陳為華 代美麗 尹德玉

（日照職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 日照276826）

概率論和統(tǒng)計學(xué)是研究自然界中大量隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學(xué)。隨機現(xiàn)象是客觀世界中廣泛存在的一類自然現(xiàn)象，它具有三個特點：（1）一次觀測的不確定性；（2）大量觀測具有統(tǒng)計規(guī)律性；（3）每次觀測結(jié)果可數(shù)據(jù)表示。概率論從數(shù)學(xué)觀點研究隨機現(xiàn)象的基本性質(zhì)；統(tǒng)計學(xué)從搜集到的隨機數(shù)據(jù)，估計或推斷隨機現(xiàn)象的基本特性，這兩本學(xué)科已經(jīng)形成一門理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速，方法獨特的數(shù)學(xué)分支。

1 賭博中的問題、隨機游戲——概率論的起源

概率論創(chuàng)立于17世紀(jì)，但它的思想萌芽一般來說始于意大利文藝復(fù)興時代，最先引起數(shù)學(xué)家們注意的則是賭博中的問題。15世紀(jì)意大利和法國賭博盛行，而且賭法復(fù)雜，賭注量大。一些職業(yè)賭徒，為求增加獲勝的機會，迫切需要計算獲勝的思路，如意大利貴族請?zhí)煳膶W(xué)家伽利略（1564-1642）解釋下列問題：擲三個篩子，出現(xiàn)9點與10點的各種六種不同組合法，但在經(jīng)驗上，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)10點的次數(shù)多于9點，是何緣故？伽利略給出了使對方信服的答復(fù)：

三個骰子各面點數(shù)構(gòu)成總和為 9 的各種組合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3； 而組合等于 10 的各種組合為：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。 而各種組合出現(xiàn)的機會并非相等。 例如，3、3、3只有一種途徑擲出；而3、3、4則有三種不同途徑擲出；這樣，9可有25種不同途徑擲出；10則有27種不同途徑擲出。這一解答成為概率論應(yīng)用題的首次成果。

另一位法國賭徒梅耳提出了一個擲骰子中的難題：擲一粒骰子4次至少出現(xiàn)一個6的機會要比擲兩粒骰子4次至少出現(xiàn)一對6的機會更大些，這是否成立？這就是有名的“梅耳猜想”。他拜請法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(1623-1662)來解答，這一問題引起了帕斯卡和他的朋友費馬的極大興趣，經(jīng)過多次通信研究，于1654年對此問題獲得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是對的，并奠定了近代概率論和組合分析基礎(chǔ)。

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，出現(xiàn)某個點數(shù)的可能性的大小，并討論了博弈中有限個等可能的情況問題。他的研究成果集中體現(xiàn)在他的《論賭博》一書中，由于賭博中的概率問題最為典型，因此，從這個問題開始研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，便成為當(dāng)時數(shù)學(xué)研究的一個重要課題，但這時期對博弈問題討論的思想方法尚未形成獨立的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

2 社會保險與社會實踐的需要——概率論的發(fā)展

概率論發(fā)展的直接動力在于實踐中應(yīng)用，特別是社會保險中的需要。17世紀(jì)資本主義工業(yè)和商業(yè)的興起和發(fā)展，是社會保險應(yīng)運而生，各種意外事件發(fā)生的概率，如火災(zāi)、水災(zāi)等，這就大大刺激了對概率問題的研究。也正是對這些問題的研究，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，是一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科——概率論的誕生。其中做出突出貢獻的數(shù)學(xué)家有帕斯卡、費馬、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、費馬基于排列組合的方法，討論了賭博中的賭注分配問題，為古典概率的形成提供了思想基礎(chǔ)，帕斯卡在他的《論算術(shù)三角形》中用組合數(shù)學(xué)方法計算只涉及有限個基本條件的概率問題，稱為組合概率。1657年荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)表了《論賭博中的推理》的重要論文，提出了數(shù)學(xué)期望的概念。伯努利把概率論的發(fā)展向前推進了一步，于1713年出版了《度術(shù)》，指出概率是頻率的穩(wěn)定值。他第一次闡明了大數(shù)定律的意義。在單一的概率與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之內(nèi)建立了關(guān)系，為概率論推向更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域奠定了理論基礎(chǔ)。

概率論的諸多重要定理是在18世紀(jì)提出和建立起來的，例如，1718年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)表了重要著作《機遇原理》書中敘述了概率乘法公式和復(fù)合事件概率的計算方法，并在1733年發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布密度函數(shù)，但他沒有把這一結(jié)果應(yīng)用到實際數(shù)據(jù)中。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將棣莫弗的結(jié)果推廣到一般的情形。即現(xiàn)在所指的棣莫弗—拉普拉斯定理，這是概率論中的第二個基本定理，拉普拉斯對概率的意義如何抽象化做出了杰出的貢獻，提出了概率的古典定義，并把概率論有效的應(yīng)用到人口統(tǒng)計學(xué)等社會各領(lǐng)域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲學(xué)探討》。在《分析概率》中，拉普拉斯不僅實現(xiàn)了概率方法上的革命，而且系統(tǒng)整理了18世紀(jì)之前概率論所處理過的所有重要的問題。德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)展了誤差理論，并提出了最小二乘法。一些數(shù)學(xué)家開始注意把等可能思想推廣到含有無數(shù)個可能性的情況，從而產(chǎn)生了幾何概率。法國數(shù)學(xué)家蒲豐在其《或然算術(shù)問題》中提出了有名的 “蒲豐問題”。對這一問題的研究導(dǎo)致了著名的蒙特卡洛方法的產(chǎn)生。泊松提出了一種重要的概率分布——泊松分布。

3 中心極限定理與概率論公理體系的建立

到19世紀(jì)末，概率論的主要研究內(nèi)容已基本形成，但有兩個問題從理論上沒有解決：

一是概率論的公理體系；二是中心極限定理成立的條件。1928年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫總結(jié)前人之大成，提出了概率論公理體系即概率的公理化定義，給出了柯爾莫戈洛夫不等式，這是證明大數(shù)定律的重要工具。

概率論里所說的極限定理，主要研究隨機變量序列的各種收斂性問題，其中包括兩種類型定理：一是大數(shù)定律；二是中心極限定理。中心極限定理的名稱是美國數(shù)學(xué)家波利亞1920年提出的。歷史上最初的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，條件A出現(xiàn)的次數(shù)漸進于正態(tài)分布的問題。中心極限定理早在1730年棣莫弗就研究過。隨后拉普拉斯用了將近20年的時間研究獨立隨機變量及分布，提出了其極限分布是正態(tài)分布，然而他的證明不夠嚴(yán)格。數(shù)學(xué)家李亞普諾夫于1901年給出了嚴(yán)格的證明，在證明過程中他提出了特征函數(shù)這一非常有用的工具，自1901年起許多人在這方面做過工作，主要目標(biāo)是研究使中心極限定理成立的最廣泛條件，直到1922年才有突破性進展。林德伯爾格提出了以他的名字命名的條件，到1935年美國數(shù)學(xué)家南斯拉夫—費勒發(fā)現(xiàn)：在獨立隨機變量數(shù)列情況下，這個條件不僅是充分條件，甚至在一定條件下還是必要的。

4 各種隨機過程的形成與概率論的現(xiàn)代應(yīng)用

自20世紀(jì)初開始，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的概率問題的大量出現(xiàn)，概率論得以迅速發(fā)展，并不斷誕生出一系列新的分支理論，其理論方法在科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及國民經(jīng)濟各部門日益受到更廣泛的應(yīng)用。當(dāng)代概率論的研究方向主要是隨機過程，隨機過程是研究無窮多個隨機變量的集合，它是現(xiàn)實世界中隨時間變化的隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象，如某地區(qū)每年的降雨量；百貨公司每天接待顧客人數(shù)等，隨機過程的發(fā)展與力學(xué)體系理論有密切的關(guān)系，馬爾可夫推廣了大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用范圍，奠定了隨機過程的發(fā)展基礎(chǔ)，他提出的馬爾可夫過程，是現(xiàn)代概率論的基本內(nèi)容。在理論物理、化學(xué)和其他方面有著廣泛應(yīng)用。

早在20世紀(jì)30年代末至50年代初，著名數(shù)學(xué)家杜布和萊維就創(chuàng)立了鞅論。鞅論理論的發(fā)現(xiàn)不僅成為隨機過程中最活躍的分支之一，而且還愈來愈廣泛地應(yīng)用于馬氏過程、點過程、估計理論、隨機控制等理論分支及其應(yīng)用領(lǐng)域。另外，隨機過程與基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合，又產(chǎn)生了一些新的邊沿分支，如與微分方程、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)論、幾何、計算數(shù)學(xué)等相結(jié)合，便產(chǎn)生了隨機微分方程、隨機過程統(tǒng)計、幾何概率、計算概率等新分支。這樣，當(dāng)代概率論的研究方向大致可分為極限理論、馬爾可夫過程、獨立增量過程、平衡過程、鞅論和隨機微分方程、數(shù)理統(tǒng)計學(xué)等。

［1］李玉琪.數(shù)學(xué)方法論[M].?？冢耗虾３霭婀?1990.

［2］解恩澤,徐本順.數(shù)學(xué)思想方法[M].濟南：山東教育出版社,1989.