鄭莎莎，董品亮，王成，習曉環(huán)，呂毅斌

(1.昆明理工大學理學院,昆明 650500； 2.中國科學院遙感與數(shù)字地球研究所,北京 100094； 3.美國北德克薩斯大學地理系，丹頓 76203)

0 引言

樹冠結構包括分枝結構、冠型以及樹體的組成部分，能反映森林生態(tài)系統(tǒng)的生物物理過程，在林業(yè)方面有著重要意義[1]。國內外學者已對樹冠結構進行了大量研究,如樊魏等[2]從泡桐樹冠的生物量和葉面積等方面研究了其結構特征； 張海東等[3]通過對大青山油松人工林枝、葉分布和生長垂直變化的測定,研究了其樹冠垂直結構特征。從研究方法上看，分形維數(shù)被許多學者用于描述樹冠結構[4-7]； 但美國著名數(shù)學家Mandelbrot[8]指出分形維數(shù)存在一定局限性，分形維數(shù)相同的對象之間，空間結構表現(xiàn)形式會存在明顯差異，故僅用分形維數(shù)這一指標不足以描述空間分布差異性，因此需要其他指標來區(qū)分不同對象。

1983年Mandelbrot首次提出空隙度“Lacunarity”的概念[8]，并將其用于描述物體結構的間歇或分形結構。目前，作為對象幾何結構的間隙大小及其空間分布情況的技術指標被很多學者應用于衡量空間對象或空間形式描述大范圍時空現(xiàn)象，它能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的空間分布特性。Plotnick等[9]指出空隙度是描述空間分布形式的一種多尺度分析方法，可用于二進制數(shù)據(jù)和三維以下的定量數(shù)據(jù)。由于激光雷達(LiDAR)點云數(shù)據(jù)可以獲取地物高精度的垂直結構信息，能夠表達復雜樹冠的精細結構[10-16]，因此本文采用LiDAR點云數(shù)據(jù)來研究樹冠結構。當前空隙度指數(shù)在林業(yè)上的應用多數(shù)針對林分冠層結構[17-18]，而利用該指標描述單個樹冠的研究還很少，對于如何計算單個樹冠點云的三維空隙度還鮮有研究，利用該指標的優(yōu)勢，探索識別樹冠空間結構分布差異性的新方法是本文的目標，如何計算樹冠的空隙度是本文的基礎和關鍵。

空隙度的計算方法最早由Mandelbrot[8]提出，后來被Gefen等[19]做了改進； Allain等[20]提出估算確定分形對象和隨機分形對象的空隙度算法，由于該方法原理簡單、計算簡便，得到了廣泛應用。如Plotnick等[9]計算了5個平移不變性不同的一維點集空間分布形式的空隙度； Dong[21]提出了基于內像素值的空隙度估測方法； Myint等[17]計算了城市影像紋理的空隙度； Frazer等[22]對呈現(xiàn)隨機、聚集及均一3種形式的5個不同模擬冠層高度模型進行了空隙度統(tǒng)計分析； Malhi等[18]采用空隙度分析法分析了亞馬孫河熱帶森林冠IKONOS影像的紋理特征； Dong[23]用滑動盒方法計算了一維、二維和三維情況下點集空隙度。上述研究表明，空隙度指數(shù)不僅能應用于分形對象，還能應用于現(xiàn)實生活中的非分形對象，不局限于一維和二維數(shù)據(jù)集，對三維數(shù)據(jù)一樣有效。遙感影像數(shù)據(jù)具有三維結構信息(坐標值x，y和亮度值z),利用三維滑動盒算法計算其空隙度，因更能體現(xiàn)研究對象的空間格局特征而被普遍應用。激光點云也具有三維結構信息(坐標值x，y和高程值z)，為此本文利用點云數(shù)據(jù)的空間信息優(yōu)勢，結合改進的三維滑動盒算法，提出了基于體素(體積元素)和三維凸包的樹冠空隙度估算方法。實驗表明，該方法能有效地區(qū)分不同形狀的樹冠，進而為LiDAR數(shù)據(jù)應用于森林植被分類提供算法支持，深化森林生態(tài)變化過程探索中對樹冠結構三維空間異質性的研究。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)

初步利用模擬數(shù)據(jù)研究樹冠空隙度的估算方法。根據(jù)Dong[21，24]使用的3種簡單幾何模型(錐、半球和半橢球)和改進方法相關研究模擬所需的點云數(shù)據(jù)。模擬結果見圖1。

圖1 模擬的不同樹冠點云及三維凸包

進一步利用RIEGLVZ-400在野外采集幾棵不同樹冠的點云，并做相應的預處理。圖2中是4棵預處理后的實測樹冠點云。

圖2 4棵實測的樹冠點云

通過地面三維激光掃描儀獲取的點云密度很高，一棵樹可達上百萬個點，為方便后續(xù)計算，對點云數(shù)據(jù)進行簡化(濾波)。利用奧地利Riegl公司生產的Riegl VZ-400獲取點云數(shù)據(jù)，使用配套軟件Riscan Pro對采集的數(shù)據(jù)進行預處理，為后續(xù)研究做準備。

1.2 方法

滑動盒算法[20](gliding-box algorithm，GBA)是一種計算空隙度的典型算法。三維情況下，實施對象是一個立方體區(qū)域，現(xiàn)實中樹冠邊界組成的立方

體是非規(guī)則的，要對其采用滑動盒算法，需找出樹冠的邊界，再進行二值化處理。

1.2.1 三維數(shù)組

首先，構建點云數(shù)據(jù)的最小包圍盒，對包圍盒內點云數(shù)據(jù)進行體素化[25]。通過設定體素單元(簡稱體元)的長L、寬W、高H,包圍盒劃分為行數(shù)r×列數(shù)c×層數(shù)l個體元，r，c，l分別指沿X,Y,Z軸方向劃分的體素個數(shù)。體元所在的空間稱為體素空間，包圍盒內的體素空間用數(shù)組A表示。點云(xi,yi,zi)與體元(Ii,Ji,Ki)關系[26]為

,

(1)

(2)

式中：x0，y0，z0分別表示點云在X，Y，Z軸上的最小值；Lx/n1，Ly/n2，Lz/n3分別指體元的長、寬和高； ‘?」’表示向下取整；I，J，K的取值范圍分別為I∈[1，r]，J∈[1,c]，K∈[1，l]，體素集合記為V； 取A的行數(shù)、列數(shù)、層數(shù)分別為r，c，l，首先生成一個全0數(shù)組A。

其次，找出各點云轉化到體素空間中的位置，并將其在A上的值設為1。樹冠各點與相應體素呈一一對應關系，A(Ii，Ji，Ki)=1,i∈[1，Min],Min是V的點數(shù)。

最后，三維滑動盒算法計算樹冠空隙度時，只針對樹冠表面及其內部進行，利用三維凸包找出樹冠邊界體素，將邊界外部體素設為2。

1.2.2 三維滑動盒算法

當盒子尺寸為R時，表示邊長為R個體素個數(shù)，將邊長為R的立方體盒子放到A上滑動，即先將邊長為R的立方體盒子放在A的左上角。立方體盒子覆蓋的體元中，研究對象占據(jù)體素的個數(shù)記作S(稱邊長為R的立方體盒子的質量)。然后將立方體盒子按先行、后列、再層的方式移動，每次移動1個體元位置，直到整個A上每個位置都被滑動盒覆蓋過為止。此時，獲得一組隨滑動盒移動而獲得的質量等于S的盒子數(shù)n(S,R)。設ρ(R)是尺寸為R的盒子的最大質量,ρ(R)=R3，S∈[0，ρ(R)]，且當S≠0時，S為整數(shù)。將A中可覆蓋邊長為R的立方體盒子總個數(shù)記作NR,則

NR=(r-R+1)(c-R+1)(l-R+1)。

(3)

Q(S,R)是n(S，R)概率分布函數(shù)，盒子的尺寸為R時，計算Q(S，R)的一階矩Z(1)和二階矩Z(2)，空隙度Λ定義為

(4)

以上稱為三維滑動盒法3D GBA[22]。

利用上述三維滑動盒法計算樹冠空隙度時，A中體素2不參與運算。為使計算更精確，將盒子分為5類： ①全為體素2，記為Ⅰ； ②含體素0和2，記為Ⅱ； ③含體素1和2，記為Ⅲ； ④含體素0，1和2，記為Ⅳ； ⑤不含體素2，記為Ⅴ。

Ⅰ不參與計算，直接剔除； Ⅴ在邊界內，必須參與運算； Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ類盒子都處于邊界處，需找到某個合適的閾值適當?shù)貋G棄部分盒子，使其對空隙度值的影響達到最小。

1.2.3 閾值的選取

閾值的選擇考慮以下3個原則： ①含足夠體素1； ②含足夠體素0； ③含較少體素2。其公式為

Nlacu=Ncan+Nin，

(5)

式中：Nlacu為參與運算的盒子總數(shù)；Ncan為邊界上參與計算的盒子數(shù)；Nin為樹冠內部參與運算的盒子數(shù)。為確定閾值，利用模擬數(shù)據(jù)做表1所示的尋找閾值的研究。

表1 邊界上3類盒子分布

①NⅡ，NⅢ，NⅣ分別表示Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ類盒子的個數(shù)；Nborder為邊界上盒子數(shù)。

由表1可以看出，邊界上的盒子包含Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ這3類盒子，隨著R增大,NR逐漸減小，同時出現(xiàn)如下規(guī)律： ①R越大，邊界上盒子的比例就越大； ②R越大，Ⅳ所占的比例就越大，當R一定時，NR=NⅣ; ③Ⅱ和Ⅲ的個數(shù)逐漸減少，當R達到某值后,Nborder=NⅣ; ④Ⅱ與Ⅲ相比，當R在某個值范圍內時(表1中R=14),R越小，NⅡ與NⅢ的差值就越大; ⑤當NR=Nborder時，Nin=0,此時只含Ⅳ; ⑥當Nin=0時，閾值必須慎重選取，否則對空隙度會有很大影響; ⑦當NⅡ>0時，從盒子中總體的分布情況來看，體素0的個數(shù)都小于體素2的個數(shù)，此時須選出含足夠體素0、較少體素2的盒子，使丟棄的盒子對空隙度的影響降到最小。當R取不同值(13，18，27，30)時，Ⅳ中體素0，1，2的分布情況如圖3所示。

圖3 邊界上IV類盒子中體素0，1，2的分布情況

從圖3可以看出： 當R逐漸增大時，每個Ⅳ類盒子含體素1的個數(shù)逐漸穩(wěn)定(綠色)。體素0(藍色)和2(紅色)2條線之間有交點，隨著R的增大，交點逐漸沿X軸左移。圖中當R=27后，沒有了交點，在此變化過程中，體素2的個數(shù)占單個Ⅳ盒子中體素的比例逐漸增大，體素0的比例逐漸減??； 當R值接近A的最小維數(shù)時，每個Ⅳ盒子含有3類體素的情況逐漸相似。利用相同方法可以分析Ⅱ和Ⅲ類盒子的體素分布情況。

據(jù)上述分析，按如下方法選取邊界處盒子：

1)Ⅳ中選出體素0和1的總數(shù)大于2，體素0的個數(shù)大于2或體素1的個數(shù)大于2的盒子，當NR=NⅣ時，只存在Ⅳ。為不影響計算結果，必須選出盒子參與運算，由于此時盒子中體素1的比例相互接近，計算體素0和2個數(shù)的差值，找出差值小于總差值均值的盒子，選出含足夠體素0、較少體素2的盒子，將其參與計算。

2)對于Ⅲ，體素個數(shù)較少且含有體素1，為減少信息丟失，全部參與計算。

3)Ⅱ的選取同Ⅳ。

1.3 算法流程

首先獲取點云數(shù)據(jù)，然后對預處理后的數(shù)據(jù)按圖4的算法流程進行操作?；瑒雍兴惴ú捎弥丿B式的移動方式[22]。

圖4 空隙度計算流程

2 結果分析與驗證

2.1 結果分析

模擬樹冠參數(shù)為冠直徑10 m，點數(shù)1 178個，冠高分別為14.868 5 m,5.702 3 m,10.858 9 m。體素劃分尺寸分別為0.329 7，0.328 1，0.517 7； 0.328 9，0.328 3，0.192 2； 0.327 7，0.331 8，0.353 4。盒子選用2體素×2體素×2體素，即R=2，此時lnR=0.693 1。空隙度結果見表2。

表2 3種冠型空隙度

如表2所示，體素劃分尺度不同，3種冠型的空隙度就不同。當R=2時，錐型<半球型<半橢球型。此時，含0個體素1的盒子個數(shù)最多，8個體素1(即全1或有一個0或2)的盒子數(shù)最少甚至沒有。理論上認為，本文模擬點云分布均勻，在點云密度適中的情況下，整個盒子中體素完全屬于樹冠的概率很小。當S=1時，Q(1,1)=1×Q(1,1)=P,Z(2)/[Z(1)]2=P/P2，Λ(1)=1/P，即當R=1時，P表示樹冠上點占據(jù)整個樹冠空間位置的比例，當P趨于+∞時，空隙度值趨近于0。表2中Q(1，1)分別為0.239,0.251,0.237，代表這3棵樹冠體素化后樹冠點所占比例情況。

圖5表示3種樹冠空隙度在不同體素劃分尺度下的對比。這3種樹冠的點云數(shù)、體素劃分、冠直徑等與表2的情況一致。

圖 5 不同體素劃分尺度下3種樹冠空隙度分布

由圖5可知，錐型樹冠的空隙度分布情況相對較低，半球型樹冠和半橢球型樹冠的空隙度曲線的變化趨勢相似，空隙度接近。

圖6呈現(xiàn)了在相同體素劃分尺度下3種樹冠空隙度曲線分布。

圖6 相同體素劃分尺度下3種樹冠空隙度分布

由圖6可知，體元邊長0.5 m。當R=2時，錐型和半橢球型的空隙度幾乎相同，半球型相對較低； 當R>2時，錐型開始遠離半橢球型，靠近半球型。總體上，半球型的空隙度較低，半橢球型較高，錐型介于二者之間。

與圖5相比，圖6除不同體素劃分，其他條件完全相同。從總體上看，3種冠型空隙度分布有共同點： 盒子尺寸R不同，空隙度不同。隨滑動盒尺寸R的不斷增大，空隙度會逐漸減小。從模擬的冠型來看，半球型的點分布相對較密，故其空隙度值較低。與錐型相比，半橢球型外表面總體變化減緩，而錐型表面收縮較快，相對于半橢球型來說，分布較密，故其空隙度值較半橢球型小。綜上所述，利用空隙度能有效分析樹冠空間結構。圖6顯示相同體素劃分尺度情況下的比較更為合理，同時也說明了空隙度指標具有尺度效應。圖5和圖6表明觀測尺度(滑動盒)對樹冠的空隙度有一定的影響，尺度越小，樹冠空隙度越大，反之亦然。

2.2 驗證分析

為體現(xiàn)空隙度在體素劃分上的尺度依賴性，將體素空間劃分為0.5 m和0.2 m這2種尺度，實測結果分別為圖7(a)(b)。據(jù)樹冠參數(shù)，將4棵樹冠分別近似為： 半球型、錐型、半球型和半橢球型。本文選用2個半球型樹冠，雖冠型相同，但樹種不同，這主要是為了說明冠型和樹種都會對空隙度曲線產生影響，這進一步說明空隙度描述空間分布的有效性。

(a) 體素空間0.5 m(b) 體素空間0.2 m

由圖7可知，8條曲線隨著R增大，空隙度均不斷減小。從定義上看，此結論與Plotnick等[9]提到的空隙度的另一種定義相符合。

從空間的占據(jù)能力上看，半橢球型樹冠的P值最小，所以其空間占據(jù)能力最小，意味著該尺度下，相應空隙量最多。當R較小時，它們的空隙度值差異明顯。錐型樹冠的空隙度值介于半球型樹冠和半橢球型樹冠之間，半球型樹冠的值相對較小。

從體素劃分尺度上看，與圖7(a)相比，圖7(b)的體素劃分尺度更細，曲線值的范圍更大。在2個劃分尺度下，4棵樹冠空隙度曲線分布均相似，半橢球型≥錐型≥半球型。半球型樹冠空隙度值在整個R取值范圍上幾乎小于錐型樹冠和半橢球型樹冠。此結果與圖6模擬數(shù)據(jù)結果接近。

由以上分析可知，空隙度值依賴于尺度(體素化分尺度和滑動盒尺度)，然而，這2種尺度依賴于數(shù)據(jù)本身和前期的預處理操作，其中主要的影響因素包括： 樹冠原始點云數(shù)據(jù)的密度、數(shù)據(jù)濾波處理等。文中采用0.05 m的尺度對于冗余程度較大的點云數(shù)據(jù)進行濾波。數(shù)據(jù)采用多大尺度濾波關系到空隙度指數(shù)能否有效區(qū)分不同的樹冠，特別是不同樹種的樹冠，其葉片和枝條分布的疏密程度會有很大差異，尺度選取不當，可能會出現(xiàn)無法區(qū)分或區(qū)分困難的問題。利用空隙度指數(shù)能否有效地區(qū)分樹冠依賴于樹冠枝條或葉片分布的密度，濾波后點云數(shù)據(jù)的密度應不大于葉片和樹枝分布的密度，否則會造成空隙度值小，空間異質性程度低，空間結構完全不同的樹冠的異質性程度差異會非常微弱。

有學者指出具有自相似性特點的對象，空隙度曲線近似于直線[7]。圖7(a)中錐型樹冠和半橢球型樹冠曲線，圖7(b)中錐型樹冠曲線在一定尺度范圍內都近似于一條直線，故可推斷這些樹冠在一定尺度范圍內具有自相似性。圖7(a)中半球型樹冠曲線，圖7(b)中半橢球型樹冠曲線在某個R值之后變化相對急劇，當R大于某個值之后，變化又趨于平緩，其值接近甚至相等。這一現(xiàn)象表明當盒子尺寸R達到空間中團狀結構尺寸后，空隙度曲線便會迅速下降[7]。文中的實測數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)雖然相似，但存在一定的區(qū)別，其原因有2點： ①與模擬數(shù)據(jù)(分布均勻)和實測數(shù)據(jù)(非均勻)本身特點有關； ②模擬數(shù)據(jù)具有規(guī)則的外輪廓，而實測數(shù)據(jù)蘊含生態(tài)過程中的隨機性因素居多。

圖6中使用的數(shù)據(jù)的冠直徑和點數(shù)均相等，只有冠型不同。圖2中4棵真實樹冠因樹種本身的不同，樹冠高度、冠直徑、樹枝分布格局、葉片大小和葉片分布格局均存在差異，且它們自身所處的環(huán)境也會對其本身的樹枝和葉片分布存在一定影響，所以圖7中相應的4條曲線存在明顯差異，體現(xiàn)了前文所說的空間分布不同而造成的影響。圖7中半球型樹冠在2種劃分尺度下線型很相似，區(qū)別是分布位置的高低，這可能與所屬樹種本身有關(它們屬于不同樹種)。雖冠型類似但空間結構不同，所以空隙度分布不同。通過實測數(shù)據(jù)的驗證分析表明，利用空隙度能有效地分析樹冠的結構特征。

3 結論

1)本文以模擬數(shù)據(jù)為基礎，論述了基于體素和三維凸包的樹冠空隙度計算方法，通過該算法分析了3種樹冠冠型的空隙度。同時，利用實測點云數(shù)據(jù)做相應驗證分析。研究表明，從分析各個樹冠的空間格局入手，將空隙度作為描述樹冠空間分布狀態(tài)的一個指標，應用在判斷樹冠空間異質性程度上，可為森林生態(tài)變化過程探索中采用LiDAR數(shù)據(jù)研究不同樹冠的空間分布特征和進行森林分類提供方法支持。文中介紹的方法也為未來計算非規(guī)則對象的空隙度指數(shù)提供了技術思路。

2)經對比分析，空隙度值的差異除冠型外，樹冠內部的空間分布在一定程度上影響著空隙度的大小和空隙度曲線的變化趨勢。冠型相似而空間結構不同，空隙度分布也會有差異。但差異的大小和影響程度問題今后需做進一步研究。

3)基于空隙度的尺度依賴性，不同尺度條件下體素劃分對空隙度差異的影響需進一步研究(本文僅對比了2個尺度)。

4)采集LiDAR點云數(shù)據(jù)的角度分辨率應該適當。角度分辨率小雖然有利于獲取目標更精細的結構信息，但數(shù)據(jù)會存在大量冗余，影響計算效率。后期對數(shù)據(jù)進行的濾波處理是去除冗余數(shù)據(jù)，提高算法效率的重要關鍵。本文采用的八叉樹濾波，間隔尺度的選取標準是保證利用空隙度指數(shù)能有效的區(qū)分樹冠。對這一問題今后還要繼續(xù)深入研究。

5)本文方法的關鍵在于準確區(qū)分邊界，即如何選擇邊界處參與空隙度計算的盒子，才能使計算結果達到更高的精度。雖然本文采用的辦法已取得較好效果，但對于盒子的選取今后還可探討其他更好的方式。

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