中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院 ■ 馮娟

北京昆蘭新能源技術(shù)有限公司 ■ 李繼超

0 引言

在太陽(yáng)能有關(guān)的應(yīng)用中，一般采取傾斜放置的方式來(lái)盡可能多的接收太陽(yáng)輻照。對(duì)于一個(gè)特定的地區(qū)，太陽(yáng)輻照量包括直射、散射、反射3部分，在水平面上的3個(gè)分量是根據(jù)多年觀察得到的經(jīng)驗(yàn)值，如何根據(jù)水平面上的值來(lái)計(jì)算斜面上的輻照量往往是太陽(yáng)能利用中首先要考慮的問(wèn)題。一般氣象臺(tái)站提供的只是水平面上太陽(yáng)輻照量的數(shù)據(jù)，通常采用Klein S A[1]總結(jié)的計(jì)算方法，來(lái)確定朝向赤道傾斜面上的太陽(yáng)輻照量。認(rèn)為傾斜面上的太陽(yáng)輻照總量Ht由直接輻照量Hbt、天空散射輻照量Hdt和地面反射輻照量Hrt3部分組成，并認(rèn)為天空散射輻射是均勻分布的，顯然這是不嚴(yán)格的。后來(lái)Hay J E[2]提出了天空散射輻射各向異性的模型，其表達(dá)式為：

其中：H、Hb和Hd分別為水平面上的太陽(yáng)輻照總量、直接輻照量和散射輻照量；Rb為傾斜面和水平面上直接輻照量的比值；H0為大氣層外水平輻照量；β為傾角；ρ為地物表面反射率。

以上計(jì)算關(guān)鍵之一就是Rb的計(jì)算，特別是在方位角不為零時(shí)計(jì)算比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[3-4]具體給出了方位角為零時(shí)的直射量比值的計(jì)算公式及推導(dǎo)過(guò)程，未給出方位角不為零時(shí)的推導(dǎo)。通過(guò)分析太陽(yáng)輻照模型具體推導(dǎo)方位角不為零時(shí)的直射計(jì)算，給出比值的計(jì)算公式。

1 問(wèn)題的分析

計(jì)算直射量的比值，需分析水平面上輻照與傾斜面輻照的不同，找到各自的計(jì)算公式，特別是通過(guò)水平面上現(xiàn)有公式的分析來(lái)得到傾斜面上的計(jì)算公式。在水平面上，一天的太陽(yáng)輻照量是水平面上太陽(yáng)輻照強(qiáng)度的積分，積分上下限是水平面上的日落時(shí)角與日出時(shí)角，太陽(yáng)輻照強(qiáng)度是太陽(yáng)時(shí)角的函數(shù)乘以一個(gè)系數(shù)，這個(gè)系數(shù)對(duì)于某一天可看成是常數(shù)；傾斜面上輻照量的計(jì)算[4]也類似，只是太陽(yáng)高度角不同，日落時(shí)角與日出時(shí)角也不同。

太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光線與平面的夾角，高度角越大單位面積的輻照量越大，當(dāng)?shù)厍蛟谧赞D(zhuǎn)時(shí)，隨著太陽(yáng)時(shí)角的變化，高度角也在變化。因此根據(jù)當(dāng)?shù)氐木暥?、傾角、赤緯角、方位角以及太陽(yáng)時(shí)角來(lái)計(jì)算太陽(yáng)高度角是關(guān)鍵。日落時(shí)角與日出時(shí)角是太陽(yáng)的高度角為零時(shí)的太陽(yáng)時(shí)角，文獻(xiàn)[5]給出其計(jì)算公式。以北半球?yàn)槔齺?lái)推導(dǎo)直射量比值的計(jì)算公式，南半球的推導(dǎo)與此類似，只是與數(shù)值的正負(fù)規(guī)定有關(guān)。

2 方位角為零時(shí)的太陽(yáng)輻照計(jì)算

2.1 水平面上太陽(yáng)參數(shù)的計(jì)算

日出時(shí)角與日落時(shí)角是太陽(yáng)高度角為零時(shí)對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)時(shí)角，水平面上的日出時(shí)角與日落時(shí)角計(jì)算式為：

其中：δ表示太陽(yáng)赤緯角，對(duì)于每一天有計(jì)算公式，對(duì)于固定的一天可認(rèn)為是常數(shù)；φ表示當(dāng)?shù)氐木暥取?/p>

太陽(yáng)高度角的正弦表達(dá)式為：

其中：τ為太陽(yáng)時(shí)角，上午為負(fù)，下午為正。

水平面上一天中太陽(yáng)的累計(jì)直射量表達(dá)式為：

其中：K為與太陽(yáng)輻照強(qiáng)度有關(guān)的一個(gè)常數(shù)。

2.2 傾斜面上太陽(yáng)參數(shù)的計(jì)算

太陽(yáng)高度角的正弦表達(dá)式為：

其中：β為傾角。

日出時(shí)角與日落時(shí)角表達(dá)式為：

3 方位角不為零時(shí)太陽(yáng)輻照的計(jì)算

方位角不為零或任意朝向時(shí)，如何計(jì)算傾斜面上的太陽(yáng)輻照，主要還是太陽(yáng)高度角及日出時(shí)角與日落時(shí)角的計(jì)算，計(jì)算太陽(yáng)高度角是關(guān)鍵。

3.1 太陽(yáng)光線輻照地球的模型

太陽(yáng)光線輻照地球的模型如圖1所示。圖1來(lái)自右側(cè)的太陽(yáng)光線是不動(dòng)的，左側(cè)地球在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，想像地球上一點(diǎn)Q有一塊板子受到太陽(yáng)光線的輻照，求這個(gè)板子受到的輻照強(qiáng)度的關(guān)鍵就是求太陽(yáng)光線垂直面與板子的夾角，夾角越小輻照強(qiáng)度越大。

圖1 太陽(yáng)光線輻照地球的模型

3.2 問(wèn)題及求解

問(wèn)題求解的關(guān)鍵是正確地表示出問(wèn)題，這里的關(guān)鍵是板子所處位置的參數(shù)的含義[6-7]，并由此計(jì)算板子與光線垂直面的夾角，用平面方程來(lái)處理它是合適的，同時(shí)也要運(yùn)用一些立體幾何的知識(shí)?？杉傧氚遄釉赒點(diǎn)隨著XYZ一起運(yùn)動(dòng)，光線垂直面不動(dòng)，這等價(jià)于光線垂直面在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，地球不動(dòng)。

已知赤道面與日地中心的連線的夾角(即赤緯角)，板子所在點(diǎn)Q所處的水平面與赤道面的夾角的余角(即緯度)，板子平面與水平面的夾角(即傾角)，板子在水平面上投影與水平面上正南方向的夾角(即方位角γ)，求地球在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中即時(shí)角變化時(shí)板子與太陽(yáng)光線垂直面之間的夾角公式。其立體幾何關(guān)系見圖2，過(guò)Q點(diǎn)做Z軸的垂線作X軸，然后做Y軸，得到空間坐標(biāo)系。

圖2 緯度、傾角、方位角、赤緯角的幾何關(guān)系

具體做圖方法為：1)建立XYZ坐標(biāo)系；2)放置一與Y軸平行的水平面，交Z軸于M點(diǎn)且交X軸于Q點(diǎn)，與ZY平面的交線是MT；3)通過(guò)Q點(diǎn)放置板子平面，它與水平面的交線是QT，與Z軸相交點(diǎn)P；4)從P點(diǎn)向水平面上做投影為V點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)做QT的平行線與過(guò)Q點(diǎn)做QT的垂直線的交點(diǎn)為N；其中：∠QMO=φ，∠NQS=β，∠SQV = γ，∠QSV = 90°(由 于∠NQS是二面角，當(dāng)NS垂直于SQ時(shí)，NS一定是水平面的垂線，又NP平行于水平面，故NPVS構(gòu)成矩形，SV//NP，PV = NS ，并且SV//QT，QT與SV都垂直于SQ)，∠MTQ=γ，令QM = 1，QMV在一條直線上(由于水平放置時(shí)規(guī)定保證了∠MQO為二面角，ZX平面垂直于水平面，P點(diǎn)在水平面上的投影一定在ZX平面上，V一定在兩平面的交線上，故QMV在一條直線上)。

則有如下計(jì)算：

求得：PM = cosγ/(ctanβsinφ- cosφcosγ)

進(jìn)而得到：

于是板子在XYZ坐標(biāo)系過(guò)P、Q、T3點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定，分別為：P[0,0, cosφ + cosγ /(ctanβsinφ-cosφcosγ)]，Q(sinφ,0,0)，T(0,1/tanγ,cosφ)，這樣可求出以下方程：

其中：a1=1/sinφ,

光線垂直面方程的求解相對(duì)簡(jiǎn)單，只與赤緯角和時(shí)角有關(guān)。正午即τ=0時(shí)，光線垂直面與YZ平面平行，考慮赤緯角為δ時(shí)，光線垂直面與X軸和Z軸的兩個(gè)交點(diǎn)為sinδ和cosδ，再結(jié)合太陽(yáng)時(shí)角為τ時(shí)光線垂直面與XYZ坐標(biāo)系的交點(diǎn)，可得到光線垂直面在XYZ坐標(biāo)系中的3個(gè)點(diǎn)是：(sinδ/cos(-τ),0,0)，(0,sinδ/sin(-τ),0)，(0,0,cosδ)。這樣就可直接確定方程：

其中：

求以上兩個(gè)平面的夾角可根據(jù)兩面間夾角的

余弦公式：

實(shí)際上就是板子的高度角的正弦值，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算可得：

以上分析是按向左偏的情況來(lái)進(jìn)行的，當(dāng)方位角向右偏時(shí)平面與Y軸的交點(diǎn)改變變量的符號(hào)。

3.3 日出時(shí)角與日落時(shí)角公式

方位角不為零時(shí)的日出時(shí)角與日落時(shí)角為[5]：

其中：a=sinδ(sinφcosβ-cosφsinβcosγ)，b=cosδ(cosφcosβ+sinφsinβcosγ)，c=cosδsinφsinγ，D= (b2+c2)?

3.4 傾斜面上與水平面上太陽(yáng)直射量的比值的計(jì)算

傾斜面上一天中太陽(yáng)的累計(jì)直射量表達(dá)式為：

傾斜面上與水平面上的輻照量比值是Rb=K sinhdτ/K sinhdτ，因?yàn)樽兞渴?τ，而被

積函數(shù)是τ的簡(jiǎn)單三角函數(shù)，因此Rb可表示為簡(jiǎn)單的計(jì)算公式：

4 實(shí)例分析

以北京地區(qū)為例，傾角37°，使用以上推導(dǎo)的公式編制計(jì)算機(jī)程序來(lái)計(jì)算一定傾角時(shí)的太陽(yáng)輻照量，繪制出變化曲線。其中方位角從0～90°變化，得到的結(jié)果如圖3所示，它的變化趨勢(shì)與文獻(xiàn)[5]中的曲線數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)一致。

在方位角變化時(shí)，按相應(yīng)最佳傾角得到的年輻照量曲線如圖4所示。

圖3 傾角固定，不同方位角時(shí)的輻照量曲線

圖4 傾角最優(yōu)，不同方位角時(shí)的輻照量曲線

5 結(jié)論

根據(jù)太陽(yáng)參數(shù)的計(jì)算方法[8]，結(jié)合太陽(yáng)輻照地球模型，分析了水平面上與傾斜面上的計(jì)算方法，從而給出了傾斜面與水平面上的直射輻照量之比的計(jì)算公式。通過(guò)對(duì)北京、上海等地區(qū)在傾角變化、方位角變化時(shí)的全年輻照量的計(jì)算可知，傾斜面上的太陽(yáng)輻照量當(dāng)方位角為零時(shí)一般是最大；當(dāng)方位角不為零時(shí)，隨著方位角的增加輻照量會(huì)減少。因此對(duì)于一個(gè)地區(qū)，為了獲得最多的年輻照量，應(yīng)盡量將方位角設(shè)置為零，當(dāng)方位角不能設(shè)置為零時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)減少傾角而獲得最多的輻照量。

[1] Klein S A. Calculation of monthly average insolation on tilted surfaces[J]. Solar Energy, 1977, 19(4): 325-329.

[2] Hay J E. Calculation of monthly mean solar radiation for horizontal and inclined surface[J]. Solar Energy, 1979，23(4):301-307.

[3] 王炳忠. 太陽(yáng)輻照計(jì)算講座[J]. 太陽(yáng)能, 2000, (2): 16-17.

[4] 王炳忠. 太陽(yáng)輻照計(jì)算講座[J]. 太陽(yáng)能, 2000, (3): 20-21.

[5] 楊金煥, 毛家俊 陳中華. 不同方位傾斜面上太陽(yáng)輻照量及最佳傾角的計(jì)算[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 36(7): 129-133.

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