李凌躍, 徐曉偉

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

(φ1*…*φn)(a1,…,an)=φ1(a1)…φn(an), (a1,…,an)∈R1×…×Rn.

結(jié)合環(huán)上的Jordan多重同態(tài)

李凌躍, 徐曉偉

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

通過引入Jordan多重同態(tài)、多重同態(tài)和布爾同態(tài)的概念, 利用布爾同態(tài)給出有1結(jié)合環(huán)上Jordan多重同態(tài)的結(jié)構(gòu), 并討論一些特殊環(huán)上布爾同態(tài)的一般形式.結(jié)果表明, 有1結(jié)合環(huán)上Jordan多重同態(tài)即為多重同態(tài).

Jordan多重同態(tài); 多重同態(tài); Jordan布爾同態(tài); 布爾同態(tài)

0 引言與預(yù)備知識

結(jié)合環(huán)上導(dǎo)子和環(huán)同態(tài)是兩類重要的映射.關(guān)于多重導(dǎo)子的研究目前已有很多結(jié)果, Bre?ar等證明了非交換素環(huán)上的雙導(dǎo)子都是內(nèi)的, 即給出了素環(huán)上雙導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)[7]， 之后， 又給出了半素環(huán)上雙導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)[8]; Jung等[9]研究了素環(huán)和半素環(huán)上滿足恒等式的可換序3-導(dǎo)子; Park給出了素環(huán)和半素環(huán)上可換序4-導(dǎo)子類似的結(jié)果[10], 并討論了素環(huán)和半素環(huán)上的可換序n-導(dǎo)子[11]; 徐曉偉等[12]利用Bre?ar半素環(huán)雙導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)定理證明了半素環(huán)R上n-導(dǎo)子的像都在R的中心內(nèi); 王堯等[13]給出了一類特殊三角代數(shù)上n-導(dǎo)子的描述.

相對于Jordan同態(tài)和多重導(dǎo)子的研究, Jordan多重同態(tài)和多重同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)的研究也有一定的理論意義.基于此, 本文通過引入Jordan多重同態(tài)、多重同態(tài)和布爾同態(tài)的概念, 利用布爾同態(tài)給出了有1結(jié)合環(huán)上Jordan多重同態(tài)的結(jié)構(gòu), 進而說明了有1結(jié)合環(huán)上Jordan多重同態(tài)就是多重同態(tài).最后討論了一些特殊環(huán)上布爾同態(tài)的一般形式.

設(shè)R1,…,Rn和S均為環(huán), 映射f:R1×…×Rn→S, 對任意的i∈{1,2,…,n}及任意的(a1,…,an)∈R1×…×Rn,b∈Ri, 且:

1)f(a1,…,ai+b,…,an)=f(a1,…,ai,…,an)+f(a1,…,b,…,an);

3)f(a1,…,aibai,…,an)=f(a1,…,ai,…,an)f(a1,…,b,…,an)f(a1,…,ai,…,an);

4)f(a1,…,aib,…,an)=f(a1,…,ai,…,an)f(a1,…,b,…,an).

若條件1)～3)成立, 則稱f是R1×…×Rn到S的Jordann-重同態(tài); 若條件1),4)成立, 則稱f是R1×…×Rn到S的n-重同態(tài).

結(jié)合環(huán)上的(Jordan)n-重同態(tài)可視為固定任意n-1個變量后, 關(guān)于余下的一個變量的(Jordan)同態(tài).R1×R2到S的(Jordan)2-重同態(tài)也稱為(Jordan)雙同態(tài).設(shè)Sn表示n階對稱群,R1=…=Rn=R, 如果對任意的σ∈Sn及任意的a1,…,an∈R, 有f(a1,…,an)=f(aσ(1),…,aσ(n)), 則稱f是R×…×R到S的可換序(Jordan)n-重同態(tài).可換序(Jordan)2-重同態(tài)也稱為對稱(Jordan)雙同態(tài).

下面總設(shè)R1,…,Rn,R和S為有1結(jié)合環(huán), 且在無特殊說明情況下, 本文提到的環(huán)均為有1 結(jié)合環(huán), 但環(huán)同態(tài)不要求把單位元映成單位元.Mn(R)和Tn(R)分別表示環(huán)R的全矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán).eij是(i,j)分量為1、其余分量均為0的矩陣, 其行數(shù)、列數(shù)根據(jù)相應(yīng)情形而定.[a,b]表示a和b的換位子, 即有[a,b]=ab-ba.F2表示2元域,為自然數(shù)集.Morita Context環(huán)是指所有如下形式矩陣構(gòu)成的環(huán)其中:A,B為有1環(huán)；M為左A-右B-雙模,N為左B-右A-雙模,k1:M?N→A為雙A-模同態(tài),k2:N?M→B為雙B-模同態(tài).R中的矩陣按通常意義下的加法和如下定義的乘法構(gòu)成環(huán)： 對任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M,n,n′∈N, 有

有時k1(m?n)簡記為mn,k2(n?m)簡記為nm.

1 主要結(jié)果

引理1設(shè)f是R1×R2到S的Jordan雙同態(tài), 則對任意的a,b,c∈R1,x,y,z∈R2, 有:

1)f(a,x)=-f(a,x);

2)f([a,b],x)=f(a,[x,y])=0;

3)f(acb,x)=f(bca,x),f(a,xzy)=f(a,yzx);

4)f(a,x)=f(a,1)f(1,x), 且f(a,x)是冪等元;

5)f(a,x)f(b,y)=f(b,y)f(a,x).

證明: 1) 利用f(a+b,x2)的不同展開, 一方面,

f(a+b,x2)=f(a,x2)+f(b,x2);

另一方面,

從而

同理由f(a2,x+y)的不同展開知f(a,x)f(a,y)=-f(a,y)f(a,x), 再利用f((a+b)2,x)的不同展開, 一方面,

f((a+b)2,x)=f(a2,x)+f(b2,x)+f(ab+ba,x)；

另一方面, 由式(1)得

從而

在式(2)中取b=1, 有2f(a,x)=0.于是f(a,x)=-f(a,x).

2) 由1)和式(2)得

f([a,b],x)=f(ab-ba,x)=f(ab+ba,x)=0.

同理有f(a,[x,y])=0.

3) 利用f((a+b)c(a+b),x)的不同展開, 一方面,

另一方面, 由1)、式(1)及Jordan雙同態(tài)的定義知

從而由1)知f(acb,x)=f(bca,x).同理利用f(a,(x+y)z(x+y))的不同展開, 有f(a,xzy)=f(a,yzx).

4) 由Jordan雙同態(tài)的定義知f(a,1)=f(a,12)=f(a,1)2.從而f(a,1)是冪等元, 同理知f(1,a)是冪等元.此時由1)、式(1)及Jordan雙同態(tài)的定義知

在式(4)中取a=a+b, 有f(a+b,x)=f(a+b,1)f(a+b,x).展開并用式(4)及1)得

在式(5)中取b=1, 并用式(3),(4)得

f(a,1)f(1,x)=f(1,1)f(a,x)=f(1,1)f(a,1)f(a,x)=f(a,1)f(a,x)=f(a,x).

同理有f(1,x)f(a,1)=f(a,x).此時

從而由f(a,1)和f(1,x)是冪等元及式(6)知f(a,x)是冪等元.

5) 由1)及式(1),(6)知

證畢.

為了刻畫有1結(jié)合環(huán)上Jordan多重同態(tài)的結(jié)構(gòu), 下面引入Jordan布爾同態(tài)、布爾同態(tài)及*運算的概念.

定義1如果對任意的x∈R, 有φ(x)=φ(x)2, 則稱(Jordan)同態(tài)φ:R→S為R到S的(Jordan)布爾同態(tài).

定義2設(shè)映射φi:Ri→S(i=1,2,…,n), 定義映射φ1*…*φn:R1×…×Rn→S如下:

(φ1*…*φn)(a1,…,an)=φ1(a1)…φn(an), (a1,…,an)∈R1×…×Rn.

定義3設(shè)映射φi:Ri→S(i=1,2), 如果對任意的(a,b)∈R1×R2, 有φ1(a)φ2(b)=φ2(b)φ1(a).則稱φ1,φ2是交換的, 如果對任意的(a,b)∈R1×R2, 有φ1(a)φ2(b)=φ2(b)φ1(a)=0, 則稱φ1,φ2是正交的.

引理2結(jié)合環(huán)上Jordan布爾同態(tài)是布爾同態(tài).

證明: 設(shè)φ是R到S的Jordan布爾同態(tài), 則對任意的a,b∈R, 有

φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(a2)=φ(a)2=φ(a),φ(aba)=φ(a)φ(b)φ(a).

此時

2φ(a)=(2φ(a))2=4φ(a)2=4φ(a),

從而2φ(a)=0, 即

φ(a)=-φ(a).(7)

又由于

從而由式(7)得

φ(a)φ(b)=φ(b)φ(a).(8)

對任意的c∈R, 利用φ((a+b)c(a+b))的不同展開, 一方面, 由式(7),(8)得

另一方面,

φ((a+b)c(a+b))=φ(aca+acb+bca+bcb)=φ(aca)+φ(acb)+φ(bca)+φ(bcb).

從而由式(7)知

φ(acb)=φ(bca).(9)

在式(9)中取b=ac并用式(8)得

φ(ac)=φ(ac)2=φ((ac)2)=φ(acca)=φ(a)φ(c2)φ(a)=φ(a)φ(c).

由Jordan布爾同態(tài)的定義, 顯然有φ(a+c)=φ(a)+φ(c).于是φ是R到S的布爾同態(tài).證畢.

下面給出Jordan雙同態(tài)結(jié)構(gòu)的刻畫, 進而得到Jordan多重同態(tài)的結(jié)構(gòu).

定理1設(shè)f是R1×R2到S的映射, 則f是Jordan雙同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的布爾同態(tài)φ:R1→S,ψ:R2→S, 使得f=φ*ψ, 并且φ與ψ交換,φ(1)=ψ(1).

證明: 必要性.先證存在性.對任意的(a,x)∈R1×R2, 令φ(a)=f(a,1),ψ(x)=f(1,x).則由引理1中4),5)及引理2知φ:R1→S與ψ:R2→S是交換的布爾同態(tài), 且φ(1)=ψ(1).再由引理1中4)知, 對任意的(a,x)∈R1×R2, 有

f(a,x)=f(a,1)f(1,x)=φ(a)ψ(x)=(φ*ψ)(a,x).

下面證明唯一性.假設(shè)還有交換的布爾同態(tài)φ′和ψ′, 使得φ′(1)=ψ′(1)且f=φ′*ψ′, 則對任意的(a,x)∈R1×R2, 有(φ*ψ)(a,x)=(φ′*ψ′)(a,x).因而

故φ=φ′.同理有ψ=ψ′.

充分性.由于φ:R1→S與ψ:R2→S是交換的布爾同態(tài), 從而對任意的a,b∈R1,x,y∈R2, 有

同理有

故由定義知φ*ψ是R1×R2到S的Jordan雙同態(tài).證畢.

注1定理1中條件φ(1)=ψ(1)是必要的, 即φ(1)≠ψ(1)時,f分解不唯一.

例1設(shè)環(huán)R=S=F2×F2, 對任意的(a,b)∈R, 定義φ(a,b)=(0,b),ψ(a,b)=(b,b).易見φ和ψ是交換的布爾同態(tài), 且φ(1,1)≠ψ(1,1),φ*ψ=ψ*φ.令f=φ*ψ, 則由定理1知f為Jordan雙同態(tài), 但f分解不唯一.

推論1若f是R×R到S的映射, 則f是對稱Jordan雙同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的布爾同態(tài)φ:R→S, 使得f=φ*φ.

證明: 必要性.由定理1知, 存在唯一的布爾同態(tài)φ和ψ, 使得f=φ*ψ, 并且φ與ψ交換,φ(1)=ψ(1).由于f對稱, 故φ*ψ=ψ*φ.再由定理1中φ和ψ的唯一性知φ=ψ.最后由定理1中φ,ψ的唯一性知, 使得f=φ*φ的φ是唯一的.

充分性.由定理1知φ*φ顯然是對稱Jordan雙同態(tài).

推論2設(shè)f是R1×…×Rn到S的映射, 則f是Jordann-重同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的布爾同態(tài)φi:Ri→S,i∈{1,2,…,n}, 使得f=φ1*…*φn, 并且φ1,…,φn兩兩交換,φ1(1)=…=φn(1).進一步, 當(dāng)R1=…=Rn時,f是可換序的當(dāng)且僅當(dāng)φ1=…=φn.

證明: 必要性.先證存在性.固定Jordann-重同態(tài)f:R1×…×Rn→S的后n-2個變量, 可以將其視為Jordan雙同態(tài)k:R1×R2→S, 這里k(x1,x2)=f(x1,x2,a3，…,an), 其中: (a3,…,an)∈R3×…×Rn給定; (x1,x2)∈R1×R2任意.從而由引理1中4)知f(a1,…,an)是冪等元, 即有

此外, 對任意的(a1,…,an),(b1,…,bn)∈R1×…×Rn, 當(dāng)(a1-b1,…,an-bn)中非零分量的個數(shù)≤2時,f(a1,…,an)和f(b1,…,bn)可視為同一個Jordan雙同態(tài)的兩個像.從而由引理1中4),5)知f(a1,…,an)與f(b1,…,bn)交換, 且有

下面用歸納法證明Jordann-重同態(tài)f滿足

f(a1,…,an)=f(a1,1,…,1)…f(1,…,1,an),

其中(a1,…,an)∈R1×…×Rn.當(dāng)n=2時, 由定理1的證明知結(jié)論成立.當(dāng)n>2時, 假設(shè)結(jié)論對Jordan (n-1)-重同態(tài)成立, 即對Jordan (n-1)-重同態(tài)g:R1×…×Rn-1→S, 有

g(a1,…,an-1)=g(a1,1,…,1)…g(1,…,1,an-1), (a1,…,an-1)∈R1×…×Rn-1.

對Jordann-重同態(tài)f, 用an固定最后一個變量, 則f關(guān)于前n-1個變量可視為R1×…×Rn-1到S的Jordan (n-1)-重同態(tài), 即有Jordan (n-1)-重同態(tài)h:R1×…×Rn-1→S, 使得h(a1,…,an-1)=f(a1,…,an-1,an).此時由歸納假設(shè)及式(10),(11)知

令φi(ai)=f(1,…,1,ai,1,…,1),i∈{1,2,…,n}, 則由引理2知φi分別是Ri到S的同態(tài),φ1(1)=…=φn(1), 且φi是兩兩交換的冪等元, 且由式(12)知f(a1,…,an)=φ1(a1)…φn(an).

充分性.由Jordann-重同態(tài)的定義自然有f=φ1*…*φn是Jordann-重同態(tài).進一步,φ1=…=φn時f是可換序Jordann-重同態(tài).

結(jié)合環(huán)上Jordan同態(tài)與同態(tài)、反同態(tài)關(guān)系密切.下面考慮Jordan多重同態(tài)與多重同態(tài)、多重反同態(tài)的關(guān)系.一方面, 由定義易知多重同態(tài)和多重反同態(tài)是Jordan多重同態(tài); 另一方面, 若有n個布爾同態(tài)φi:Ri→S,i∈{1,2,…,n}, 使得f=φ1*…*φn, 并且φ1,…,φn兩兩交換,φ1(1)=…=φn(1), 則f是n-重同態(tài), 也是n-重反同態(tài).于是由定理1知, Jordann-重同態(tài)即為n-重同態(tài), 也為n-重反同態(tài), 從而有如下推論.

推論3設(shè)f是R1×…×Rn到S的映射, 則f是Jordann-重同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是n-重同態(tài), 當(dāng)且僅當(dāng)f是n-重反同態(tài).

引理3設(shè)φ:R→S是布爾同態(tài),E是由R中換位子和冪零元生成的理想, 則φ限制在E上為零.

證明: 設(shè)K為φ的核, 由同態(tài)基本定理知R/K?φ(R).由于φ是布爾同態(tài), 從而φ(R)中冪零元和換位子只能為零, 故R的冪零元和換位子均在K中, 即E?K, 從而φ限制在E上為零.證畢.

由于全矩陣環(huán)和列有限矩陣環(huán)都可以由換位子生成, 從而有:

例2設(shè)n≥2, 則Mn(R)到S的布爾同態(tài)必為零.

例3列有限矩陣環(huán)CFM(R)到S的布爾同態(tài)必為零.

證明: 設(shè)φ為列有限矩陣環(huán)CFM(R)到S的布爾同態(tài), 由引理3知, 對任意的i,j,k∈, 有

進而有

從而有CFM(R)=Kerφ, 即φ(CFM(R))=0.

Φ(A)=φ1(a11)+…+φn(ann).

φi(ai)φj(aj)=Φ(aieii)Φ(ajejj)=Φ((aieii)(ajejj))=0.

從而φ1,…,φn是R到S的兩兩正交的布爾同態(tài), 且

充分性.由Φ(A)=φ1(a11)+…+φn(ann)和φ1,…,φn的正交性知Φ(A)是環(huán)同態(tài), 且

Φ(A)2=(φ1(a11)+…+φn(ann))2=φ1(a11)+…+φn(ann)=Φ(A).

φ(a)ψ(b)=Φ(ae11)Φ(be22)=Φ((ae11)(be22))=0.

同理ψ(b)φ(a)=0.從而φ,ψ是正交的布爾同態(tài).又

同理有ψ(nm)=0, 且

充分性.由Φ(D)=φ(a)+ψ(b)和φ,ψ的正交性知Φ(D)是環(huán)同態(tài), 且

Φ(D)2=(φ(a)+ψ(b))2=φ(a)+ψ(b)=Φ(D).

[1]Jacobson N, Rickart C E.Jordan Homomorphisms of Rings [J].Trans Amer Math Soc, 1950, 69: 479-502.

[2]Herstein I N.Jordan Homomorphisms [J].Trans Amer Math Soc, 1956, 81: 331-341.

[3]Smiley M F.Jordan Homomorphisms onto Prime Rings [J].Trans Amer Math Soc, 1957, 84: 426-429.

[5]Bre?ar M.Jordan Homomorphisms Revisited [J].Math Proc Cambridge Philos Soc, 2008, 144(2): 317-328.

[6]WANG Yao, WANG Yu.Jordan Homomorphisms of Upper Triangular Matrix Rings [J].Linear Algebra Appl, 2013, 439(12): 4063-4069.

[7]Bre?ar M, Martindale W S, Miers C R.Centralizing Maps in Prime Rings with Involution [J].J Algebra, 1993, 161(2): 342-357.

[8]Bres?ar M.On Certain Pairs of Functions of Semiprime Rings [J].Proc Amer Math Soc, 1994, 120(3): 709-713.

[9]Jung Y S, Park K H.On Prime and Semiprime Rings with Permuting 3-Derivations [J].Bull Korean Math Soc, 2007, 44(4): 789-794.

[10]Park K H.On 4-Permuting 4-Derivations in Prime and Semiprime Rings [J].J Korean Soc Math Educ Ser B: Pure Appl Math, 2007, 14(4): 271-278.

[11]Park K H.On Prime and Semiprime Rings with Symmetricn-Derivations [J].Journal of the Chungcheong Mathematical Society, 2009, 22(3): 451-458.

[12]XU Xiaowei, LIU Yang, ZHANG Wei.Skewn-Derivations on Semiprime Rings [J].Bull Korean Math Soc, 2013, 50(6): 1863-1871.

[13]WANG Yao, WANG Yu, DU Yiqiu.n-Derivations of Triangular Algebras [J].Linear Algebra Appl, 2013, 439(2): 463-471.

JordanMulti-homomorphismsonAssociativeRings

LI Lingyue, XU Xiaowei
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We introduced the notions of Jordan multi-homomorphisms, multi-homomorphisms and Boolean homomorphism.Using Boolean homomorphisms, we described the structures of Jordan multi-homomorphisms on associative rings with identity, and then showed that a Jordan multi-homomorphism is a multi-homomorphism on associative rings with identity, and finally, gave general forms of Boolean homomorphisms on some special rings.

Jordan multi-homomorphism; multi-homomorphism; Jordan Boolean homomorphism; Boolean homomorphism

2014-03-14.

李凌躍(1989—), 女, 漢族, 碩士研究生, 從事環(huán)論的研究, E-mail: lingyue.li@gmail.com.通信作者: 徐曉偉(1978—), 男, 漢族, 博士, 副教授, 從事環(huán)論的研究, E-mail: xuxw@jlu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號： 11371165; 11101175).

O153.3

A

1671-5489(2014)06-1105-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.01

趙立芹)