王長(zhǎng)森，林國煒

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

積分方程組解的正則性與對(duì)稱性

王長(zhǎng)森，林國煒

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

將討論下列含貝塞爾核積分方程組正解的對(duì)稱性，即：

(1)

(2)

設(shè)(u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN)為式(1)的正解，則式(1)解是徑向?qū)ΨQ的。

積分方程組；貝塞爾核；徑向?qū)ΨQ

0 引言

本文將討論下列含貝塞爾核積分方程組正解的對(duì)稱性，即：

(3)

(4)

特別的，當(dāng)u=v,p=q,β=τ=0時(shí)，式(3)簡(jiǎn)化成：

(5)

在文獻(xiàn)[8]中，對(duì)于貝塞爾勢(shì)能的sobolevinepuality(Bα(f)=Gα*f,α>0;Bα(f)=f,α=0,這里*表示函數(shù)間的卷積)：

(6)

當(dāng)β=τ=0時(shí)，在文獻(xiàn)[9]中討論了方程組(3)正解的徑向?qū)ΨQ性，同時(shí)也討論了當(dāng)α=2,β=τ=0時(shí)解的唯一性。如果β≠0,τ≠0時(shí)，在文獻(xiàn)[9]中建立了關(guān)于貝塞爾勢(shì)能帶雙權(quán)Hardy-Littlewood-Sobolevinequality，即：

(7)

在文獻(xiàn)[6]中已證出下面積分方程組：

(8)

正解的徑向?qū)ΨQ性和局部H?lder連續(xù)性。

式(3)是關(guān)于式(7)的Euler-Lagrange方程。為了得到不等式式(7)中的最佳常數(shù)，定義最大函數(shù)：

在‖f‖r=‖h‖s=1的條件下，則對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程為下面積分方程組：

(9)

當(dāng)貝塞爾核Gα(x)可以被Riesz核替代時(shí)，則式(3)就化成：

(10)

(11)

在文獻(xiàn)[4]中，通過移動(dòng)平面法已證出方程組(10)正解的徑向?qū)ΨQ性。此外，研究者也采用在文獻(xiàn)[7]中的正則性提升方法，得出理想的積分區(qū)間和漸近性，讀者可以查閱在文獻(xiàn)[1-3,5,7,13-14]中更多的應(yīng)用。

本文主要討論在式(4)條件下，式(3)正解的徑向?qū)ΨQ性，即：在(u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN)為式(3)的正解，則解(u,v)是徑向?qū)ΨQ的。

1 引理及其命題

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，定義：∑λ={x=(x1,x2,…,xN)∈RN|x1≤λ},Tλ={x∈RN|x1=λ}。對(duì)于x∈∑λ，令xλ=(2λ-x1,x2,…,xN)，定義：uλ(x)=u(xλ),vλ(x)=v(xλ)。

引理1：對(duì)于式(3)的任意正解，有：

(12)

(13)

在上等式中應(yīng)用了在RN中Gα是徑向?qū)ΨQ的，即有|xλ-y|=|x-yλ|，在上等式中x用xλ代替有：

因此，

同理，v(x)-vλ(x)也是成立的。證畢。

(14)

(15)

此命題的證明可參考文獻(xiàn)[6]。

2 主要結(jié)果及其證明

在這一部分，應(yīng)用上述的引理及其命題證明出本文的主要結(jié)果，將采用文獻(xiàn)[2]中的移動(dòng)平面法來證明本文的主要結(jié)果，本文主要結(jié)果如下。

定理1：設(shè)(u,v)為式(3)的任意一個(gè)正解，則此解是徑向?qū)ΨQ的，并且關(guān)于RN中某些點(diǎn)是單調(diào)遞減的。

證明：首先，證明對(duì)于充分小的負(fù)數(shù)λ，有：

u(x)≤u(xλ),v(x)≤v(xλ),?x∈∑λ

(16)

事實(shí)上，令：

通過對(duì)最新腦科學(xué)研究成果的解讀，我們可以看到腦科學(xué)的研究已經(jīng)走到了與其他多學(xué)科交叉的關(guān)鍵時(shí)刻，而且物理、化學(xué)等多種方法在腦科學(xué)研究中的運(yùn)用一再突破腦科學(xué)的極限，使最終觀測(cè)大腦實(shí)時(shí)活動(dòng)成為可能。

wλ(x)=u(x)-u(xλ),zλ(x)=v(x)-v(xλ)。

以及，

由于，

|x-y|<|xλ-y|,|y|>|yλ|,?x,xλ,yλ∈∑λ，

根據(jù)p,q>1以及式(4)知：

(17)

選擇合適的d1,d2使得：

(18)

由式(4)可知：

(19)

因此，由命題1及H?ler不等式可推出：

(20)

以及，

(21)

所以，

(22)

根據(jù)(u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN),對(duì)于充分小的的負(fù)數(shù)λ，有：

因此有：

接下來，連續(xù)的增大λ的值，也就是說，在式(13)成立的條件下，將平面Tλ往右平移。下面將證明通過這樣移動(dòng)平面Tλ，這種平移直到剛好平移到原點(diǎn)才停止。

事實(shí)上，令：

λ0=sup{λ|u(x)-uλ(x)≤0,v(x)-vλ(x)≤0,?x∈∑λ}

(23)

顯然λ0≤0,接下來斷言：

λ0=0

(24)

事實(shí)上，若λ0<0,則存在x0,x1∈∑λ0,使得：u(x0)=uλ0(x0),v(x1)=vλ0(x1)。由引理1及xλ0=(x0)λ0有：

根據(jù)在∑λ0中，有|x0|>|xλ0|,|y|>|yλ0|,所以，在∑λ0中有：

此外，在∑λ0中還有|x0-y|<|xλ0-y|，從而可知：

v(x)=vλ0(x)=0,a.e.x∈∑λ0

也就有v(x)≡0,這與v是正數(shù)就相矛盾，所以有：

u(x)

同理可證：

v(x)

由(u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN),則對(duì)?ε>0,?R>0,使得：

由Lusin定理知，對(duì)?δ>0,?一個(gè)閉集Fδ滿足Fδ?BR(0)∪∑λ0=E,m(E-Fδ)<δ,使得wλ0|Fδ,zλ0|Fδ是連續(xù)的。

在∑λ0中有wλ0,zλ0<0,在Fδ中有wλ0,zλ0<0。選擇ε0>0并充分的小，使得對(duì)?λ∈[λ0,λ0+ε0)，在Fδ中有wλ,zλ<0，對(duì)于這樣的λ有：

選擇充分小的ε,δ,ε0，使得：

因此，

另一方面，采用同樣的方式，可將平面從x1方向的正無窮遠(yuǎn)處往x1=0平移，這樣可得u(x),v(x)關(guān)于x1=0是徑向?qū)ΨQ及單調(diào)遞減的。此外，x1的方向可以是任意選取的，所以u(píng)(x),v(x)關(guān)于原點(diǎn)是徑向?qū)ΨQ的及嚴(yán)格單調(diào)的。證畢。

[1] Chen W,Li C.Regularity of solutions for a system of integral equations[J].Comm Pure Appl Anal,2005,4:1-8.

[2]Chen W,Li C,Ou B.Classification of solutions for an integral equation[J].Comm Pure Appl Math,2006,59:330-343.

[3]Chen W,Li C,Ou B.Classification of solutions for a system of integral equations[J].Comm PDE,2005,30:59-65.

[4]Jin C,Li C.Symmetry of solutions to some systems of integral equations[J].Proc Amer Math Soc,2006,134:1661-1670.

[5]Jin C,Li C.Qualitative analysis of some system of integral equations[J].Calc Var PDE,2006,26:447-457.

[6]Chen X,Yang J.Regularity and symmetry of positive solutions of an integral system[J].Acta Math Sci,2012,32B:1759-1780.

[7]Chen W,Jin C,Li C,etal.Weighted Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities and systens of Integral equations[J].Disc Cont Dyn Sys,2005,suppl:164-172.

[8]Ma L,Chen D.Radial symmetry and montonicity for an integral equation[J].J Math Anal Appl,2008,342:943-949.

[9]Ma L,Chen D.Radial symmetry and uniqueness for positive solutions of a Schr? dinger type Systems[J].Mathematical and Computer Modelling,2009,49:379-385.

[10]Ma L,Zhao L.Uniqueness of ground states of some coupled nonlinear Schr?dinger systems and their application[J].J Diffe Equa,2008,245:2551-2565.

[11]Stein E,Weiss G.Fractional integrals in n-dimension Euclidean spaces[J].Journ Math Mech,1958,7:503-514.

[12]Li Y.Remark on some conformlly invariant integral equations:The method of moving spheres[J].J Eur Math Soc,2004,6:153-180.

[13]Xu J,Tan Z.Classification of solutions for a class of singuar integral system[J].Acta Mathematica Scientia,2011,31:1449-1456.

[14]Zhao Y,Lei Y.Asymptotic behavior of positive solutions of a nonlinear integral system[J].Nonlinear Anal,2012,75:1989-1999.

RegularityandSysmmetryofSolutionsofanIntegralSystems

WANG Changsen,LIN Guowei

(Jiangxi Normal University.College of Mathematic and Information Science,330022,Nanchang,PRC)

In this paper,we are concerned with symmetry of solutions of the following nonlinear integral system：

(1)

(2)

Let (u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN) be a positive solution of(1).We show that the solution of(1) is symmetric.

integral system;bessel kernel;radially symmetry

2014-07-15;

2014-09-09

王長(zhǎng)森(1989-)，男，江西上饒人，碩士研究生，主要從事帶權(quán)的積分方程的研究。

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào):11361029)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(編號(hào):GJJ14270)。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.05.002

O175.2

A

1001-3679(2014)05-0573-05