林睦綱，劉芳菊，童小嬌

1.衡陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖南衡陽(yáng) 421008

2.南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南衡陽(yáng) 421001

一種基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類方法

林睦綱1，劉芳菊2，童小嬌1

1.衡陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖南衡陽(yáng) 421008

2.南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南衡陽(yáng) 421001

針對(duì)模糊C-均值聚類對(duì)初始值敏感、容易陷入局部最優(yōu)的缺陷，提出了一種基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類方法。該方法結(jié)合螢火蟲(chóng)算法良好的全局尋優(yōu)能力和模糊C-均值算法的較強(qiáng)的局部搜索特性，用螢火蟲(chóng)算法優(yōu)化搜索FCM的聚類中心，利用FCM進(jìn)行聚類，有效地克服了模糊C-均值聚類的不足，同時(shí)增強(qiáng)了螢火蟲(chóng)算法的局部搜索能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有很好的全局尋優(yōu)能力和較快的收斂速度，能有效地收斂于全局最優(yōu)解，具有較好的聚類效果。

螢火蟲(chóng)算法；模糊聚類；模糊C-均值聚類

1 引言

聚類分析是指按照事物間的相似程度對(duì)事物進(jìn)行區(qū)分和分類的過(guò)程，使得同一類簇的數(shù)據(jù)相似性盡量大，不同類簇之間的數(shù)據(jù)相似性盡量小。它是數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別和圖像處理等研究的一種重要分析工具，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像分割、市場(chǎng)研究等領(lǐng)域中。聚類可分為硬聚類和模糊聚類，由于模糊聚類使用模糊隸屬度來(lái)描述數(shù)據(jù)對(duì)象隸屬各個(gè)類的不確定性，能夠比較客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界；而且算法簡(jiǎn)便易行，具有較好聚類效果，因而在許多實(shí)際問(wèn)題中獲得廣泛的運(yùn)用。模糊C-均值聚類（Fuzzy C-Means clustering，F(xiàn)CM）算法是模糊聚類分析中非常有效的一種算法，算法簡(jiǎn)單，收斂速度快，局部搜索能力強(qiáng)。但它屬于一種局部搜索算法，隨機(jī)地選取聚類中心，以致其對(duì)初值和噪聲較為敏感，容易陷入局部最優(yōu)，而得不到全局最優(yōu)解，從而限制了該算法應(yīng)用[1]。近年來(lái)，隨著各種群智能優(yōu)化算法的提出和研究，許多學(xué)者運(yùn)用蟻群算法[2-3]、微粒群算法[4-5]等來(lái)優(yōu)化模糊聚類，克服FCM聚類算法的不足，取得較好的效果。

螢火蟲(chóng)算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）是英國(guó)劍橋大學(xué)學(xué)者Yang Xin-she在2008年根據(jù)自然界中螢火蟲(chóng)通過(guò)發(fā)光吸引同伴的生物學(xué)特性行為而提出一種新的元啟發(fā)式群智能算法[6-7]。算法有效地刻畫(huà)了螢火蟲(chóng)發(fā)光亮度的變化和吸引度的大小，模擬了螢火蟲(chóng)根據(jù)同伴的亮度與吸引度大小進(jìn)行搜索和移動(dòng)、尋找同伴的原理，有效地實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)的目的。螢火蟲(chóng)算法自提出以來(lái)，已經(jīng)受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注和研究，文獻(xiàn)[7]利用螢火蟲(chóng)算法求解多模態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]應(yīng)用螢火蟲(chóng)算法求解連續(xù)約束優(yōu)化問(wèn)題，文獻(xiàn)[7-8]得出相同的結(jié)論：螢火蟲(chóng)算法在性能上優(yōu)于遺傳算法與粒子群算法。螢火蟲(chóng)算法不僅原理簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)；而且具有良好的全局尋優(yōu)能力和一定的局部尋優(yōu)能力，能快速地收斂于最優(yōu)解的特點(diǎn)，目前已成功應(yīng)用于路徑規(guī)劃[9]、工業(yè)優(yōu)化[10-12]、經(jīng)濟(jì)調(diào)度[13-14]、圖像處理[15]等領(lǐng)域。

本文嘗試在模糊C-均值聚類算法中引入螢火蟲(chóng)算法，運(yùn)用螢火蟲(chóng)算法優(yōu)化搜索FCM算法的聚類中心，充分發(fā)揮螢火蟲(chóng)算法良好的全局尋優(yōu)能力和模糊C-均值算法的較強(qiáng)的局部搜索特性，提出了一種基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類算法。算法有效地克服了模糊C-均值聚類對(duì)初始值敏感、容易陷入局部最優(yōu)的缺陷，同時(shí)也進(jìn)一步增強(qiáng)了螢火蟲(chóng)算法的局部搜索能力。最后把新算法與傳統(tǒng)的FCM算法和粒子群聚類算法通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較，來(lái)驗(yàn)證算法的有效性。

2 FCM聚類分析

給定數(shù)據(jù)集X={x1，x2，…，xn}，其中xi是包含d個(gè)屬性的數(shù)據(jù)對(duì)象（元素）(1≤i≤n)。聚類的目的就是將這n個(gè)對(duì)象劃分為c個(gè)以V=(v1，v2，…，vc)為聚類中心的模糊聚類簇(2≤c≤n-1)。uij表示數(shù)據(jù)對(duì)象xi隸屬于以vj為中心的類簇的隸屬度，模糊聚類問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)[16]可表示為：

式中uij∈[0，1]；i=1，2，…，n；j=1，2，…，c，U=(uij)為隸屬度矩陣，m是模糊權(quán)重系數(shù)，用來(lái)控制分類矩陣的模糊程度，一般取m≥1。

對(duì)于式（1）的優(yōu)化問(wèn)題結(jié)合式（2）的約束條件，應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法求解，可以得到uij和vj的取值公式為：

FCM算法就是求出使目標(biāo)函數(shù)Jm(U，V)達(dá)到最小值的(U，V)。其基本思想是通過(guò)迭代更新(U，V)，使得目標(biāo)函數(shù)最小。FCM算法的基本步驟可以描述如下：

步驟1設(shè)置參數(shù)與初始化，給定聚類數(shù)c和模糊權(quán)重系數(shù)m，設(shè)定迭代停止閾值ε，初始化聚類中心V。

步驟2根據(jù)式（3）計(jì)算隸屬度U。

步驟3根據(jù)式（4）更新聚類中心V。

步驟4如更新后的聚類中心與原聚類中心距離小于或等于設(shè)定的迭代停止閾值ε，則算法停止并輸出隸屬度U和聚類中心V，否則，轉(zhuǎn)向步驟2。

模糊C-均值算法是一種無(wú)監(jiān)督的聚類方法，它通過(guò)在迭代過(guò)程中，不斷使目標(biāo)函數(shù)減少來(lái)達(dá)到最優(yōu)的，迭代過(guò)程在本質(zhì)上是用梯度下降的方法搜索最優(yōu)解，它在很大的程度上依賴聚類中心的初始值，如果初始值選擇不好，算法可能陷入局部最優(yōu)解。因此它是一種局部搜索算法，存在對(duì)初始值和干擾敏感，易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。

3 螢火蟲(chóng)算法

自然界中，螢火蟲(chóng)利用其物種特有的閃光信號(hào)來(lái)定位并吸引異性，實(shí)現(xiàn)求偶交配和繁殖的目的。Yang Xin-she在文獻(xiàn)[6]中根據(jù)螢火蟲(chóng)這種發(fā)光行為首次提出了一種隨機(jī)優(yōu)化的螢火蟲(chóng)算法，算法舍棄了螢火蟲(chóng)發(fā)光的一些生物學(xué)意義，基于下面三個(gè)理想的規(guī)則[6-7]：

（1）所有的螢火蟲(chóng)都是單性的，所以螢火蟲(chóng)吸引同伴，與性別無(wú)關(guān)。

（2）吸引力的大小跟發(fā)光的亮度成正比，對(duì)于任意兩只螢火蟲(chóng)，亮度小的螢火蟲(chóng)被亮度大的螢火蟲(chóng)吸引而向亮度大的螢火蟲(chóng)方向移動(dòng)。亮度和吸引度與螢火蟲(chóng)之間的距離成反比，隨著距離的增加而減小。在一群螢火蟲(chóng)中，沒(méi)有別的螢火蟲(chóng)的亮度比其明亮?xí)r，則該螢火蟲(chóng)將隨機(jī)移動(dòng)。

（3）螢火蟲(chóng)的亮度由給定問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)決定。

在螢火蟲(chóng)算法中，亮度和吸引度是兩個(gè)關(guān)鍵要素。對(duì)于最大優(yōu)化問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的情況下，特定位置s的螢火蟲(chóng)的亮度I(s)與目標(biāo)函數(shù)f(s)成正比；對(duì)于最小化問(wèn)題，亮度函數(shù)I(s)可取與遺傳算法中適應(yīng)度函數(shù)的方式相同。螢火蟲(chóng)的吸引度是相對(duì)的，它隨著螢火蟲(chóng)i與螢火蟲(chóng)j的距離的變化而變化，同時(shí)吸引度也與吸收因子有關(guān)，由于光傳輸媒介對(duì)光的吸收，因而光的亮度隨著與光源的距離增大而變小。吸引度β可定義為：

式中β0是最大吸引度，即r=0時(shí)的吸引度，γ是光的吸收因子。

螢火蟲(chóng)i被比其明亮的螢火蟲(chóng)j的吸引移動(dòng)，其移動(dòng)的位置由下式?jīng)Q定：

式中，si、sj為螢火蟲(chóng)i和j在解空間的位置；α為步長(zhǎng)因子，它是區(qū)間[0，1]上的常數(shù)；rand為隨機(jī)因子，它在區(qū)間[0，1]上服從均勻分布。式（6）右邊的第一部分表示螢火蟲(chóng)當(dāng)前位置，第二部分表示由于受其他螢火蟲(chóng)吸引而引起的位置變化量，體現(xiàn)了算法的全局尋優(yōu)能力，第三部分表示螢火蟲(chóng)的局部隨機(jī)搜索移動(dòng)，體現(xiàn)了算法的局部尋優(yōu)能力，因此螢火蟲(chóng)算法既具有較好的全局尋優(yōu)能力，又具有一定的局部尋優(yōu)能力。

螢火蟲(chóng)算法基本過(guò)程為：首先螢火蟲(chóng)群體隨機(jī)分布在問(wèn)題的解空間，每只螢火蟲(chóng)代表問(wèn)題的一個(gè)可行解，螢火蟲(chóng)的亮度決定了解的優(yōu)劣，螢火蟲(chóng)間的相對(duì)吸引度決定了螢火蟲(chóng)的移動(dòng)方向和更新。比較螢火蟲(chóng)的亮度，亮度小的螢火蟲(chóng)被亮度大的螢火蟲(chóng)吸引，而向亮度大的螢火蟲(chóng)移動(dòng)，按式（6）更新自己的位置，這樣不斷循環(huán)，尋找更優(yōu)解，從而達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)。

4 基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類方法

由于FCM聚類算法采用的梯度下降的方法尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，如果算法的初始值選擇不當(dāng)，算法會(huì)陷入局部最優(yōu)，而不能逃離局部最優(yōu)點(diǎn)。針對(duì)模糊C-均值聚類算法對(duì)初始值和干擾敏感，易陷入局部最優(yōu)等不足，結(jié)合螢火蟲(chóng)算法良好的全局尋優(yōu)能力和較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力，收斂速度較快等優(yōu)點(diǎn)。為此，本文把螢火蟲(chóng)算法與模糊C-均值聚類方法結(jié)合起來(lái)，提出了一種基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類方法（FAFCM）。該算法的思路是：利用螢火蟲(chóng)算法尋找聚類中心，然后根據(jù)聚類中心進(jìn)行模糊聚類，從而克服傳統(tǒng)FCM算法對(duì)初始值敏感，易于陷入局部最優(yōu)等缺陷。

在基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類方法中，每一只螢火蟲(chóng)的位置用聚類中心表示，其位置為向量V=(v1，v2，…，vc)，其中vi為第i個(gè)類簇中心。螢火蟲(chóng)的亮度由模糊聚類的目標(biāo)函數(shù)決定，根據(jù)螢火蟲(chóng)算法的特點(diǎn)，可定義螢火蟲(chóng)的亮度函數(shù)為：

式中xi(1≤i≤n)是數(shù)據(jù)集X={x1，x2，…，xn}的第i個(gè)的數(shù)據(jù)對(duì)象。

基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類算法的基本步驟如下：

步驟1設(shè)置算法參數(shù)及初始化螢火蟲(chóng)群，設(shè)置螢火蟲(chóng)群的規(guī)模即螢火蟲(chóng)群中螢火蟲(chóng)數(shù)目N，最大吸引度β0，光的吸收因子γ，步長(zhǎng)因子α，聚類簇?cái)?shù)c，最大迭代次數(shù)maxT，以及k，m；初始化群中螢火蟲(chóng)的位置V1，V2，…，VN。

步驟2對(duì)于每個(gè)Vi根據(jù)式（3）計(jì)算隸屬度矩陣Ui，然后根據(jù)亮度函數(shù)式（7）計(jì)算群中每只螢火蟲(chóng)的亮度I(Vi)；并根據(jù)亮度對(duì)群中的螢火蟲(chóng)進(jìn)行升序排序。

步驟4輸出最優(yōu)解。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證與分析本文算法（FAFCM）的有效性與可行性，選取UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)中IRIS、Glass Identification兩個(gè)數(shù)據(jù)集對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試，并且把實(shí)驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)FCM算法、基于粒子群算法的模糊聚類（PSOFCM）進(jìn)行比較。Iris數(shù)據(jù)集包括3類樣本，共150個(gè)樣本組成，每個(gè)樣本包含4個(gè)屬性，每類樣本均為50個(gè)。Glass數(shù)據(jù)集包括6類樣本，共214個(gè)樣本組成，每個(gè)樣本包含9個(gè)屬性。文獻(xiàn)[5]經(jīng)過(guò)1 000次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，IRIS數(shù)據(jù)集聚類問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)是單極值的，而Glass數(shù)據(jù)集聚類問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)有兩個(gè)極值，是多極值的，因而選擇這兩個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)具有代表性。在實(shí)驗(yàn)時(shí)，為避免每維數(shù)據(jù)幅值對(duì)聚類結(jié)果的影響，對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性歸一化預(yù)處理，使每一維數(shù)據(jù)的范圍為[0，1]。

為了衡量聚類結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)中主要比較下面三個(gè)指標(biāo)：

（1）模糊聚類的目標(biāo)函數(shù)

對(duì)模糊聚類來(lái)說(shuō)，目標(biāo)函數(shù)越小越好，聚類越精確，誤差越小；劃分系數(shù)和劃分熵是常用的衡量聚類有效性函數(shù)，劃分系數(shù)越大，聚類結(jié)果越好；劃分熵越小，聚類效果越好。

在Matlab2011b平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)運(yùn)行算法，算法的參數(shù)設(shè)置如下：模糊權(quán)重系數(shù)m=2，ISIR數(shù)據(jù)集聚類數(shù)為3類，最大迭代次數(shù)maxT=50，Glass數(shù)據(jù)集聚類數(shù)為6類，最大迭代次數(shù)maxT=300；對(duì)于FAFCM算法β0=1.0，γ=0.9，α=0.1，k=2。對(duì)于PSOFCM算法，慣性權(quán)重w=0.2，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2.0。在測(cè)試中，F(xiàn)CM算法、PSOFCM算法與FAFCM算法分別運(yùn)行30次最好的結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，迭代過(guò)程如圖1，2所示。

表1 三種算法聚類有效性比較結(jié)果

圖1 三種算法對(duì)IRIS數(shù)據(jù)集的聚類迭代過(guò)程

圖2 三種算法對(duì)Glass數(shù)據(jù)集的聚類迭代過(guò)程

三種算法對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)集取不同的初始聚類中心分別運(yùn)行30次，結(jié)果如表1所示，對(duì)于IRIS數(shù)據(jù)集，三種算法均能達(dá)到相同的結(jié)果；但對(duì)于Glass數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法選擇不同的初始聚類中心，得到不同的目標(biāo)函數(shù)值，而另外兩種算法均得到相同的結(jié)果。從圖1，2可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)CM算法具有較快的收斂速度，F(xiàn)AFCM算法在收斂速度上比FCM算法略慢，但比PSOFCM算法要快很多。分析其原因是因?yàn)镕AFCM算法和PSOFCM算法是一種隨機(jī)搜索算法，具有較好的全局搜索能力，其能逃離局部極值而達(dá)到全局最優(yōu)；而FCM算法用最速梯度下降的方法搜索，局部搜索能力較好，全局搜索能力較差，具有較快收斂速度。對(duì)于多極值問(wèn)題，一旦陷入局部極值點(diǎn)，就無(wú)法跳出局部極值，而陷入局部最優(yōu)。對(duì)于IRIS數(shù)據(jù)集聚類是單極值的，F(xiàn)CM算法不存在陷入局部收斂的情況，三種算法都能收斂到全局最優(yōu)；而對(duì)于Glass數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法易陷入局部最優(yōu)。FAFCM算法與PSOFCM算法比較，由于在螢火蟲(chóng)算法中，每個(gè)螢火蟲(chóng)幾乎是相互獨(dú)立的，而粒子群算法中的粒子之間有一定的依賴性，因此在最優(yōu)解附近，螢火蟲(chóng)算法仍然有較好的尋優(yōu)能力。綜上所述，F(xiàn)AFCM算法不僅有較強(qiáng)的全局搜索能力，而且有較快的收斂速度，具有較好的綜合性能。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合螢火蟲(chóng)算法具有較好的全局搜索能力，較快的收斂速度等優(yōu)點(diǎn)，提出基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類算法。算法用螢火蟲(chóng)算法迭代搜索聚類中心進(jìn)行模糊聚類，有效地克服了FCM算法對(duì)初始值敏感，易于陷入局部最優(yōu)的缺陷。通過(guò)對(duì)具體標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行測(cè)試以及與標(biāo)準(zhǔn)FCM算法、PSO-FCM算法的比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于螢火蟲(chóng)算法的模糊聚類算法能有效地收斂于全局最優(yōu)解，具有較好的聚類效果，算法有效可行。但在實(shí)驗(yàn)中，也發(fā)現(xiàn)在設(shè)置螢火蟲(chóng)算法的步長(zhǎng)因子、吸收因子和最大吸引度等參數(shù)時(shí)，由于設(shè)置為固定的常數(shù)，對(duì)算法全局搜索能力與局部搜索能力的平衡有一定影響，因此螢火蟲(chóng)算法參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整還有待進(jìn)一步研究。

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LIN Mugang1,LIU Fangju2,TONG Xiaojiao1

1.Department of Computer Science,Hengyang Normal University,Hengyang,Hunan 421008,China
2.School of Computer Science and Technology,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China

For local optimum and initial sensitive problems with fuzzy C-means clustering,a new fuzzy clustering algorithm based on firefly algorithm is proposed.By incorporating the capacities of local and global search of firefly algorithm and FCM,taking the optimal clustering center of firefly algorithm as the initialized value of the FCM,and then clustering analysis is processed by FCM.The new algorithm overcomes FCM trapped local optimum and being sensitive to initial value effectively,and enhances the capacity of local search of firefly algorithm.The experimental results show that the new algorithm not only has better global search capacity and faster convergence speed but also has better clustering efficiency.

firefly algorithm;fuzzy clustering;fuzzy C-means clustering

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0004

LIN Mugang,LIU Fangju,TONG Xiaojiao.Fuzzy clustering algorithm based on firefly algorithm.Computer Engineering and Applications,2014,50（21）：35-38.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11171095）；湖南省自然科學(xué)衡陽(yáng)聯(lián)合基金項(xiàng)目（No.10JJ8008）；湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目（No.2010FJ4077）；湖南省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（運(yùn)籌學(xué)與控制論）；湖南省衡陽(yáng)市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（No.2014KJ21）。

林睦綱（1972—），男，博士研究生，講師，CCF學(xué)生會(huì)員，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算，計(jì)算機(jī)算法；劉芳菊（1974—），女，講師，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算，網(wǎng)絡(luò)安全；童小嬌（1962—），女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與計(jì)算方法，電力市場(chǎng)。E-mail：linmu710@163.com

2012-12-03

2013-03-11

1002-8331（2014）21-0035-04

CNKI出版日期：2013-03-19，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130319.1424.005.html