孟成芳， 李 倩， 謝世偉

（1.河北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，河北 石家莊 050024；2.張家口市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)組，河北 張家口 075000；3.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理系，河北 石家莊 050081）

設(shè)Mn是一個(gè)未定向的光滑閉流形，T∶M→M是微分同胚，且T2∶M→M是恒同映射，稱(chēng)T為M的光滑對(duì)合，記作（Mn，T）.F ＝ ｛x∈ M｜T（x）＝x｝稱(chēng)為（Mn，T）的不動(dòng)點(diǎn)集.

如果存在光滑閉流形（Bn＋1，T），使得（Mn，T）與（Bn＋1，T）等變微分同胚，則稱(chēng)對(duì)合（Mn，T）協(xié)邊.如果 （Mn1∪ Mn2，T）協(xié) 邊，稱(chēng) （Mn1，T）協(xié) 邊 于（Mn2，T）.所有的帶對(duì)合的光滑閉流形可以按照協(xié)邊分成不同的等價(jià)類(lèi).

問(wèn)題：給定一個(gè)光滑閉流形F，是否存在光滑閉流形M及其非平凡的對(duì)合T，使T的不動(dòng)點(diǎn)集為F，進(jìn)而能否決定以F為不動(dòng)點(diǎn)集的所有對(duì)合流形（M，T）的等變協(xié)邊類(lèi)？

上述問(wèn)題是協(xié)邊理論中的一個(gè)重要問(wèn)題，在20世紀(jì)60年代由Steenrod提出.近年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)其做了深入的研究，得到了很好的結(jié)果［1－4］.

本文研究不動(dòng)點(diǎn)集F為Dold流形P（2，3）的情況.在這一情況下，不動(dòng)點(diǎn)集的法叢更加復(fù)雜，計(jì)算量更大.

定理1 設(shè)（M8＋k，T）是一個(gè)8＋k維光滑閉流形，T是光滑非平凡對(duì)合，T在M 上的不動(dòng)點(diǎn)集為F ＝P（2，3），k＞0，則對(duì)合（M，T）協(xié)邊于零.

本文綜合利用微分周期映射、示性類(lèi)理論的證明方法，通過(guò)構(gòu)造合適的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，借助文獻(xiàn)［5］的Kosniowski－Stong公式，否定對(duì)合流形的存在，或者通過(guò)計(jì)算示性數(shù)得到對(duì)合協(xié)邊.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)（Mn，T）是一個(gè)帶有光滑對(duì)合T的光滑閉流形，T 在M 上的不動(dòng)點(diǎn)集F ＝∪Fn－k，其中，F(xiàn)n－k是不動(dòng)點(diǎn)集F的n－k維分支的并.λk為Fn－k在Mn中的法叢.由文獻(xiàn)［6］知，帶有對(duì)合的流形（Mn，T）的協(xié)邊類(lèi)由它的不動(dòng)點(diǎn)集（Fn－k，λk）的法叢的協(xié)邊類(lèi)決定.

引理1［5］設(shè)f（x1，…，xn）是Z2上的任意對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，它的次數(shù)deg（f（x））≤n，則有示性數(shù)公式：f（x1，…，xn）［Mn］＝其 表達(dá)式中的多項(xiàng)式可用基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式σi（x），σi（y），σi（z）表 示.分 別 用 Mn，λk，F(xiàn)n－k的 第i 個(gè)Stiefel－Whitney 類(lèi) ωi（Mn），ωi（λk），ωi（Fn－k）代 替σi（x），σi（y），σi（z）后，等式兩邊得到上同調(diào)類(lèi)分別在基本同調(diào)類(lèi)上作用的值.

引理2［5］設(shè)σi（x1，…，xk，xk＋1，…，xk＋n）是k＋n個(gè)變?cè)牡趇個(gè)基本多項(xiàng)式∑xj1xj2…xji，則

令P（m，n）表示Dold流形，它是通過(guò)把Sm×CP（n）的元素（x，z）與（－x，ˉz）粘合而得到的m＋2n維流形，其中Sm表示m維球面，CP（n）表示n維復(fù)射影空間，表示z的共軛元，則它的模2上同調(diào)環(huán)［7］H＊（P（m，n）；Z2）＝Z2［a，b］／（am＋1＝bn＋1＝0）.其中，a∈ H1（P（m，n）；Z2），b∈ H2（P（m，n）；Z2）是生成元.它的全Stiefel－Whitney類(lèi)ω（P（m，n））＝（1＋a）m（1＋a＋b）n＋1.設(shè)λ→P（m，n）是P（m，n）上的任意向量叢，文獻(xiàn)［8］給出了它的全Stiefel－Whitney類(lèi).

引理3［8］設(shè)P（m，n）是一個(gè)m＋2n維Dold流形，則在P（m，n）上存在向量叢，其Stiefel－Whitney示性類(lèi)為：（1）1＋a＋b＋a2，m＝2，n≥1；（2）（1＋a＋b＋a2）2，m＝4，5，n≥2；（3）（1＋a＋b＋a2）2（1＋a＋b）＋a6，m＝6，n≥1；（4）1＋a2b3，m＝2，n＝3.于是，P（m，n）上的任意向量叢的全Stiefel－Whitney示性類(lèi)都可表示為這些類(lèi)與類(lèi)1＋a和1＋a＋b的積，其中，a∈H1（P（m，n）；Z2）和b∈H2（P（m，n）；Z2）是生成元.

2 F＝P（2，3）的情形

若（M8＋k，T）是一個(gè)光滑閉流形，T是M 上的光滑對(duì)合，對(duì)合的不動(dòng)點(diǎn)集為F＝P（2，3），k＞0.令λ→F是F 在M 中的法叢.設(shè)a∈H1（P（2，3）；Z2）和b∈ H2（P（2，3）；Z2）是生成元，則P（2，3）的全Stiefel－Whitney類(lèi)ω（P（2，3））＝ （1＋a）2（1＋a＋b）4＝ （1＋a）2，由引理3知，λ的全Stiefel－Whitney示性類(lèi)的形式為：ω（λ）＝ （1＋a）g（1＋a＋b）h，g，h為非負(fù)整數(shù)；或者ω（λ）＝ （1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v，u，v為非負(fù)整數(shù)；或者ω（λ）＝ （1＋a2b3）（1＋a）s（1＋a＋b）t，s，t為非負(fù)整數(shù).示性數(shù)a2b3［P（2，3）］＝1.

2.1 ω（λ）＝ （1＋a）g（1＋a＋b）h 的情形

引理4 若h為偶數(shù)，則對(duì)合（M，T）存在，且協(xié)邊于零.

證明因?yàn)閔是偶數(shù)，ω（P（2，3））＝ （1＋a）2，ω（λ）＝（1＋a）g（1＋a＋b）h，所以在計(jì)算示性類(lèi)時(shí)，所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b3，于是對(duì)任何次數(shù)小于8＋k的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式f（x），都有0，所有對(duì)合（M，T）存在.又由于對(duì)合（M，T）的法叢的所有Stiefel－Whitney示性數(shù)全為零，因此，對(duì)合（M，T）協(xié)邊于零，故引理獲證.

引理5 若h為偶數(shù)，g為奇數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明利用反證法.假設(shè)h與g均是奇數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在.此時(shí)因?yàn)間＋2h≥3，所以k≥3.

情況1 當(dāng)時(shí)，由引理2知取因 為 deg（f（x））＝ 8 ＜8＋k，故f（x）［M］＝0.根據(jù)引理1，

從而推出矛盾.

情況2 當(dāng)時(shí)，由引理2知取因?yàn)閐eg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但依據(jù)引理1，

從而推出矛盾，綜合情況1與情況2，引理5獲證.

引理6 若h為奇數(shù)，g為偶數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明用反證法.假設(shè)h為奇數(shù)，g為偶數(shù)，對(duì)合（M，T）存在，此時(shí)，因?yàn)間＋2h≥2，所以k≥2.由引理2知因?yàn)閐eg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但依據(jù)引理1，f（x）［M］＝

從而推出矛盾，引理6獲證.

2.2 ω（λ）＝ （1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v的情形

引理7 若v為偶數(shù)，u為偶數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明用反證法.假設(shè)v為偶數(shù)，u為偶數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在，由引理2知，

從而推出矛盾.引理7獲證.

引理8 若v為偶數(shù)，u為奇數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明用反證法.假設(shè)v為偶數(shù)，u為奇數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在，由引理2知取因?yàn)閐eg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根據(jù)引理1，

從而推出矛盾.引理8獲證.

為了便于分類(lèi).以下計(jì)算按

ω（λ）＝（1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v＝（1＋a2b＋b2）（1＋a）u（1＋a＋b）v－1來(lái)進(jìn)行.

引理9 當(dāng)v是奇數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）不存在.

證明

情況1 當(dāng)u為奇數(shù)時(shí)，由引理2知，

σ1取.因?yàn)閐eg（f（x））＝6＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根據(jù)引理1，

從而推出矛盾.

情況2 當(dāng)u為偶數(shù)時(shí)，由引理2知.

σ2（1＋y，z）＝取f（x）＝1＋因?yàn)閐eg（f（x））＝4＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根據(jù)引理1，

即可推出矛盾.綜合情況1與情況2，引理9獲證.

引理10 當(dāng)u為奇數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在且協(xié)邊于零.

證明由于ω（P（2，3））＝1＋a2，ω（λ）＝（1＋a2b＋b2）（1＋a）u（1＋a＋b）v－1，因?yàn)関－1是偶數(shù)因此，此時(shí)有ω（λ）＝ （1＋a2b＋b2）（1＋a）u.這種情況下，在示性類(lèi)中不會(huì)出現(xiàn)a2b3項(xiàng)，則對(duì)合存在且協(xié)邊于零.

2.3 ω（λ）＝ （1＋a2 b3）（1＋a）s（1＋a＋b）t 的情形

引理11 若t為偶數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，假設(shè)對(duì)合存在，取f（x）＝1，因?yàn)?deg（f（x））＝ 0 ＜ 8＋k，故f（x）［M］＝0.但根據(jù)引理1，有f（x）［M］＝

即可推出矛盾，引理11獲證.

引理12 若t為奇數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明利用反證法.假設(shè)s，t都為奇數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在.

情況1 當(dāng)時(shí)，由引理2知，

情況2 當(dāng)時(shí)，由引理2知，取即可推出矛盾.

綜上，引理12獲證.

引理13 若t為奇數(shù)，s為偶數(shù)，則對(duì)合（M，T）不存在.

證明利用反證法.假設(shè)t為奇數(shù)，s為偶數(shù)時(shí)，對(duì)合（M，T）存在.由引理2知，

綜合以上引理，得到定理2.

3 結(jié)論

定理2 設(shè)（M8＋k，T）是一個(gè)8＋k維光滑閉流形，T是M 上的光滑對(duì)合，對(duì)合作用的不動(dòng)點(diǎn)集為F＝P（2，3），則對(duì)合（M，T）協(xié)邊于零.

［1］吳振德.不動(dòng)點(diǎn)集為Dold流形P（2 m，2n）的帶有對(duì)合的流形［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998（1）：72－82.

［2］劉秀貴.不動(dòng)點(diǎn)集為Dold流形P（2 m＋1，2n＋1）的對(duì)合 ［J］.數(shù)學(xué)年刊，2002（6）：779－788.

［3］劉秀貴.不動(dòng)點(diǎn)集為Dold流形P（2 m，2n＋1）的對(duì)合 ［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（5）：795－797.

［4］丁雁鴻，趙彥，李珊珊.不動(dòng)點(diǎn)集為P（2m，2l＋1）∪P（2m，2n＋1）的對(duì)合 ［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，51（5）：971－978.

［5］KOSNIOWSKI C，STONG R E.Involutions and Characteristic Numbers［J］.Topology，1978（17）：309－330.

［6］CONNER P E.Differentiable Periodic Maps（2nd ed）［M］.Berlin and New York：Lecture Notes in Math，1979：738.

［7］FUJII M，YASUI T.Ko－cohomologies of Dold Manifold［J］.Math J，1973（16）：55－84.

［8］STONG R E.Vector Bundles over Dold Manifolds［J］.Fundamenta Mathematicae，2001（169）：85－95.