朱丹，范玉剛，鄒金慧，吳建德，黃國勇

1.昆明理工大學信息工程與自動化學院，昆明 650500

2.云南省礦物管道輸送工程技術研究中心，昆明 650500

小波包能量譜-稀疏核主元在故障檢測中的應用

朱丹1，2，范玉剛1，2，鄒金慧1，2，吳建德1，2，黃國勇1，2

1.昆明理工大學信息工程與自動化學院，昆明 650500

2.云南省礦物管道輸送工程技術研究中心，昆明 650500

針對滾動軸承故障檢測的問題，提出一種基于小波包能量譜-稀疏核主元的滾動軸承故障檢測方法。對振動信號進行小波包分解，提取信號的能量頻譜，用增量式樣本基構造方法，提取能量頻譜的樣本基，以此樣本基建立核主元模型，來分析軸承振動信號能量頻譜的變化。通過實驗仿真來說明此算法的有效性。

滾動軸承；小波包；稀疏核主元；故障檢測

1 引言

滾動軸承廣泛應用于各種機械設備，其運行狀態(tài)對整臺機器的安全運行影響極大，一旦滾動軸承發(fā)生故障或者失效，將對機器運行帶來安全隱患。因此，對滾動軸承進行監(jiān)測、診斷具有重要意義。滾動軸承在不同的工況下運行，產(chǎn)生不同的振動信號，因此可以通過采集滾動軸承工作時的振動信號，并對該信號進行分析和研究，來診斷滾動軸承的運行狀況。對振動信號進行小波包分解，得到反映信號特征的頻帶能量譜。當滾動軸承開始發(fā)生故障時，信號的各頻帶能量中包含了相應的故障信息，即振動信號各頻帶的能量比例會發(fā)生變化，因而可利用滾動軸承振動信號各頻段的能量比例來分析軸承的運行情況，以此作為故障診斷的依據(jù)。在對滾動軸承進行監(jiān)測和診斷的過程中，故障信號的分析處理是其中的核心內(nèi)容，它在提高診斷的準確性和可靠性方面處于非常重要的位置。本文首先對振動信號提取能量頻譜，并建立能量頻譜的樣本基，以此樣本基建立多元統(tǒng)計模型，用于分析軸承振動信號能量頻譜的變化。

對得到反映信號特征的頻帶能量譜進行分析，是故障檢測的重要內(nèi)容。主元分析法（PCA）是一種基于多元統(tǒng)計的故障檢測方法。然而在現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中都存在著非線性問題，因此各種非線性PCA方法相繼被提出，例如，核主元分析方法（KPCA）[1]。KPCA是一種非線性特征提取方法，得到了廣泛的應用[2-5]。然而，核主元分析存在不適合大樣本分析、計算復雜的缺點，因此本文提出一種稀疏核主元故障檢測方法，對振動信號的小波包能量譜進行分析。首先，將滾動軸承振動信號進行小波包分解，計算各子頻帶信號的能量值，并構建能量頻譜特征向量；其次，對得到的特征向量采用增量式樣本基構造方法提取樣本基，以此樣本基建立正常的核主元模型，用于軸承振動信號故障檢測；最后，通過仿真分析，說明了此算法的有效性。

2 小波包的能量譜特征量提取

2.1 小波包分解

小波包分解是在多分辨分解的基礎上將各尺度下的細節(jié)分量作進一步分解，從而實現(xiàn)對隨尺度變小而變寬的頻率窗口再劃分，提高信號高頻部分頻率的分辨率，使故障特征提取能夠在更加細化的頻帶內(nèi)進行。

其中，t=1，2，…，N/2i（N為原始信號的采集點數(shù)）；i= 2j，j=1，2，…，J（J為最大分解層數(shù)），原始信號經(jīng)過j層小波分解得到2j個小波包，每個小波包的采樣點數(shù)為N/2j。

在滾動軸承故障診斷中，將采集到的信號進行小波包分解后，得到2j（j表示分解層數(shù)）個分解向量，它們包含著各個頻段的信息，而故障信息包含在其中的某些頻段內(nèi)。

2.2 能量譜特征量提取

按照能量方式表示的小波包分解結果稱為小波包能量譜，在小波包能量譜中，可以選取各頻帶內(nèi)信號的平方和作為能量的標志，為進一步的故障識別提供了診斷的前提條件。以3層小波包分解為例，說明滾動軸承故障信號小波包能量譜特征量提取方法[8-9]：

（1）首先對滾動軸承振動信號進行3層小波包的能量譜特征量提取。

（4）構造軸承故障信號的特征向量。由于系統(tǒng)出現(xiàn)故障時會對各頻帶內(nèi)信號能量有較大的影響，因此，以能量為元素可以構造一個特征向量。

（5）特征向量T構造如下：

3 核主元分析

KPCA的基本思想是首先通過非線性映射將原輸入空間映射到一個高維的特征空間，然后在高維的特征空間上進行主元分析，從而把輸入空間中的非線性問題轉化為特征空間中的線性問題。

KPCA是一種非線性方法[10-12]，它首先通過非線性映射φ將原輸入空間（x1，x2，…，xN∈Rm)（其中N為采樣樣本的數(shù)目，m為測量變量的維數(shù)）映射到一個高維的特征空間F中（即：φ:Rm→F），然后在這個高維的特征空間F內(nèi)，進行主元分析，從而把輸入空間中的非線性問題轉化為特征空間中的線性問題。把xi的映射記為φ(xi)=φi，則特征空間F的協(xié)方差矩陣可以表示為：

設矩陣CF所對應的特征值為λ，特征向量為v，則存在系數(shù)αi(i=1，2，…，N)，使得矩陣CF的特征向量v可以用φi表示為：

在特征空間F上進行主元分析之前，應先作標準化處理，即用下式代替矩陣K：

其中，IN等于1/N與一個N×N的單位矩陣E∈RN×N相乘。所以，在特征空間中進行主元分析，就等價于對式（10）求解特征值問題。結合式（10）和式（6），由矩陣K的特征向量α可以求出矩陣CF的特征向量v，且滿足：

其中p為主元個數(shù)。這樣，可以通過計算映射數(shù)據(jù)在特征向量vk上的投影來計算主元，即

為了解決式（10）的特征值問題，并利用式（13）直接從輸入空間計算特征空間的主元向量，在特征空間中引入點積形式的核函數(shù)k(x，y)=φ(x)，φ(y)，避免直接計算非線性映射。核函數(shù)的選擇完全決定映射φ和特征空間F，常用的核函數(shù)有：高斯核函數(shù)（也叫徑向基核函數(shù)）：k(x，y)=exp(-‖x-y‖2/σ)；多項式核函數(shù)：k(x，y)= x，yd；符號核函數(shù)：k(x，y)=tanh(β0x，y+β1)。其中，σ，d，β0和β1需提前指定。

然而，對于那些大型的、復雜的工業(yè)過程來說，樣本數(shù)據(jù)一般會很多，這就導致核矩陣的計算復雜，因此KPCA不適合大樣本分析。針對這一不足，本文提出稀疏核主元的故障檢測方法。

4 基于小波包能量譜的稀疏核主元分析

基于小波包能量譜的稀疏核主元分析方法，將信號各頻率段的能量值構造特征向量T，并提取T的樣本基，以此樣本基建立核主元分析模型。因此，該算法主要包括樣本基提取、KPCA模型建立兩大部分。

4.1 樣本基提取

樣本基是稀疏核主元算法的基礎，樣本基的構造實質是從輸入樣本集X中找到一個樣本子集，滿足條件：（1）由該樣本子集映射到特征空間的核矩陣滿秩；（2）該樣本子集是滿足條件（1）的最大樣本集。

該定理的用途是：當Kn降秩時，第n個樣本對應的核變換可用前n-1個樣本的核變換線性表示。

由此得到如下的樣本基構造算法：

（1）令初始樣本基僅包含任意一個樣本，d=1，計算相應的核矩陣。

（2）逐個檢驗樣本，計算δ，如果δ=0，則該樣本不加入樣本基S；否則將加入樣本S，并用遞推算法修改相應的核矩陣和核矩陣的逆，令d=d+1。

（3）算法結束并得到d和樣本基S={s1，s2，…，sd}。

（4）以此樣本基取代全部訓練樣本，建立KPCA模型，稱為稀疏核主元。

4.2 基于小波包能量譜的稀疏核主元故障檢測

基于小波包能量譜的稀疏核主元故障檢測步驟如下：

（1）首先對滾動軸承振動信號進行3層小波包分解，分解算法如式（1），得到第3層從低頻到高頻的8個頻帶成分。

（2）求各子頻帶信號的能量值，計算方法如式（3）。

（3）對能量頻譜構成的特征向量T，采用增量式樣本基的構造方法構造樣本基，以此樣本基作為訓練樣本，建立正常的核主元模型。

（4）將軸承振動信號（本文選取軸承滾動鐵和內(nèi)圈這兩種故障）重復步驟（1）、（2），得到振動信號分解后各頻段的能量值，以此作為測試樣本。

（5）對測試樣本進行核主元分析，求取T2和SPE統(tǒng)計量進行故障檢測。

5 仿真實驗研究

本文采用來自美國西儲大學（Case Western Reserve）滾動軸承實驗中心的實驗數(shù)據(jù)作為故障檢測的依據(jù)，從中選取的數(shù)據(jù)是6205-2RSJEMSKF型的滾動軸承數(shù)據(jù)，實驗裝置和軸承尺寸見http：//www.eecs.cwru.edu/laboratory/bearing/。其加速度傳感器安裝在電機驅動端，空載轉速為1 797 r/min（也就是轉頻為1 797/60 r/s= 29.95 Hz），采樣頻率為48 kHz，模擬軸承滾動鐵和內(nèi)圈正常與故障的[故障直徑為0.014 inch（0.035 56 cm）]振動信號。利用小波包能量譜變化的主元分析方法、標準核主元分析方法和稀疏核主元分析方法，分別對軸承數(shù)據(jù)進行仿真分析，并比較所得結果，最終驗證了稀疏核主元分析方法的有效性。

5.1 頻譜分析

選取上面所述條件下的滾動軸承數(shù)據(jù)，外加一組在此條件下的滾動鐵和內(nèi)圈的故障數(shù)據(jù)（故障直徑為0.007 inch）進行頻譜分析，得到的頻譜圖如圖1～圖5所示。

圖1 正常軸承數(shù)據(jù)頻譜圖

圖2 滾動鐵故障頻譜圖（故障直徑為0.014 inch）

圖3 滾動鐵故障頻譜圖（故障直徑為0.007 inch）

圖4 內(nèi)圈故障頻譜圖（故障直徑為0.014 inch）

圖5 內(nèi)圈故障頻譜圖（故障直徑為0.007 inch）

由圖可看出，正常頻譜圖大概在0.4×104Hz附近有波峰，而軸承故障頻譜圖大概在0.3×104Hz附近有波峰，直接觀察故障特征不是很明顯，所以提出主元分析方法、核主元方法和稀疏核主元方法進一步對軸承數(shù)據(jù)進行故障檢測。

5.2 主元分析

滾動軸承實驗數(shù)據(jù)故障檢測的主要步驟如下：

（1）首先選取軸承滾動鐵和內(nèi)圈正常與故障中的400組實驗數(shù)據(jù)進行三層小波包變換，由于采樣頻率為48 kHz，故分析范圍為0～24 kHz，將每組信號分解成8個頻段，各節(jié)點頻率范圍分別為：0～3 kHz，3～6 kHz，6～ 9 kHz，9～12 kHz，12～15 kHz，15～18 kHz，18～21 kHz，21～ 24 kHz。計算各節(jié)點的小波系數(shù)，并求出其能量值。

（2）分別將其作為輸入變量進行主元分析，求取主元變量的T2和SPE統(tǒng)計量[14]，檢測故障是否發(fā)生，如圖6～圖9所示。

圖6 滾動鐵故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（PCA）

圖7 滾動鐵故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（PCA）

圖8 內(nèi)圈故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（PCA）

本文采用的小波包是db3（Daubechies）正交小波包，經(jīng)3層小波包分解后，求取各組樣本中各頻帶的頻譜能量值。

圖9 內(nèi)圈故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（PCA）

由圖6～圖9可看出，數(shù)據(jù)在中間段以后有變化，但變化不是很明顯，檢測效果不好，因此提出下面的稀疏核主元故障檢測方法。

5.3 稀疏核主元分析

滾動軸承故障檢測步驟同上，核函數(shù)選用普遍應用的高斯核，即k(x，y)=exp(-‖x-y‖2/σ)，這里取σ=35。

經(jīng)3層小波包分解后，求取各組樣本中各頻帶的頻譜能量值。先將軸承正常400組數(shù)據(jù)訓練，求得軸承運行的核主元模型，故障控制限為95%。最后分別將滾動鐵故障和內(nèi)圈故障400組測試數(shù)據(jù)處理后輸入核主元模型，求取T2和SPE統(tǒng)計量，如圖10～圖13所示。

利用4.1節(jié)的方法得d=31及相應的樣本基S。95%控制限對應滾動鐵故障、內(nèi)圈故障的統(tǒng)計量為T2(95%)= 7.403 7，SPE(95%)=0.247 9，結果見圖14～圖17。

圖10 滾動鐵故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（標準KPCA）

圖11 滾動鐵故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（標準KPCA）

圖12 內(nèi)圈故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（標準KPCA）

圖13 內(nèi)圈故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（標準KPCA）

圖14 滾動鐵故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（稀疏KPCA）

圖15 滾動鐵故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（稀疏KPCA）

圖16 內(nèi)圈故障的T2統(tǒng)計量故障檢測圖（稀疏KPCA）

由圖10～圖17可看出，數(shù)據(jù)在中間段以后有明顯變化，超過限值并持續(xù)，可以認為是軸承發(fā)生故障，應該予以報警。但在圖14～圖17（稀疏核主元的T2和SPE統(tǒng)計量故障檢測）中，樣本數(shù)200以后超過限值部分明顯，檢測出故障信號。從400個測試樣本中提取31個樣本構成樣本基，因此核矩陣從400×400變?yōu)?1×31，極大減少了KPCA的計算量。與標準KPCA相比，計算效率得到提高，驗證了稀疏核主元分析方法在滾動軸承故障檢測中的有效性。

6 結論

本文提出的基于小波包能量譜-稀疏核主元的滾動軸承故障檢測方法，首先將正常振動信號進行小波包分解，建立能量頻譜，并對能量頻譜構建特征向量T，對特征向量T采用增量式樣本基構造方法提取樣本基，以此樣本基作為訓練樣本，建立正常KPCA模型；其次，將軸承信號進行核主元分析，求取T2和SPE統(tǒng)計量，進行故障檢測。稀疏核主元方法基于樣本基，從而提高了計算效率。理論分析和實驗結果表明，利用該方法進行滾動軸承的故障檢測是有效的。

圖17 內(nèi)圈故障的SPE統(tǒng)計量故障檢測圖（稀疏KPCA）

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ZHU Dan1，2,FAN Yugang1，2,ZOU Jinhui1，2,WU Jiande1，2,HUANG Guoyong1，2

1.Faculty of Information Engineering andAutomation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China
2.Engineering Research Center for Mineral Pipeline Transportation,Kunming 650500,China

For the problem of rolling bearing fault detection,a method of rolling bearing fault detection is proposed,which is based on wavelet packet energy spectrum and sparse kernel principal component.The vibration signal is decomposed by wavelet packet,in order to extract the energy spectrum of the signal.Then the sample base of energy spectrum is extracted through the method of incremental sample base.A kernel principal component model is built by the sample base for the analysis of the energy spectrum of the bearing vibration signal.The experimental simulation is presented to illustrate the effectiveness of the algorithm.

rolling bearing;wavelet packet;sparse kernel principal component;fault detection

A

TP277

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0027

ZHU Dan,FAN Yugang,ZOU Jinhui,et al.Application of wavelet packet energy spectrum and sparse kernel principal component in fault detection.Computer Engineering and Applications,2014,50（21）：224-229.

國家自然科學基金（No.51169007）；云南省科技計劃項目（No.2010DH004，No.2011DA005，No.2012CA022）；云南省中青年學術和技術帶頭人后備人才培養(yǎng)計劃項目（No.2011CI017）。

朱丹（1987—），女，碩士，研究領域為基于聲發(fā)射的故障檢測；范玉剛（1973—），通訊作者，男，博士，副教授，研究領域為基于機器學習的智能信息處理、數(shù)據(jù)挖掘技術等；鄒金慧，女，副教授；吳建德，男，博士，教授；黃國勇，男，博士，副教授。E-mail：406742487@qq.com

2013-01-06

2013-04-17

1002-8331（2014）21-0224-06

CNKI出版日期：2013-04-26，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130426.1018.001.html