當(dāng)系統(tǒng)中僅包含少數(shù)的一些模態(tài)時，此法將更加有效的顯示出優(yōu)越性.至于取幾階模態(tài)為好，一般根據(jù)精度要求或工程中的經(jīng)驗來定.

1.2 由模態(tài)疊加法確定動應(yīng)力

根據(jù)模態(tài)疊加理論，對于線性系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)都可以表示成為模態(tài)坐標(biāo)的疊加形式，所以通過模態(tài)位移法以及下面的公式，便可以確定結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力

(6)

其中：uj為第模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)，σj為第j模態(tài)的模態(tài)應(yīng)力向量.

2 改進(jìn)的虛擬激勵法

對于平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，離散結(jié)構(gòu)受加速度激勵的運動方程為：

(7)

(8)

令

(9)

把上式代入運動方程(7)得到：

(10)

將[φ]T左乘以式(10)得到：

(11)

則上式可分解為個互相獨立的單自由度方程

(12)

這是單自由度簡諧振動方程，易得其穩(wěn)態(tài)解為

(13)

其中

(14)

ωj為模態(tài)的固有頻率，ω為簡諧激勵的頻率.

因此

(15)

根據(jù)式(6)動應(yīng)力可以表示為：

(16)

因此應(yīng)力的響應(yīng)功率譜可以表示為：

[Sσσ]={σ}**{σ}T=

(17)

Sσσ為應(yīng)力響應(yīng)功率譜，γj為第j階模態(tài)的模態(tài)參與系數(shù)，σj為第j階模態(tài)的模態(tài)應(yīng)力向量，Hj(ω)為第階模態(tài)的頻響函數(shù).

上式即為基于應(yīng)力模態(tài)疊加法的虛擬激勵法，公式中計入了所有的參振振型耦合項，充分反映了模態(tài)之間的耦合效應(yīng).

3 數(shù)值計算

本文采用改進(jìn)的虛擬激勵法計算薄板有限元模型的動態(tài)應(yīng)力，并與ABAQUS隨機(jī)響應(yīng)分析結(jié)果進(jìn)行比較，最后通過實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證.薄板模型尺寸為300×200 mm，厚度為1.8 mm，邊界條件為四邊固支，如圖1所示.材料選取LY12CZ鋁合金，彈性模量為E=70 GPa，密度為ρ=2 780 kg/m3,泊松比υ=0.33，直接模態(tài)阻尼比ξ=0.015.

圖1 薄板模型

3.1 模態(tài)分析

通過模態(tài)分析，可以為改進(jìn)的虛擬激勵法提供一些所需的參量，如固有頻率、模態(tài)參與系數(shù)等.采用Abaqus模態(tài)分析模塊提取前10階模態(tài)信息，如表1，2所示.

表1 固有頻率

表2 模態(tài)參與系數(shù)

3.2 頻率響應(yīng)分析

通過Abaqus穩(wěn)態(tài)瞬時模態(tài)分析，繪制危險位置處的頻率響應(yīng)曲線如圖2所示.

圖2 危險位置處的頻率響應(yīng)曲線

由頻率響應(yīng)曲線可以看出，結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)在第一階、第四階、第八階固有頻率附近各有一個峰值，第一階固有頻率附近的應(yīng)力響應(yīng)遠(yuǎn)比第四階以及第八階的大，通常情況下，本文只考慮第一階模態(tài)的應(yīng)力響應(yīng).但是當(dāng)結(jié)構(gòu)處于共振狀態(tài)下，尤其是當(dāng)多階模態(tài)被同時激起時，模態(tài)之間存在耦合效應(yīng)，第四階以及第八階模態(tài)的影響也不可忽略.

3.3 應(yīng)力結(jié)果分析

本文對薄板結(jié)構(gòu)施加一個頻帶范圍為0～1 500 Hz，大小為0.2 g的高斯白噪聲，使結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)都能夠達(dá)到共振狀態(tài)，采用ABAQUS隨機(jī)響應(yīng)分析、Matlab編制改進(jìn)的虛擬激勵法程序?qū)D1中1、2兩節(jié)點(1、2兩節(jié)點為薄板結(jié)構(gòu)距離左邊與頂邊20mm的中心位置)的動態(tài)應(yīng)力進(jìn)行計算并進(jìn)行比較分析，最后通過實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，結(jié)果如表3所示.

表3 三種方法得到的RMS應(yīng)力值對比

從表3可以看出，試驗得到節(jié)點1的RMS應(yīng)力值為11.5 369 MPa，有限元方法得到的值為9.7 422 MPa，兩者的誤差為15.56%，而采用本文方法計算得到的RMS應(yīng)力值為10.136 MPa，與試驗結(jié)果相比，誤差為12.14%，相較于有限元方法計算精度提高了21.98%左右.用同樣方法所得到的節(jié)點2的計算精度提高了24.96%左右.因此可以看出，對于動態(tài)應(yīng)力的計算，本文方法相較于有限元方法精度有了明顯的提升，更接近試驗結(jié)果.這是因為該方法避免了有限元方法中通過位移求解動應(yīng)力所造成的二次誤差，并且考慮了模態(tài)間的耦合效應(yīng)以及高階模態(tài)對動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn).因此，該方法相較現(xiàn)有的有限元方法，更適用于求解結(jié)構(gòu)在共振狀態(tài)下的動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)問題.

4 結(jié) 論

1)本文采用模態(tài)疊加法的思想，將應(yīng)力表示成模態(tài)疊加的形式，以虛擬激勵法為基礎(chǔ)，提出了直接求解結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動環(huán)境下應(yīng)力響應(yīng)的新方法，該方法考慮了模態(tài)間的耦合效應(yīng)以及高階模態(tài)的影響，并且避免了有限元方法中通過位移求解動應(yīng)力所造成的二次誤差.

2)運用有限元方法與Matlab編制的改進(jìn)虛擬激勵法程序計算相同結(jié)構(gòu)同一位置的動態(tài)應(yīng)力，并與試驗結(jié)果相比較.結(jié)果表明，改進(jìn)的虛擬激勵法較常規(guī)的有限元方法可以得到更好的動應(yīng)力計算結(jié)果，計算精度更高，更適用于求解結(jié)構(gòu)在共振狀態(tài)下的動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)問題.

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭興旺, 鄒家祥. 對機(jī)械振動系統(tǒng)的六種動態(tài)響應(yīng)分析方法的評述[J].振動與沖擊，1996, 15(2): 44-46.

[2] 徐醫(yī)培, 李素有, 吳立言. 結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的求解方法分析[J]. 機(jī)械設(shè)計與制造, 2009(6): 13-14.

[3] 王 博, 陳 淮, 徐建國. 結(jié)構(gòu)動態(tài)應(yīng)力計算方法研究[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報, 2002, 19(2): 129-132.

[4] 王富強(qiáng), 彭新民. 反分析理論在測試結(jié)構(gòu)動應(yīng)力中的應(yīng)用[J]. 中國農(nóng)村水利水電, 2008(8): 98-103.

[5] 劉晶波, 杜修力. 結(jié)構(gòu)動力學(xué)[M]. 北京: 機(jī)械工程出版社, 2005.

[6] RYU J, KIM H S, WANG S. A method for improving dynamic solutions in flexible multibody dynamics [J].Computers & Structures, 1998, 66(6): 765-769.

[7] 林家浩, 張亞輝. 隨機(jī)振動的虛擬激勵法[M].北京: 科學(xué)出版社, 2004.

[8] 陳歡歡，薛 璞，譚韶毅，等.鋁合金薄板結(jié)構(gòu)多模態(tài)隨機(jī)振動疲勞分析[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，30(5)：593-598，603