楊 曄

（淮安信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，江蘇 淮安223003）

0 引 言

針對金融投資收益問題，近年來的研究熱點(diǎn)是利用種群進(jìn)化方法來獲得最優(yōu)投資比。群體智能進(jìn)化計(jì)算方法［1］的最大的優(yōu)點(diǎn)是具有較快地搜索速度，解決復(fù)雜函數(shù)問題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢。由于其具有較好的尋優(yōu)性能，粒子群算法及其改進(jìn)算法目前大量應(yīng)用于各種工程優(yōu)化。目前粒子群優(yōu)化算法收斂性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明僅通過簡化的差分方程和遞歸方程得出，部分算法在實(shí)際應(yīng)用中被有效推廣。最近幾年，混沌粒子群算法被研究［2］，這種方法是混合粒子群算法，基于基本的粒子群算法，保留了重要的速度和位置更新公式，引入了混沌算法做局部搜索，從而提高整個(gè)算法的搜索精度。粒子群算法和混沌算法有機(jī)結(jié)合的算法稱為混沌粒子群算法，算法整個(gè)過程分為粒子群優(yōu)化和混沌優(yōu)化兩個(gè)關(guān)鍵部分［3］。利用基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，混沌粒子群算法減小了時(shí)間復(fù)雜度和粒子群算法在進(jìn)化后期容易早熟的問題。近年來，混沌粒子群算法得到了廣泛的應(yīng)用和不斷的改進(jìn)?；煦缌Ｗ尤核惴ū粦?yīng)用于大規(guī)模非線性方程組求解，機(jī)器學(xué)習(xí)的聚類算法和Ostu算法結(jié)合應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像分割［3，4］，以及電力系統(tǒng)的無功最優(yōu)潮流計(jì)算等。新的混沌粒子群算法主要通過引入自適應(yīng)方法，通過改變慣性權(quán)重，來避免混沌粒子群算法隨機(jī)性較重，容易陷入局部最優(yōu)解的問題。

但是，混沌粒子群算法和相應(yīng)的改進(jìn)算法，都存在著種群局部搜索隨機(jī)性偏大的問題［5］，使得算法精度不高。本文利用免疫因子的抗體濃度來提高低適應(yīng)度粒子更新概率，以混沌決策作為最優(yōu)解搜索機(jī)制，有效地減小了混沌算法隨機(jī)選擇粒子的問題，提高了搜索精度，并通過實(shí)驗(yàn)和仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。

1 基于抗體濃度和混沌決策粒子群算法

1.1 帶有慣性權(quán)重的粒子群算法

粒子群算法，通過種群的進(jìn)化找到最優(yōu)解。種群迭代過程中，粒子通過自身性和社會(huì)性可以來改變目前的位置和速度。局部最優(yōu)解是當(dāng)前粒子找到的最優(yōu)解，另一個(gè)極值被稱為全局最優(yōu)值，是當(dāng)前種群找到的最優(yōu)解。粒子根據(jù)全局最優(yōu)值和局部最優(yōu)值，利用如下的公式來改變自己的速度和現(xiàn)在的位置

在式 （1）和式 （2）中，pi，j表示局部最優(yōu)值，pg表示全局最優(yōu)值。C1和C2代表學(xué)習(xí)因子。w代表慣性權(quán)重。

1.2 基于抗體濃度和混沌決策粒子群算法

粒子群算法從改進(jìn)上來講，主要是針對求解的粒子根據(jù)一定的決策標(biāo)準(zhǔn)來獲得具有最優(yōu)適應(yīng)度值的候選粒子。本文從粒子的適應(yīng)度計(jì)算及隨機(jī)計(jì)算的概率出發(fā)，利用免疫算法對適應(yīng)度低的粒子賦予較高的選擇概率，增強(qiáng)粒子的社會(huì)搜索能力，同時(shí)利用混沌算法對粒子的局部最優(yōu)搜索解進(jìn)行決策。

免疫系統(tǒng)中包括兩類淋巴細(xì)胞，一類產(chǎn)生抗體，另一類負(fù)責(zé)記憶抗原。部分細(xì)胞還負(fù)責(zé)一些調(diào)節(jié)免疫的功能。文獻(xiàn) ［6］說明生物免疫系統(tǒng)具有諸多優(yōu)勢，能對各種外來刺激做出對應(yīng)的反應(yīng)、免疫環(huán)節(jié)結(jié)束后可以產(chǎn)生對應(yīng)的記憶功能。免疫系統(tǒng)還具有很多特點(diǎn)，例如抗體具有記憶功能、調(diào)節(jié)功能、多樣性等，免疫細(xì)胞的特性引起了很多學(xué)者的關(guān)注，大量文獻(xiàn)把免疫學(xué)特征應(yīng)用到進(jìn)化計(jì)算，群體智能等相關(guān)領(lǐng)域。生物信息學(xué)中，也把免疫系統(tǒng)的這些特點(diǎn)作為信息處理的重要方法和手段。

種群進(jìn)化更新過程中，理想狀態(tài)下應(yīng)該盡可能保留適應(yīng)度較高的個(gè)體，但是適應(yīng)度高的個(gè)體集中后，部分種群十分密集，則個(gè)體的多樣性會(huì)遭到一定程度的破壞，這也是算法陷入局部最優(yōu)的重要原因，適應(yīng)度較差的一些個(gè)體可能具有在下個(gè)進(jìn)化階段中較好的進(jìn)化趨勢。因此，多選擇多種群，不同濃度進(jìn)化的機(jī)制，可以使得下一代個(gè)體擁有各個(gè)適應(yīng)度不同范圍的粒子，十分有利于提高后期種群進(jìn)化的多樣性。

一個(gè)粒子的濃度定義為

與其中一個(gè)粒子相關(guān)的抗體數(shù)量越多，說明該粒子將不會(huì)被下一次進(jìn)化中所利用。反之，抗體越少，粒子被選中的概率就會(huì)增加。使得低適應(yīng)度的粒子也能夠參與進(jìn)化，保持種群的多樣性。基于抗體濃度個(gè)體選擇理論有效避免了后期容易出現(xiàn)的成熟現(xiàn)象。

對于粒子局部解的搜索利用混沌算法，將決策變量引入到映射為 ［0，1］之間的混沌變量中，映射公式為

產(chǎn)生混沌變量之后，需要在迭代過程中不斷更新混沌變量，公式如下

混沌迭代后，需要將混沌變量轉(zhuǎn)化為決策變量，利用公式如下

為了減小混沌搜索的時(shí)間復(fù)雜度，引入了區(qū)域壓縮公式

式 （8）和式 （9）中xg，j表示決策變量當(dāng)前全局最優(yōu)值，r為壓縮因子。上述公式可以在進(jìn)行混沌搜索過程中不斷減小收縮范圍為，減小了時(shí)間復(fù)雜度，但是同時(shí)也破壞了粒子的多樣性，使得粒子社會(huì)性減弱，從而影響搜索精度。

1.3 算法步驟

具體的算法步驟見表1。

表1 算法步驟

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 測試函數(shù)和環(huán)境

測試函數(shù)選用最新的6個(gè)測試函數(shù)［7］，測試環(huán)境為：Matlab R2009，Windows XP。硬件為Core i3 3.3GHz，2GB DDR3 1.6GHz.

測試函數(shù)見表2。

表2 測試函數(shù)

選擇CLSPSO和本文算法進(jìn)行對比測試。CLSPSO具有較好的精度和收斂速度，并且CLSPSO由2004年提出，得到廣泛應(yīng)用和改進(jìn)。和算法CLSPSO比較，可以證明異步變化學(xué)習(xí)因子對粒子社會(huì)性和自身學(xué)習(xí)性能的調(diào)節(jié)。

測試函數(shù)的搜索區(qū)間見表3。

表3 測試函數(shù)搜索區(qū)間

2.2 測試結(jié)果

搜索精度對比見表4。

表4 搜索精度對比

搜索時(shí)間對比見表5。

表5 搜索時(shí)間對比

兩種算法在F1上的測試結(jié)果如圖1所示。

圖1 兩種算法在F1上的測試結(jié)果

兩種算法在F2上的測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 兩種算法在F2上的測試結(jié)果

從圖3中可以看出，本文算法在函數(shù)F3上的時(shí)間復(fù)雜度略高。但從整體收斂趨勢來看，本文算法在第三個(gè)函數(shù)中收斂速度最快。

圖3 兩種算法在F3上的測試結(jié)果

兩種算法在F4上的測試結(jié)果如圖4所示。

圖4 兩種算法在F4上的測試結(jié)果

從圖1～圖4可以看出，基本混沌算法的收斂在迭代初期呈漸進(jìn)收斂狀態(tài)，而本文算法的收斂曲線收斂速度較快。

圖5表明兩種算法收斂速度幾乎相同，新算法的精度較高。

圖5 兩種算法在F5上的測試結(jié)果

兩種算法在F6上的測試結(jié)果如圖6所示。

圖6 兩種算法在F6上的測試結(jié)果

從數(shù)值仿真中可以看出，本文算法在6個(gè)函數(shù)上的精度均高于CLSPSO。新算法的時(shí)間比CLSPSO略高。分析其原因，可能是本文算法引入了免疫因子和免疫因子濃度的計(jì)算，選擇增加了進(jìn)化過程中的時(shí)間復(fù)雜度。

2.3 實(shí)例仿真

在禁止融券的均值方差組合模型和無風(fēng)險(xiǎn)借貸假設(shè)下，投資者需要在有效邊界上做出組合方案。一般情況下，投資人會(huì)把從一定收益水平下方差最小的投資組合作為最優(yōu)方案［8，10］。馬克維茲資產(chǎn)組合使得投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小化。多樣化投資意味著投資人還應(yīng)該挑選相關(guān)系數(shù)偏低的證券，其中還隱含資金投資于不同企業(yè)。

根據(jù)證券的期望回報(bào)率，回報(bào)率方差和證券三者的相互關(guān)系，分析其中的信息，利用最優(yōu)化方法，就可以辨識出最優(yōu)化投資組合。在2012年，上海大眾，上海通用和廣汽豐田的資產(chǎn)收益率年均值分別為0.12，0.09，0.06。3種資產(chǎn)關(guān)系的協(xié)方差矩陣為

為了使得求出最小風(fēng)險(xiǎn)組合，而且同時(shí)要求預(yù)期收益為0.1，可以得到如下最優(yōu)化模型

最小風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合模型為優(yōu)化式 （11）中的參數(shù)，同時(shí)需要滿足式 （12）的約束條件。

問題轉(zhuǎn)化為求解3個(gè)變量帶有約束條件的函數(shù)最優(yōu)值，利用本文算法求解，并對比分析其性能。

股票投資比例標(biāo)稱值見表6。

表6 股票投資比例標(biāo)稱值

CLSPSO計(jì)算結(jié)果見表7。

表7 CLSPSO計(jì)算結(jié)果

本文算法計(jì)算結(jié)果見表8。

表8 本文算法計(jì)算結(jié)果

兩種算法求解問題的性能如圖7所示。

圖7 兩種方法的收斂曲線

從表7和表8可以看出，本文算法可以獲得更優(yōu)的投資比，并且從圖7可以看出，本文算法對于相同規(guī)模問題進(jìn)行求解時(shí)，收斂速度較快，具有更好的適用性。

3 結(jié)束語

本文提出了基于抗體濃度和混沌決策粒子群算法，基于混沌算法和免疫因子濃度的概念，在迭代過程中，根據(jù)免疫因子中根據(jù)抗體對抗原的篩選操作，在保留適應(yīng)度較高的粒子的同時(shí)，加強(qiáng)了各個(gè)粒子的社會(huì)性和保持了粒子的多樣性，增強(qiáng)了粒子群的全局搜索能力和搜索進(jìn)度。將其算法用于投資比的求解中同樣也得到了較好的優(yōu)化解，且計(jì)算的速度較快，應(yīng)用性強(qiáng)。

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