代 群,王長佳,李輝來

(1.長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春130022; 2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

用變分迭代法解分?jǐn)?shù)階微分方程組

代 群1,王長佳1,李輝來2

(1.長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春130022; 2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

用變分迭代法求解一類分?jǐn)?shù)階微分方程組,并改進(jìn)了校正函數(shù).數(shù)值結(jié)果表明,運(yùn)用變分迭代法求解分?jǐn)?shù)階微分方程組的近似解有效且準(zhǔn)確.

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 方程組; 變分迭代法； 校正函數(shù)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域,但絕大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的準(zhǔn)確解很難找到,因此研究分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值和解析算法十分必要.目前,同倫分析法已成功應(yīng)用于許多非線性問題中,如非線性Vakhnenko方程[1]和分?jǐn)?shù)階KdV-Burger-Kuramoto方程[2]等.文獻(xiàn)[3-4]將Adomian分解法應(yīng)用于求解線性和非線性分?jǐn)?shù)階微分方程中； Odibat等[5]提出了修正的同倫攝動(dòng)法,并將其應(yīng)用于求解分?jǐn)?shù)階Riccati微分方程中.Momani等[6]將變分迭代法應(yīng)用于求解一類分?jǐn)?shù)階微分方程中.

本文對(duì)變分迭代法進(jìn)行推廣,采用新的校正函數(shù)形式,將其應(yīng)用到下列分?jǐn)?shù)階微分方程組中:

其中Dai是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)算子,0

設(shè)Cμ={f(x)|f(x)|=xpg(x),g∈C[0,+∞),p>μ},對(duì)于f∈Cμ,定義α階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子[7]Jα如下：

其中J0f(x)=f(x).

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)算子Dα定義[7]如下：

其中:m-1<α≤m,m∈;x>

1 變分迭代法

變分迭代法不需要線性化和離散化,它能提供分析解顯而易見的符號(hào)項(xiàng)和數(shù)值近似解,可以應(yīng)用到線性和非線性問題中.

非線性分?jǐn)?shù)階微分方程可寫成下列形式：

Nu+Lu=g(t),

其中:L為線性算子;N為非線性算子.

根據(jù)變分迭代法[6],可建立n+1階校正函數(shù):

不妨設(shè)方程組(1)的第i個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程可寫成下列形式：

Dαixi=Nxi+Lxi+g(t).

（3）

建立方程(3)的n+1階校正函數(shù):

(4)

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1考慮如下線性分?jǐn)?shù)階微分方程組：

初始條件：

當(dāng)α=β=1時(shí),方程組的準(zhǔn)確解為

由變分迭代法(4),建立方程組(5)-(6)的n+1階校正函數(shù)為:

由變分理論和式(7),有

從而

解得λ1(τ)=-et-τ.同理由式(8)可得λ2(τ)=-et-τ.結(jié)合廣義Taylor展式[8]可分別得方程組解的迭代公式:

從而可得近似解:

表1列出了用變分迭代法求解方程組(5)(取α=β=1)的第3階近似解和精確解的值.由表1可見,當(dāng)α=β=1時(shí),方程組(5)的近似解與準(zhǔn)確解高度一致.本文僅計(jì)算了第3階的近似解,如果想提高近似度,可以利用變分迭代法計(jì)算更高階的近似解.

表1 方程組(5)中當(dāng)α=β=1時(shí)第3階近似解和精確解的值Table 1 Third-order approximate and exact solutions for system (5) obtained at the values of α=β=1

例2考慮如下線性分?jǐn)?shù)階微分方程組：

初始條件：

當(dāng)α=β=1時(shí),方程組的準(zhǔn)確解為

由變分迭代法(4),建立方程組(9)-(10)的n+1階校正函數(shù)為:

由變分理論和式(11),有

解得λ1(τ)=-e(t-τ)/2.同理由式(12)可得λ2(τ)=-et-τ.結(jié)合廣義Taylor展式分別可得方程組解的迭代公式:

從而可得近似解:

表2列出了用變分迭代法求解方程組(9)(取α=β=1)的第2階近似解和精確解的值.由表2可見,當(dāng)α=β=1時(shí),方程組(9)的近似解與準(zhǔn)確解高度一致,比例1的近似度更高,且更穩(wěn)定.本文只計(jì)算了第2階的近似解,如果想提高近似度,可以利用變分迭代法計(jì)算更高階的近似解.

表2 方程組(9)中當(dāng)α=β=1時(shí)第2階近似解和精確解的值Table 2 Second-order approximate and exact solutions for system (9) obtained at the values of α=β=1

綜上,本文改進(jìn)了校正函數(shù),擴(kuò)大了運(yùn)用變分迭代法求解分?jǐn)?shù)階微分方程組的范圍.在例1和例2中,只用變分迭代法計(jì)算了方程組的第2階或第3階近似解,數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)α=β=1時(shí),方程組的近似解與準(zhǔn)確解高度一致,且穩(wěn)定性較高,因此運(yùn)用變分迭代法求解分?jǐn)?shù)階方程組有效、 準(zhǔn)確.

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[7]代群,李輝來.一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2012,50(1): 1-5.(DAI Qun,LI Huilai.Blowing-up Solutions of a Type of Nonlinear System of Fractional Differential Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(1): 1-5.)

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

SolvingSystemsofFractionalDifferentialEquationsbyVariationalIterationMethod

DAI Qun1,WANG Changjia1,LI Huilai2
(1.CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;
2.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

The authors described approximate solutions for systems of fractional differential equations by the variational iteration method,and modified the correction function.Numerical results reveal that variational iteration method is very effective and accurate for obtaining approximate solutions of systems of fractional differential equations.

fractional derivative; system of equation; variational iteration method; correction function

2014-02-27.

代 群(1981—),女,漢族,博士,講師,從事微分方程的研究,E-mail: daiqun1130@163.com.通信作者： 李輝來(1962—),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,從事微分方程的研究,E-mail: lihuilai@mail.jlu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): 11326078).

O175.1

A

1671-5489(2014)05-0901-05