衛(wèi)江，王庚祥

(1.陜西工商職業(yè)學(xué)院，陜西西安710119；2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048)

0 引言

關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副是構(gòu)成機(jī)構(gòu)多體系統(tǒng)的重要組成部分。由于關(guān)節(jié)元素之間的磨損，局部變形以及裝配和制造誤差導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)副中存在間隙，為了保證關(guān)節(jié)元素相對(duì)運(yùn)動(dòng)，間隙的存在也是不可避免的。關(guān)節(jié)中間隙的存在不僅改變了運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件之間的自由度和受力狀態(tài)，而且當(dāng)關(guān)節(jié)元素處于分離狀態(tài)時(shí)，產(chǎn)生的碰撞與沖擊力將造成磨損加劇、噪聲以及震動(dòng)，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)喪失了精度和降低了使用效率與壽命［1］。

目前對(duì)平面機(jī)構(gòu)(一般為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)與四桿機(jī)構(gòu))中間隙鉸的研究居多，其間隙模型一般分為4類:經(jīng)典碰撞模型、連續(xù)接觸碰撞力模型、間隙有限元模型以及連續(xù)接觸模型［2］。眾多學(xué)者利用該4類模型來研究平面機(jī)構(gòu)中的關(guān)節(jié)間隙效應(yīng)。Olivier［3］基于間隙有限元模型，在考慮關(guān)節(jié)間隙、潤滑與柔性的情況下，研究了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，通過數(shù)值分析討論了由間隙產(chǎn)生的耗散力對(duì)機(jī)構(gòu)精度的影響。秦志英［4］基于經(jīng)典碰撞模型推導(dǎo)了恢復(fù)系數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系，統(tǒng)一了動(dòng)態(tài)接觸理論和古典碰撞理論，并通過對(duì)一個(gè)單球碰撞系統(tǒng)驗(yàn)證了該模型的有效性。Tsai［5］基于螺旋理論運(yùn)用靜力學(xué)平衡方程研究了平面四桿機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)傳遞性能，并利用無質(zhì)量桿連續(xù)接觸模型研究了四桿機(jī)構(gòu)中多間隙對(duì)其傳遞性能的影響。P.Flores［6］利用連續(xù)接觸碰撞力模型，建立了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)含關(guān)節(jié)間隙的動(dòng)力學(xué)模型，并與無間隙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和運(yùn)動(dòng)副反力進(jìn)行了對(duì)比分析。Wang［7］提出了一種混合降維的方法減小了隨機(jī)間隙量對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)精度的影響，并通過數(shù)值方法證明了該方法在運(yùn)算方面的高效率。Muvengei［8］在不考慮關(guān)節(jié)摩擦力的情況下，用連續(xù)接觸碰撞力模型研究了間隙大小對(duì)機(jī)構(gòu)精度的影響，并討論了機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)速度下，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性由周期性轉(zhuǎn)為混沌。Bai［9］以一種新的接觸力模型建立了平面四桿機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙的碰撞接觸力模型，并通過數(shù)值分析研究了關(guān)節(jié)間隙的大小與摩擦效應(yīng)對(duì)該機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。

平面五桿機(jī)構(gòu)的研究多數(shù)停留在對(duì)理想機(jī)構(gòu)的分析。對(duì)于考慮機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)效應(yīng)的研究并不多見，文獻(xiàn)［10-11］在考慮關(guān)節(jié)摩擦的情況下研究了該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性與控制策略。文獻(xiàn)［12］基于軌跡規(guī)劃提出了一種避免關(guān)節(jié)間隙的拆分方法，并利用該方法研究平面五桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。

基于以上研究背景，文章采用一種以彈簧阻尼系統(tǒng)代替接觸區(qū)域復(fù)雜變形的近似簡(jiǎn)化方法——連續(xù)接觸碰撞力模型。該模型不僅考慮接觸碰撞過程中的局部變形，而且假定變形限制在接觸區(qū)的臨域；從而認(rèn)為接觸碰撞力是由碰撞體的局部接觸變形產(chǎn)生的。以修正的Coulomb摩擦力模型描述了接觸碰撞過程的切向碰撞力，通過第二類拉格朗日方程建立平面五桿機(jī)構(gòu)的完整動(dòng)力學(xué)模型；并通過數(shù)值分析證明了該分析方法的正確性，為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

1 五桿機(jī)構(gòu)間隙副模型

圖1所示的含間隙平面五桿機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)動(dòng)副B處存在徑向間隙r=R2-R1(R1、R2分別為小圓軸銷與大圓軸套的半徑)，軸銷與軸套中心距離為中心距e，其連線與X軸的夾角為間隙方位角θ。各桿桿長(zhǎng)與質(zhì)量分別為l1，l2，l3，l4，l5，m1，m2，m3，m4，各桿的質(zhì)心與位置角分別為 S1，S2，S3，S4，φ1，φ2，φ3，φ4；lSi為各桿質(zhì)心到回轉(zhuǎn)軸的距離，Ji為各桿件繞通過質(zhì)心且與回轉(zhuǎn)軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(i=1，2，3，4)。xSi，ySi為各構(gòu)件質(zhì)心Si在坐標(biāo)系oxy中的橫縱坐標(biāo)。為了正確描述軸銷與軸套由于間隙發(fā)生碰撞時(shí)的能量損失和撞擊深度，選擇連續(xù)接觸碰撞力模型［2］［6］。圖 1 中所示的 Fn，F(xiàn)t為含間隙關(guān)節(jié)元素之間發(fā)生碰撞時(shí)的法相接觸力與切向接觸力。Fx，F(xiàn)y為碰撞力在坐標(biāo)系oxy中沿x，y方向的分量。該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 平面五桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.1 碰撞接觸條件

根據(jù)軸銷與軸套之間的幾何關(guān)系定義碰撞解除條件為:

且變形量為δ=e-r。

不妨設(shè)中心距e在x，y方向的分量為ex，ey，間隙方位角θ為軸銷與軸套中心連線與x軸的夾角。如圖1所示，該機(jī)構(gòu)含鉸間隙的位置方程為

其中:

式(3)中

由式(2)可知間隙方位角為

發(fā)生接觸時(shí)，軸銷相對(duì)軸套的切向速度和法向速度為

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

要建立含關(guān)節(jié)間隙的五桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，必須知道各構(gòu)件的角速度和質(zhì)心速度。所以必須先進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

由于該機(jī)構(gòu)在鉸點(diǎn)B處存在間隙，所以該機(jī)構(gòu)的自由度由2變?yōu)?。相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為 q=[φ1，φ4，ex，ey]T。其中各桿質(zhì)心的坐標(biāo)為:

[l1cosφ1+l2cosφ2+l3cosφ3+lS4cosφ4+ex，lS4sinφ4]，根 據(jù)以上結(jié)論與式(2)可以寫出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一般表達(dá)式:

將式(6)求導(dǎo)，即可得出構(gòu)件i的角速度和質(zhì)心Si在坐標(biāo)系oxy中的速度、；它們均為廣義坐標(biāo)qi=[φ1，φ4，ex，ey]T和廣義速度的函數(shù)

質(zhì)心Si的速度為:

1.3 連續(xù)接觸碰撞力模型

關(guān)節(jié)間隙元素在連續(xù)接觸碰撞過程中的接觸碰撞力模型是含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析必須考慮的內(nèi)容。一般接觸碰撞力模型為Hertz接觸模型，該模型通常適用于運(yùn)動(dòng)副含有大間隙小載荷的接觸碰撞問題，且該模型忽略了碰撞過程中的能量損失。為了考慮關(guān)節(jié)間隙元素在碰撞過程中的能量損失，本文采用Lankarani-Nikravesh模型［13］，該模型是基于Hertz接觸力表達(dá)公式并能描述碰撞過程中的能量損失。其表達(dá)式為:

式中，Kδn代表碰撞過程的彈性變形描述了碰撞過程中的能量損失，K為碰撞體的接觸剛度系數(shù)，D為碰撞過程中的阻尼系數(shù)，n為非線性彈簧接觸力系數(shù)。

式中:v和E分別表示為泊松比和楊氏模量。

式中:ce為恢復(fù)系數(shù)( )-為撞擊點(diǎn)的初始相對(duì)速度。

把式(10)與式(11)代入式(9)得到間隙鉸接觸碰撞力模型為

1.4 間隙副的摩擦力模型

間隙鉸切向接觸特性可以通過切向摩擦力模型來描述，含間隙關(guān)節(jié)元素在接觸碰撞時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與切向相對(duì)碰撞速度相反的切向摩擦力。考慮的摩擦模型為不考慮潤滑的干摩擦模型，為了能夠準(zhǔn)確的描述間隙關(guān)節(jié)元素間的干摩擦行為和相對(duì)低速下出現(xiàn)的粘質(zhì)和微滑現(xiàn)象，以及避免數(shù)值計(jì)算中切向速度變化時(shí)出現(xiàn)摩擦力突變。采用由Ambrósio［14］提出的修正Coulomb摩擦力模型圖 2，該模型中引入了動(dòng)態(tài)修正系數(shù)cd，因此其切向摩擦力除了與滑動(dòng)摩擦系數(shù)μd有關(guān)外，還與動(dòng)態(tài)修正系數(shù)cd有關(guān)。該摩擦力模型是一種動(dòng)態(tài)摩擦力。

圖2 修正Coulomb摩擦力模型

式中:cd的表達(dá)式為:

式中:v0和vm為接觸表面相對(duì)切向速度的極限值。

根據(jù)以上分析結(jié)論，將Fn，F(xiàn)t向x，y方向分解為

2 五桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

為建立含關(guān)節(jié)間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)將應(yīng)用第二類拉格朗日方程

式中:qi(i=1，2，3，4)為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，F(xiàn)i為系統(tǒng)廣義外力，E為系統(tǒng)動(dòng)能，U為系統(tǒng)勢(shì)能，D為系統(tǒng)耗散能。

1)對(duì)于平面五桿機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)能為:

2)系統(tǒng)勢(shì)能為:

3)系統(tǒng)耗散能為:

式中:當(dāng) δ＞0 時(shí)，K=K0；當(dāng) δ≤0 時(shí)，K=0；K0為軸銷與軸套間的接觸剛度。Cφi，Cθ，Cxi，Cyi為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)變量的當(dāng)量阻尼系數(shù)。

4)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的4個(gè)廣義坐標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的廣義力［15］。

該系統(tǒng)所受外力分別為:

F1=m1gj，F(xiàn)2=m2gj，F(xiàn)c=Fxi+Fyj

F3=m3gj，F(xiàn)4=m4gj

該系統(tǒng)所受外力分別對(duì)應(yīng)的矢徑為:

系統(tǒng)的廣義力為:

把式(17)、(18)、(19)、(21)代入式(16)可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

其中:系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為4×4的方陣，系統(tǒng)廣義外力Q為4×1的列陣。

3 動(dòng)態(tài)特性分析

仿真參數(shù)見表2。

表2 動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)

圖3是通過表1與表2中的參數(shù)利用ADAMS軟件建立的考慮關(guān)節(jié)間隙的五桿機(jī)構(gòu)模型。

圖3 含關(guān)節(jié)間隙的五桿機(jī)構(gòu)模型

3.1 仿真結(jié)果

通過ADAMS軟件對(duì)含關(guān)節(jié)間隙(B關(guān)節(jié))的五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)仿真，得到了圖4。從圖(a)(l2與l3的相對(duì)角位移)可知關(guān)節(jié)間隙對(duì)構(gòu)件角位移幾乎沒有影響。從圖(b-c)(l3質(zhì)心的速度)可知關(guān)節(jié)間隙對(duì)構(gòu)件速度的影響不太明顯，基本與理想機(jī)構(gòu)的速度保持一致。從圖(d-e)(l3質(zhì)心的加速度)可知關(guān)節(jié)間隙對(duì)構(gòu)件加速度的影響極其顯著，引起了系統(tǒng)的高頻振蕩。從圖(f)(間隙關(guān)節(jié)的接觸力與理想關(guān)節(jié)反力的對(duì)比圖)可知理想關(guān)節(jié)反力與間隙關(guān)節(jié)接觸力相比幾乎趨近于0。從圖(g)(曲柄l1的驅(qū)動(dòng)力矩)可知關(guān)節(jié)間隙對(duì)該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩具有明顯的影響，且呈數(shù)量級(jí)跳動(dòng)，導(dǎo)致理想機(jī)構(gòu)下的驅(qū)動(dòng)力矩與含關(guān)節(jié)間隙下驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)比時(shí)趨近于0。

圖4 仿真結(jié)果

4 結(jié)論

1)以五桿機(jī)構(gòu)為研究基礎(chǔ)，考慮了其中一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的間隙，列出了該機(jī)構(gòu)含間隙時(shí)的位置方程，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)分析，導(dǎo)出了接觸體之間的相對(duì)切向與法向接觸速度。基于Lankarani-Nikravesh接觸力模型建立了間隙關(guān)節(jié)的法向接觸力模型，并利用修正的Coulomb摩擦力模型建立了間隙關(guān)節(jié)的切向接觸力模型。最后通過接觸力與廣義外力之間的關(guān)系把間隙關(guān)節(jié)的接觸力模型嵌入到該機(jī)構(gòu)的第二類拉格朗日方程中。

2)利用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)含關(guān)節(jié)間隙的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了分析，得到關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的位移幾乎沒有影響，對(duì)機(jī)構(gòu)速度特性具有較小影響，而對(duì)機(jī)構(gòu)的加速度與關(guān)節(jié)反力的影響最明顯。機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩也明顯受關(guān)節(jié)間隙的影響。由此可得，關(guān)節(jié)間隙對(duì)五桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響不容忽視。

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