屈 改 珠

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，714000，陜西 渭南)

保持多項式子空間的三階非線性平方算子的分類

屈 改 珠

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，714000，陜西 渭南)

利用不變子空間方法研究三階非線性平方算子，得到了三階非線性平方算子在它所容許的多項式不變子空間中的分類，從而求出相應方程的精確解。文中的結(jié)果推廣了不變子空間理論在非線性偏微分方程中的應用。

不變子空間；三階非線性平方算子；廣義分離變量解

0 引言

不變子空間方法最初由Galaktionov提出，它是與廣義條件對稱[1-4]密切相關(guān)的構(gòu)造非線性偏微分方程精確解的非常有效的方法。在文獻[5]中，Galaktionov利用不變子空間方法研究帶有二次非線性項的演化方程的廣義分離變量解。事實證明，很多來自于數(shù)學、工程學、物理學等領(lǐng)域的非線性演化方程(組)的精確解都可以由不變子空間方法得到[6-9]。

下面介紹不變子空間方法?？紤]一階演化方程

ut=F[u]

(1)

同時Ci(t)滿足下面的有限維動力系統(tǒng)：

注意到Wn=L{f1(x),…,fn(x)}是由n階線性常微分方程的解空間生成

L[y]≡y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0

(2)

從式(2)可以得到Wn關(guān)于F的不變條件為

L[F[u]]|[H]≡0

(3)

這里用[H]表示方程L[u]=0以及它關(guān)于x求各階導數(shù)后的等式。

1 主要結(jié)果

本文主要利用不變子空間方法研究允許多項式不變子空間的三階非線性平方算子

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2+b9uux+b10u2

(4)

根據(jù)最大維定理，討論微分算子(4)容許多項式不變子空間Wn，n=2,…,7，即

Wn=L{1,x,…,xn-1},n≥2

(5)

命題1：多項式不變子空間(5)在三階非線性平方算子(4)下不變，僅存在以下情況：

1)當n=2時，有b10=0，即

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2+b9uux；

2)當n=3時，有b9=b10=0，即

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2；

證明過程類似于文獻[7]。下面給出2個求相應偏微分方程精確解的例子。

u(x,t)=c1(t)+c2(t)x+c3(t)x2+c4(t)x3+c5(t)x4+c6(t)x5+c7(t)x6，

其中ci(t)滿足下面的常微分方程組

求解上述方程組，可得原方程具有以下形式的解

u=(b-6x)(b5-30b4x-72b3x2-4 752b2x3-7 072bx4-7 776x5)/46 656(T-14 400t)，

這里b是任意正實數(shù)，T>0是爆破時間，該解在T=14 400t時刻爆破。

u(x,t)=c1(t)+c2(t)x+c3(t)x2+c4(t)x3，

同時ci(t)滿足有限維動力系統(tǒng)

求解上述方程組，可得原方程具有以下形式的解

該解當t→0時發(fā)生爆破。

[1] Fokas A S,Liu Q M.Generalized conditional symmetries and exact solutions of nonintegrable equations[J].Theor Math Phys,1994,99:263-277.

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ClassificationofThird-orderNonlinearQuadraticOperatorsPreservingPolynomialSubspaces

QU Gaizhu

(School of Mathematics and Information Science,Weinan Normal University,714000,Weinan,Shannxi,PRC)

Using the invariant subspace method,the third-order nonlinear quadratic operators is discussed,the full classifications of polynomial invariant subspace admitted by the third-order quadratic operators are derived,moreover,some explicit solutions to the resulting evolution equations with third-order nonlinear quadratic operators are constructed.The obtaining results further extend the applications of invariant subspace theory in the PDEs.

invariant subspace;third-order nonlinear quadratic operators;generalized separation of variables solution

2014-08-28;

2014-10-08

屈改珠(1978-)，女，陜西蒲城人，講師，博士研究生，從事偏微分方程研究。

國家自然科學基金項目(11371293)；陜西省教育廳基金項目(14JK1246)；陜西省軍民融合研究基金項目(13JMR13)；陜西省重點學科數(shù)學學科基金項目(14SXZD015)；渭南市基礎研究計劃項目(2013JCYJ-4)。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.05.001

O175.29

A

1001-3679(2014)05-0571-03