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(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

一種七自由度冗余機(jī)械臂的奇異構(gòu)形特征分析

史士財(cái)，尹斌，蔣再男

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

總結(jié)了對(duì)七自由度冗余機(jī)械臂進(jìn)行奇異性分析的常用方法，并引入了一種基于相關(guān)旋量抑制的方法。采用這種方法，對(duì)一種構(gòu)型與加拿大臂2相同的七自由度冗余機(jī)械臂進(jìn)行了奇異性分析，得出了七自由度冗余機(jī)械臂出現(xiàn)奇異時(shí)的5種情況。為了深入和形象地理解機(jī)械臂的奇異構(gòu)形，針對(duì)每種情況進(jìn)行了詳細(xì)分析，得出了每種情況對(duì)應(yīng)的奇異構(gòu)形的幾何特征，并用圖解形式直觀地給出了奇異構(gòu)形的例子。

七自由度冗余機(jī)械臂；奇異性分析；相關(guān)旋量抑制方法；奇異構(gòu)形特征

0 引言

七自由度機(jī)械臂是能夠完成多維空間任務(wù)的冗余機(jī)械臂中結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單的，同時(shí)也具有了操作靈活、避障、避奇異和力矩優(yōu)化等優(yōu)點(diǎn)，因而得到學(xué)術(shù)界的關(guān)注，并得到廣泛應(yīng)用。加拿大臂2(Canadarm2)[1]和SPDM(special purpose dexterous manipulator)[2]都采用了七自由度的構(gòu)形，并在國(guó)際空間站的建設(shè)和維護(hù)中做出重要貢獻(xiàn)。七自由度冗余機(jī)械臂的奇異性分析，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制器算法設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)[3-7]。在此，采用了參考文獻(xiàn)[5]中提出的相關(guān)旋量抑制的方法，分析了一種七自由度冗余機(jī)械臂的奇異性。

1 相關(guān)旋量抑制的方法

相關(guān)旋量抑制的方法是一種針對(duì)七自由度冗余機(jī)械臂失去1個(gè)自由度的奇異性分析方法，這種方法簡(jiǎn)化了奇異性分析的復(fù)雜運(yùn)算過(guò)程。對(duì)一個(gè)七自由度冗余機(jī)械臂，它的旋量矩陣可以表示為[$]=[$1$2$3$4$5$6$7]，$i為第i關(guān)節(jié)的旋量。當(dāng)機(jī)械臂處于奇異構(gòu)形時(shí)，這個(gè)6×7的旋量矩陣將欠秩。為了方便敘述，稱這7個(gè)關(guān)節(jié)旋量中任意6個(gè)的集合為基旋量，對(duì)應(yīng)的旋量矩陣稱為基子矩陣。采用該方法，對(duì)七自由度機(jī)械臂進(jìn)行奇異性分析，需要經(jīng)過(guò)以下2步。

a.找出基子矩陣不滿秩的條件。當(dāng)基子矩陣不滿秩時(shí)，滿足以下等式：

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)、式(2)，可以得到七自由度冗余機(jī)械臂出現(xiàn)奇異構(gòu)形的條件。

2 一種七自由度機(jī)械臂的奇異性分析

2.1 七自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本次的研究對(duì)象是一個(gè)七自由度機(jī)械臂，采用R⊥R⊥R∥R∥R⊥R⊥R的自由度配置，R代表旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，⊥代表2個(gè)關(guān)節(jié)的軸線相互垂直，∥代表2個(gè)關(guān)節(jié)的軸線相互平行，與Canadarm2構(gòu)型[8]相同，但結(jié)構(gòu)參數(shù)不一樣。該機(jī)械臂的D-H參數(shù)如表1所示。

表1 七自由度機(jī)械臂D-H參數(shù)

序號(hào)θi/(°)di/mmai-1/mmαi-1/(°)10a000290a109030a20-9040a4a3050a6a506-90a7090790a80-90

由于關(guān)節(jié)1的旋量表達(dá)式較為復(fù)雜，故選擇關(guān)節(jié)2～關(guān)節(jié)7的關(guān)節(jié)旋量作為基旋量。同時(shí)，為簡(jiǎn)化關(guān)節(jié)旋量的計(jì)算[9]，選擇關(guān)節(jié)5的坐標(biāo)系F5-x5y5z5為參考坐標(biāo)系計(jì)算各個(gè)關(guān)節(jié)的旋量。該七自由度冗余機(jī)械臂的關(guān)節(jié)旋量矩陣為：

5[$]=[5$15$25$35$45$55$65$7]

基子矩陣為：

(3)

2.2 基子矩陣欠秩的條件

s4s6(a3c3+a3c34+a6s345)=0

(4)

要使式(4)成立，需滿足以下情況。

第1種情況：

s4=0

(5)

第2種情況：

s6=0

(6)

第3種情況：

a3c3+a3c34+a6s345=0

(7)

2.3 旋量矩陣欠秩的額外條件

基子矩陣不滿秩的條件有3種情況，如式(5)～式(7)。在此，將針對(duì)每種情況，先找出相關(guān)旋量，然后計(jì)算抑制矩陣不滿秩的條件，從而得出旋量矩陣欠秩的額外條件。

2.3.1 第1種情況

(8)

2.3.2 第2種情況

推導(dǎo)方法與第1種情況相同，在此不再贅述，直接給出結(jié)果。這種情況下七自由度冗余機(jī)械臂出現(xiàn)奇異分別有2種情況：

(9)

(10)

2.3.3 第3種情況

推導(dǎo)方法與第1種情況相同，在此不再贅述，直接給出結(jié)果。這種情況下七自由度冗余機(jī)械臂出現(xiàn)奇異分別有2種情況：

(11)

(12)

機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度關(guān)系只要在滿足5個(gè)方程式組中的任意1個(gè)，就會(huì)出現(xiàn)失去1個(gè)自由度的奇異構(gòu)形。

3 七自由度機(jī)械臂奇異構(gòu)形的特征分析及圖解

為了對(duì)七自由度機(jī)械臂的奇異構(gòu)形有一個(gè)形象的理解，分析了機(jī)械臂出現(xiàn)奇異時(shí)所具有的構(gòu)形特征，對(duì)每種情況給出例子，用圖解的形式來(lái)表示。

3.1 第1種情況

這種情況對(duì)應(yīng)式(8)。s4=0，即關(guān)節(jié)4的角度為0°或±180°，又關(guān)節(jié)3，4，5的軸線相互平行，故關(guān)節(jié)3，4，5的軸線共面。

第2個(gè)式子由于過(guò)于復(fù)雜，沒(méi)有分析出它對(duì)應(yīng)的幾何意義。但此時(shí)可以看作是關(guān)節(jié)4固定，即等價(jià)為一個(gè)構(gòu)型為R⊥R⊥R∥R⊥R⊥R的六自由度機(jī)械臂，失去1個(gè)自由度時(shí)的奇異構(gòu)形。這里給出這種情況下的特例，各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為[0° 0° 0° 0° 0° 0° 0°]，即機(jī)械臂處于零位姿時(shí)，機(jī)械臂的構(gòu)形如圖1所示；各個(gè)關(guān)節(jié)角度為[0° 0° 0° 180° 0° 0° 0°]時(shí)，機(jī)械臂的構(gòu)形如圖2所示。

語(yǔ)文組“深入”探討此次研學(xué)活動(dòng)后，對(duì)以下四方面進(jìn)行了整合思考：（1）跨學(xué)科主題與學(xué)科內(nèi)主題的整合（天壇的傳統(tǒng)文化）；（2）研究課程的“縱深”關(guān)系（研究話題的整合，任務(wù)直指核心能力）；（3）研學(xué)活動(dòng)的傳統(tǒng)文化價(jià)值；（4）“后研學(xué)”活動(dòng)的開(kāi)展。

圖1 第1種奇異構(gòu)形的例子1

圖2 第1種奇異構(gòu)形的例子2

3.2 第2種情況

這種情況對(duì)應(yīng)式(9)。此時(shí)，關(guān)節(jié)2角度為0°或±180°，意味著關(guān)節(jié)1的軸線與關(guān)節(jié)3的軸線平行；關(guān)節(jié)6角度為0°或±180°，意味著關(guān)節(jié)7的軸線與關(guān)節(jié)5的軸線平行。又因?yàn)殛P(guān)節(jié)3，4，5的軸線相互平行，因此，這種情況下機(jī)械臂的奇異構(gòu)形特征是：關(guān)節(jié)1，3，4，5，7的軸線相互平行。

這里給出這種情況下的例子，取各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為[0° 0° 20° 50° -30° 180° 70°]，機(jī)械臂的構(gòu)形如圖3所示。

圖3 第2種奇異構(gòu)形的例子

3.3 第3種情況

這種情況對(duì)應(yīng)式(10)。

a.分析1。關(guān)節(jié)6角度為0°或±180°，則關(guān)節(jié)7的軸線與關(guān)節(jié)5的軸線平行，6號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面與關(guān)節(jié)7的軸線、關(guān)節(jié)5的軸線形成的平面共面。

b.分析2。1號(hào)坐標(biāo)系到6號(hào)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣的(1，4)元素，即x分量為c6(-a3c5-a3c45+a1s345)，顯然，此時(shí)x分量為0，即1號(hào)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于6號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面上。

圖4 第3種奇異構(gòu)形的特例

綜上可知，這種情況下機(jī)械臂的奇異構(gòu)形特征為：關(guān)節(jié)7的軸線與關(guān)節(jié)5的軸線平行，且1號(hào)坐標(biāo)系原點(diǎn)位于關(guān)節(jié)7的軸線、關(guān)節(jié)5的軸線所形成的y-z平面上。

圖5 第4種奇異構(gòu)形的例子

3.4 第4種情況

這種情況對(duì)應(yīng)式(11)。

a.分析1。s2=0，則關(guān)節(jié)1的軸線與關(guān)節(jié)3的軸線平行，2號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面與關(guān)節(jié)1的軸線和關(guān)節(jié)3軸線形成的平面共面。

b.分析2。6號(hào)坐標(biāo)系到2號(hào)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣的(1，4)元素，即x分量為a3c3+a3c34+a6s345，顯然，x分量為0，即6號(hào)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于2號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面。

綜上可知，這種情況下機(jī)械臂的奇異構(gòu)形特征是：關(guān)節(jié)1的軸線平行于關(guān)節(jié)3的軸線，且6號(hào)坐標(biāo)系原點(diǎn)位于關(guān)節(jié)1的軸線和關(guān)節(jié)3的軸線所形成的平面上。

這里給出這種情況下的一個(gè)特例，各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為[15° 180° 45° 90° -135° 45° 30°]，機(jī)械臂的構(gòu)形如圖5所示。

3.5 第5種情況

這種情況對(duì)應(yīng)式(12)。

a.分析1。6號(hào)坐標(biāo)系到2號(hào)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣的(1，4)元素，即x分量為a3c3+a3c34+a6s345，顯然，x分量為0，即6號(hào)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于2號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面。

b.分析2。6號(hào)坐標(biāo)系到1號(hào)坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換矩陣的(2，4)元素，即y分量為-a1+a3s3+a3s34-a6c345，顯然，y分量為0，即6號(hào)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于1號(hào)坐標(biāo)系的x-z平面。

綜上可知，這種情況下的奇異構(gòu)形特征是：6號(hào)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于一條線上，這條線是由1號(hào)坐標(biāo)系的x-z平面和2號(hào)坐標(biāo)系的y-z平面相交形成的。

這里給出這種情況下的一個(gè)特例，各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為[0° 0° 80.319° 175° -99.681° 45° 0°]，機(jī)械臂的構(gòu)形如圖6所示。

圖6 第5種奇異構(gòu)形的例子

4 結(jié)束語(yǔ)

采用相關(guān)旋量抑制的方法，對(duì)一種構(gòu)型與Canadarm2相同的七自由度機(jī)械臂進(jìn)行了奇異性分析，得出了機(jī)械臂出現(xiàn)奇異的5種條件。為使對(duì)七自由度冗余機(jī)械臂奇異構(gòu)形的理解不局限在公式層面，詳細(xì)分析了每種條件，給出了每種條件對(duì)應(yīng)的奇異構(gòu)形特征，并用圖解形式直觀地給出了奇異構(gòu)形的例子。所用的分析方法和結(jié)論,適用于與本文機(jī)械臂構(gòu)型相同的任何七自由度冗余機(jī)械臂。

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Features Analysis of Singular Configurations of a 7-DOF Redundant Manipulator

SHIShicai，YINBin，JIANGZainan

(State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

Popular methods for singular analysis of a 7degrees of freedom (DOF) redundant manipulator are summarized. A depend-screw suppression approach is introduced and applied to the singular analysis of a 7-DOF redundant manipulator，whose configuration is identical with Canadarm2. Five sets of conditions defining singular configurations are obtained. In order to have a deep and visual understanding of singular configurations，each condition is analyzed in detail. Geometric features and illustration of singular configurations of the 7-DOF manipulator are presented.

7-DOF redundant manipulator; singularity analysis; dependent-screw suppression approach; feature of singular configurations

2014-06-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305097)；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20122302120046)

TP24

A

1001-2257(2014)10-0067-04

史士財(cái)(1978-)，男，遼寧遼中人，博士，副研究員，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)；尹斌(1989-)，男，河南新鄭人，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)；蔣再男(1982-)，男，安徽岳西人，博士，助理研究員，研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人遙操作、人機(jī)交互技術(shù)。