阮遠強，李開明

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇南京210094)

0 前言

19世紀(jì)上半葉人們就開始了對并聯(lián)機構(gòu)的研究，其中比較著名的是發(fā)明了Stewart平臺的英國工程師Stewart。1961年美國的Unimation公司生產(chǎn)出了第一臺工業(yè)機器人后，機器人行業(yè)開始了迅猛的發(fā)展，進而促使并聯(lián)機器人成為了人們關(guān)注和研究的熱點。并聯(lián)機器人相對于串聯(lián)機器人而言具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛度大、承載能力強、多自由度、運動靈活等優(yōu)點。但是并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，致使精度問題成為其能否廣泛運用的一個關(guān)鍵因素。目前提高并聯(lián)機器人精度的主要方法是通過精度設(shè)計和運動學(xué)標(biāo)定［1-2］。

1 并聯(lián)機床機構(gòu)模型及位姿方程

1.1 并聯(lián)機床機構(gòu)模型

本文研究的Stewart平臺式的6-THRT型并聯(lián)機構(gòu)簡圖如圖1所示。每根桿與上下平臺之間用虎克鉸相靜，靜平臺上的點b1-b6和動平臺上的點m1-m6分別為相應(yīng)虎克鉸的安裝點，并且各桿上還裝有一個螺旋副可以隨機構(gòu)自由伸縮。各靜動平臺坐標(biāo)系分別簡稱為o系、p系，原點取在各平臺的中心點處y0軸垂直于b3b4，z0軸垂直于靜平臺向上，x0軸的方向按右手定則確定。p坐標(biāo)系按相同的方法建立。設(shè)計一種中心軸測量方法，中心軸的兩端安裝點分別為上下平臺的中點(o、p系的原點)。通過在軸上安裝6個傳感器來獲得相鄰運動關(guān)節(jié)的夾角與位移變化信息，要保證其始終處于不受力狀態(tài)。

圖1 機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 機床位姿方程

在中心軸的各運動關(guān)節(jié)處建立坐標(biāo)系如圖2，建立測量機構(gòu)的運動學(xué)方程，如式(1)所示:

圖2 中心軸機構(gòu)的坐標(biāo)系簡圖

其中:(α、β、γ)表示坐標(biāo)系{t}相對坐標(biāo)系{s}的姿態(tài)矩陣，其中，α，β，γ分別是坐標(biāo)系{t}相對坐標(biāo)系{s}的坐標(biāo)軸x，y，z的三個獨立轉(zhuǎn)角。r表示坐標(biāo)系{t}的原點在坐標(biāo)系{s}中的位置。參考坐標(biāo)系{s}原點固聯(lián)于b3，b4的中點，工具坐標(biāo)系{t}原點固聯(lián)于m3，m4的中點。

式(2)為坐標(biāo)系{s}與參考坐標(biāo)系{o}之間的固定轉(zhuǎn)換關(guān)系，坐標(biāo)系{s}先繞 zs軸旋轉(zhuǎn)90°，然后繞 xs軸旋轉(zhuǎn)90°，最后沿zs軸方向平移一個位移d0與坐標(biāo)系{o}相重合。

式(3)為坐標(biāo)系{6}到工具坐標(biāo)系{t}的固定轉(zhuǎn)換關(guān)系。坐標(biāo)系{6}繞y6軸旋轉(zhuǎn)90°與坐標(biāo){t}相重合。

式(4)為中心測量軸的坐標(biāo)傳遞關(guān)系矩陣。

由中心測量軸坐標(biāo)系的建立可以得到相鄰坐標(biāo)系間的D-H參數(shù)，如表1所示。

表1 中心測量軸的D-H參數(shù)

2 機床動平臺位姿誤差計算模型

2.1 位姿誤差建模方法

上述測量機構(gòu)雖然可以避免間接測量所帶來的誤差，但是由于測量軸本身存在的加工制造安裝誤差，以及關(guān)節(jié)間隙和6個傳感器的測量誤差，會使得動平臺的理論運動軌跡與實際運動軌跡之間存在誤差。因此必須對中心軸進行誤差建模，找出其主要誤差源，然后對其加以補償以提高測量的準(zhǔn)確度和并聯(lián)機床的精度。

針對本機構(gòu)的特點，可以將其看成一個串聯(lián)的單開鏈機構(gòu)，采用一般工業(yè)機器人的位姿誤差分析方法，可知中心測量軸的末端位置和姿態(tài)誤差，近似表示為:

式中，r和Φ分別表示為動平臺的位置和姿態(tài)向量，hi，αi，di，θi(i=1，2，…，6)為各連桿的運動變量和結(jié)構(gòu)參量。

2.2 末端位姿誤差模型

在上面的運動學(xué)方程中，其相鄰坐標(biāo)系間的D-H變換矩陣表示為式(7)。

可知位姿誤差模型即為位姿矩陣對于 hi，αi，di，θi(i=1，2，…，6)等幾何參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即:

聯(lián)合式(5)、式(6)可以得到末端位置和姿態(tài)向量的相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)方程為:

結(jié)合式(1)-式(4)和式(7)可以求出矩陣TTS中各個因子的相應(yīng)幾何參數(shù)表達式，然后根據(jù)(α，β，γ)表示式，可以求得末端位姿的三個位姿角α，β，γ，如式(11)、式(12)、式(13)所示:

結(jié)合式(1)-(4)和式(7)-(13)，求出相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)方程與位置和姿態(tài)的表達式，然后將其帶入式(5)、式(6)，即可以求得本機構(gòu)的末端位姿誤差表達式［4-7］。然后通過下面的仿真分析來判斷該機構(gòu)的主要誤差因素。

3 仿真分析

現(xiàn)采用固定單桿桿長法對機構(gòu)進行20組數(shù)據(jù)的采集，然后結(jié)合Matlab軟件編寫相關(guān)程序，對機構(gòu)的末端位置誤差 Δr(Δx，Δy，Δz)和姿態(tài)誤差 ΔΦ(α，β，γ)進行仿真和分析，找出其主要誤差因素。參見圖3，圖4，圖5，圖6。

各幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對動平臺位姿α，β，γ方向上的影響

圖4 各幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對動平臺x方向上的影響

圖5 各幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對動平臺y方向上的影響

圖6 各幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對動平臺z方向上的影響

從上圖可以知道在小范圍內(nèi)運動，θ1，θ2對動平臺位置變化的影響是比較明顯的，證明鉸鏈的制造安裝和間隙誤差會對機構(gòu)位置會產(chǎn)生較大的影響。而轉(zhuǎn)角對動平臺位姿角的影響不大(除了奇異點位置)，可能是由于本機構(gòu)的運動范圍比較小所導(dǎo)致的。此次仿真結(jié)果為機構(gòu)的誤差補償提供了一定的理論研究依據(jù)。

4 結(jié)論

針對本文所分析的6-THRT型并聯(lián)機構(gòu)，并結(jié)合matlab對其進行運算仿真，可以得到如下結(jié)論:

1)本文采用了一種中心軸測量模型的直接測量方法，避免了因間接測量而引起的部分誤差因素。在安裝過程中，測量機構(gòu)要保證始終處于不受力狀況，進一步減少了測量機構(gòu)的誤差源，間接地提高了本測量機構(gòu)精度。

2)針對本機構(gòu)的特點，采用了基于D-H矩陣的一般工業(yè)機器人誤差分析法，該方法將鉸座安裝位姿誤差、鉸鏈制造誤差以及測量軸本身和驅(qū)動桿長等幾何誤差全部計入到了誤差模型中，通過Matlab分析，鉸鏈的制造與安裝是該并聯(lián)機構(gòu)末端產(chǎn)生誤差的主要因素，因此在設(shè)計與安裝時要盡量減小機構(gòu)靜態(tài)誤差，以提高機床的精度。

［1］黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機器人機構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1997，35(4):1-5.

［2］D.Stewart.”A platform with six degrees of freedom，”Proc.Inst.Mech.Eng.，1965/1966，180(5):371-386.

［3］Wang.S.M.Error Model and Accuracy Analysis of a Six-Dof Stewart platform［C］.Manufacturing Science and Engineering，1995，2(1):519-530.

［4］李叔祥.6-THRT并聯(lián)機器人的標(biāo)定研究［D］.南京:南京理工大學(xué)，2004.

［5］陸敏智.6-THHT并聯(lián)機器人的多傳感器測控系統(tǒng)研究［D］.南京:南京理工大學(xué)，2006.

［6］葉冬明.新型大工作空間并聯(lián)機構(gòu)及其性能研究［D］.南京:南京理工大學(xué)，2012.

［7］單鵬，謝里陽，田萬祿，等.基于D-H矩陣的Stewart型并聯(lián)機床位誤差計算模型［J］.機械工程學(xué)報，2010，46(17):186-190.