崔潤卿，李幸蘭，2

(1.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003;2.中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院基礎(chǔ)課部，寧夏銀川750011)

修正矩陣Drazin逆的表示

崔潤卿1，李幸蘭1，2

(1.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003;2.中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院基礎(chǔ)課部，寧夏銀川750011)

以往文獻(xiàn)給出了類似Sherman－Morrison－Woodbury式的修正矩陣Drazin逆的表達(dá)式及基于廣義Schur補(bǔ)的修正矩陣Drazin逆的表達(dá)式.論文在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，給出了另外一組不同的條件求得了修正矩陣Drazin逆的表達(dá)式，其表達(dá)式與上述結(jié)果相似，同時補(bǔ)充了群逆的情況.

Drazin逆;修正矩陣;廣義Schur補(bǔ);冪零

廣義逆作為矩陣論的一個重要分支及其在工程計(jì)算上面的廣泛應(yīng)用，近幾十年來一直是矩陣論領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一［1－14］，而Drazin逆作為廣義逆中獨(dú)特的一份子也得到了長足的發(fā)展［1－9］.

Drazin逆在微分方程、自動化、數(shù)值分析等諸多領(lǐng)域扮演著重要的角色，具有廣泛的應(yīng)用.目前對于Drazin逆的研究主要包含Drazin逆的表示、Drazin逆的擾動邊界等，且已發(fā)展到不同的代數(shù)空間上.修正矩陣是在一個基矩陣基礎(chǔ)上的擾動矩陣(或稱誤差矩陣)，它在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

一個關(guān)于求逆的眾所周知的Sherman－Morrison－Woodbury式為

這里矩陣A、D和Schur補(bǔ)D－BA－1C都是可逆的.這個式子已經(jīng)在MP廣義逆中得到推廣，并在Drazin逆和加權(quán)廣義逆中的推廣得到了研究.研究這個問題的學(xué)者從不同方面進(jìn)行研究，一部分通過研究廣義Schur補(bǔ)非奇異或等于零時修正矩陣Drazin逆的表示［2－7］，另一部分研究更為廣泛的例子即廣義Schur補(bǔ)不需要證明非奇異或等于零時修正矩陣Drazin逆的表示［8－9］.

1 主要結(jié)果及證明

設(shè)A∈Cn×n，其中Cn×n為全體n階復(fù)矩陣集合.考慮矩陣序列A1，A2，A3，…，Ak，Ak+1，…，有rank (Ak+1)=rank(Ak).A的指數(shù)ind(A)定義為使等式

成立的最小非負(fù)整數(shù)k.

定義1設(shè)A∈Cn×n，其指數(shù)ind(A)=k，若方陣X滿足

則稱X為A的Drazin逆，記作AD.特別地，當(dāng)k=1時，AD稱為A的群逆，記作A#.并記

性質(zhì)1 ADAπ=AπAD=0，AAπ=AπA，(Aπ)2=Aπ.

定理1設(shè)A，B，C，D∈Cn×n，ind(A)=k，Z=D－BADC，若

(1)DZD+Zπ=0;

(2)BAπ=0;

(3)(A－CDDB)AD=AD(A－CDDB);

(4)AADC－CDDD+CDDZ=0;

(5)BAAD+DDDB－ZDDB=0.

則

此外，有

證明令X為式(2)的右邊，先證明

因?yàn)?/p>

上式證明過程中用到了定理1中的條件(4)，且

則證明了

下面證明

因?yàn)?/p>

則XAX=X證明完畢.

下面證明

因?yàn)?/p>

AkXA=Ak與A－A2X冪零等價，所以證明A－A2X冪零即可.

因?yàn)?/p>

則

又因?yàn)?/p>

所以(A－CDDB)－(A－CDDB)2(A－CDDB)D是冪零的，且

推論1設(shè)A，B，C∈Cn×n，ind(A)=k，Z=I－BADC，若

則

此外，有

推論2設(shè)A，B，C∈Cn×n，ind(A)=k，Z=I－BADC，若

則

此外，有

推論3在推論1、2的條件下，若ind(A)=1，則A有群逆A#且有ind(A－CB)=1，因此有

推論4設(shè)A，B∈Cn×n，ind(A)=k，Z=I－BAD，若

則

此外，有

這幾個推論給出了修正矩陣另外兩種形式下的Drazin逆的情況.

［1］Dopazo E，Martínez－Serrano M F.On deriving the Drazin inverse of a modified matrix［J］.Linear Algebre Appl，2011，in press.

［2］Wei Y M.The Drazin inverse of amodified matrix［J］.Applied Mathematics and Computation，2002，125:295－301.

［3］Cvetkovic'－Ilic'D S，Wei Y.Representations for the Drazin inverse ofbounded operators on Banach space［J］.Electron Linear Algebra，2009，18:613－627.

［4］Hartwig R E，Li X，Wei Y.Representations for the Drazin inverse of 2×2 block matrix［J］.Matrix Anal Appl，2006，27:757－771.

［5］Martínez－Serrano M F，Castro－González N.On the Drazin inverse of block matrices and generalized Schur complement［J］.Appl Math Comput，2009，215:2733－2740.

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［8］Deng C Y.On the invertibility of the operator A－XB Numer［J］.Linear Algebra Appl，2009，16:817－831.

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［10］Wang G Y，Wei Y M，Qiao SZ.Generalized inverse:theory and computations［M］.Beijing:Science Press，2006: 251－254.

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［12］程云鵬.矩陣論［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002:353－360.

［13］侯雙根，李洪昌.關(guān)于廣義逆矩陣A～的兩個計(jì)算公式［J］.河南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1992(3): 73－76.

［14］王松桂.廣義逆矩陣及其應(yīng)用［M］.北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社，1996:31－36.

(責(zé)任編輯 朱夜明)

Representations of the Drazin inverse of a modified matrix

CUIRun－qing1，LIXing－lan1，2
(1.School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，China; 2.Department of Basic，China University of Mining and Technology Yinchuan College，Yinchuan 750011，China)

The representations of the Sherman－Morrison－Woodbury for the Drazin inverse of a modified matrix and the representations of a modified matrix through the generalized Schur complement have been given in other papers.In this paper，we extended those results，and gave another different condition to get representations for the Drazin inverse of amodified matrix，and the representations were similar to results above.At last，we supplement the situation of the group inverse.

Drazin inverse;modified matrix;generalized Schur complement;niplotent

O151.21

A

1000－2162(2014)04－0009－04

10.3969/j.issn.1000－2162.2014.04.002

2013－12－15

河南省高等教育教學(xué)改革研究省級立項(xiàng)項(xiàng)目(2012SJGLX125)

崔潤卿(1966—)，男，河南偃師人，河南理工大學(xué)副教授.