全秀娥

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首416000)

基于PASCO轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置的質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量*

全秀娥

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首416000)

為提高實(shí)驗(yàn)的精確度，減少實(shí)驗(yàn)誤差，在PASCO轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置中運(yùn)用落體法對(duì)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行測(cè)量.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，下落加速度a應(yīng)取v-t圖像的斜率，并非a-t圖像的截距；對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)2次改變懸掛物的質(zhì)量m下落來(lái)消除阻力矩對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響；為了減少2次下落時(shí)阻力矩的誤差，懸掛物的質(zhì)量差Δm越小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確，相對(duì)誤差最小值達(dá)到0.54%.

PASCO轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；下落加速度；阻力矩

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是理工科院校本科生重要的基礎(chǔ)課程，是大學(xué)生進(jìn)入高校必修課程之一，其中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量是高校大學(xué)生必修的基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn).傳統(tǒng)的落體法在測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)忽略了阻力矩的影響，當(dāng)懸掛物的下落加速度a遠(yuǎn)小于重力加速度g時(shí)，忽略力矩mar這一項(xiàng)，且實(shí)驗(yàn)要求下落高度為h時(shí)，須從初速度為0開(kāi)始計(jì)時(shí)[1-2]，這些因素都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)較大的實(shí)驗(yàn)誤差.筆者利用PASCO轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量了質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，該裝置的傳感器利用了先進(jìn)的傳感技術(shù)，可實(shí)時(shí)采集物理量，計(jì)算機(jī)接口將來(lái)自傳感器的數(shù)據(jù)信號(hào)輸入計(jì)算機(jī)，采樣頻率最高可達(dá)25萬(wàn)次/s.

1 實(shí)驗(yàn)裝置與原理

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

利用PASCO實(shí)驗(yàn)裝置，由落體法測(cè)量質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的儀器如圖1所示.

由理論分析可知，質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

I=(M1+M2)R2.

(1)

其中：M1，M2是待測(cè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；R是質(zhì)點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離.用電子天平測(cè)量待測(cè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量M1，M2，用刻度尺測(cè)量轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離R，由(1)式計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值.

在該裝置中，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)體系受到2個(gè)力矩的作用：一個(gè)是繩子的拉力矩τ(τ=Tr，r為繞線(xiàn)塔輪的半徑，T=mg-ma)；另一個(gè)是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)體系受到的阻力矩τf，該阻力矩主要包括轉(zhuǎn)軸軸承處的摩擦力矩、滑輪軸的阻力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的空氣阻力矩.因此,已知懸掛物的質(zhì)量m、線(xiàn)加速度a和角加速度β，就可得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I.由上述分析可知：

(2)

利用PASCO裝置由下落法測(cè)量質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，具體步驟如下：(ⅰ)安裝并調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器，記錄塔輪半徑r，確定補(bǔ)償阻力矩的下落質(zhì)量m0.考慮阻力矩的存在，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償測(cè)量.確定繩子末端應(yīng)加放質(zhì)量m0為多少的物塊來(lái)克服阻力矩，保證物塊勻速下落.在位移-時(shí)間圖中，斜率為線(xiàn)速度v，若它為常數(shù)，顯然物體是勻速下落的，m0稱(chēng)為補(bǔ)償摩擦質(zhì)量.(ⅱ)測(cè)量該裝置安裝質(zhì)點(diǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.將質(zhì)量m′(其中m′=m0+m)約為50 g的懸掛物放在繩子末端，在PASCO裝置軟件上運(yùn)行靈敏滑輪測(cè)量程序，將線(xiàn)繞在中心軸的滑輪上,讓物體從桌沿落下，在物體開(kāi)始下落時(shí)采集數(shù)據(jù)，在落地前結(jié)束數(shù)據(jù)的采集.作出a-t和β-t關(guān)系曲線(xiàn)，2個(gè)曲線(xiàn)圖的截距分別為線(xiàn)加速度a和角加速度β,用(2)式即可求出裝置和質(zhì)點(diǎn)一起時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(ⅲ)測(cè)量裝置空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.把質(zhì)點(diǎn)從轉(zhuǎn)動(dòng)裝置中取走，裝置空載時(shí)重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟(ⅱ)，就可以測(cè)量出空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.裝置和質(zhì)點(diǎn)一起時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減去裝置空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就得到質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.[3]

2 測(cè)量與分析

2.1加速度a和角加速度β的選取

在PASCO實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行落體法測(cè)量質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量原實(shí)驗(yàn)中，物體下落的加速度a和角加速度β分別是加速度-時(shí)間和角加速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)圖的截距.然而這樣取得的線(xiàn)加速度a和角加速度β存在問(wèn)題.該P(yáng)ASCO實(shí)驗(yàn)裝置可以同時(shí)采集不同物理量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)際操作中對(duì)同一次轉(zhuǎn)動(dòng)下落運(yùn)動(dòng)，可以同時(shí)取得速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)圖和加速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)圖(見(jiàn)圖2).從圖2a可知，其曲線(xiàn)的斜率是加速度a，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.070 6 m/s2；由圖2b可知，其曲線(xiàn)的截距即為加速度a，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.094 3 m/s2.分析其原因可知，從速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)得到的斜率包括了整個(gè)運(yùn)行時(shí)間，且隨著線(xiàn)速度的增大其空氣阻力矩也變大，加速度會(huì)越來(lái)越小，由斜率得到的a就是其線(xiàn)性平均值.從圖2b可以看出，其線(xiàn)加速度a越來(lái)越小，斜率為負(fù)值，截距大于線(xiàn)加速度a的真實(shí)平均值.因此線(xiàn)加速度a的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該取速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)圖的斜率，不應(yīng)該取加速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)的截距.同樣的道理，角加速度β的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該取角速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)的斜率而不用角加速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)的截距.

圖2 加速度的2種選取方式

2.2改變m大小消除阻力矩對(duì)結(jié)果的影響

從理論上分析可知，懸掛物體m0的大小恰當(dāng)時(shí)，該物塊就會(huì)勻速下落，其力矩m0gr可以消除摩擦力矩對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)，即便只加上鉤碼(大約5 g)，也會(huì)使得下落的加速度存在.雖然用輕質(zhì)的塑料小桶加橡皮泥進(jìn)行反復(fù)操作可以測(cè)出恰當(dāng)?shù)膍0，但這樣操作會(huì)很繁瑣，況且實(shí)驗(yàn)裝置空載時(shí)的摩擦力矩與實(shí)驗(yàn)裝置上加有質(zhì)點(diǎn)的摩擦力矩是不同的，補(bǔ)償摩擦質(zhì)量m0也不相同.筆者在實(shí)驗(yàn)中采取在同一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中改變m的大小，進(jìn)行2次轉(zhuǎn)動(dòng)下落運(yùn)動(dòng)，第1次下落時(shí)懸掛物質(zhì)質(zhì)量設(shè)為m1,第2次下落時(shí)懸掛物的質(zhì)量設(shè)為m2，下落物質(zhì)質(zhì)量差Δm=m2-m1.測(cè)出對(duì)應(yīng)的a和β，并記錄塔輪半徑r,分別代入(2)式，即

(3)

可以消除阻力矩τf的影響,不需測(cè)量m0. 考慮到阻力矩τf不僅是轉(zhuǎn)軸軸承處的摩擦力矩、滑輪軸的阻力矩，還有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的空氣阻力矩，下落的速度不要太大[4-5].實(shí)驗(yàn)裝置空載時(shí),懸掛物通常選擇1個(gè)鉤碼就可以，其質(zhì)量m1約為5 g；實(shí)驗(yàn)裝置安裝有待測(cè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，懸掛物通常選擇1個(gè)鉤碼和1個(gè)約5 g的砝碼.

2.3測(cè)量結(jié)果及分析

設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量M1，M2分別為7.538 1×10-2，7.536 3×10-2kg.質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的半徑R為1.803×10-1m，利用(1)式計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4.897 6×10-3kg·m2.表1為物塊采用2次下落法利用(3)式測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0.表2為物塊采用2次下落法測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置安裝有質(zhì)點(diǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1，結(jié)合表1的結(jié)果，即可計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I.

表1 實(shí)驗(yàn)裝置空載時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量數(shù)據(jù)

表2 載有質(zhì)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量數(shù)據(jù)

從表3可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，2次下落物體的m改變值Δm越大，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相對(duì)誤差越大.下落物體質(zhì)量m越大，轉(zhuǎn)速加速度a越大，致使阻力矩τf變大[6]，要保證阻力矩τf在物塊2次下落過(guò)程中誤差越小，則懸掛物Δm最好控制在5～10 g為宜.

3 結(jié)語(yǔ)

在PASCO實(shí)驗(yàn)裝置上測(cè)量了質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，利用改變懸掛物的質(zhì)量大小，消除阻力矩對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，從而避免尋找補(bǔ)償摩擦質(zhì)量的操作.在對(duì)PASCO轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置取得的圖表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析中，加速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)圖的截距數(shù)據(jù)大于a的平均值，加速度應(yīng)采用速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)的斜率.同理，角加速度取角速度-時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)的斜率.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，要求滿(mǎn)足g?a，考慮減少操作對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，在實(shí)驗(yàn)中空載時(shí)懸掛物取約5 g或10 g為宜，安裝有待測(cè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)懸掛物取約10 g或15 g為宜.通過(guò)懸掛物的質(zhì)量差可計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的多組測(cè)量結(jié)果.與理論值比較發(fā)現(xiàn)，懸掛物的質(zhì)量差越小，阻力矩越接近，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確.

[1] 呂斯驊,段家忯.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001:106-109.

[2] 趙家鳳.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2002:77-80.

[3] 葉伏秋，鄔云文，廖立新，等.新編大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].湖南:湘潭大學(xué)出版社,2011:88-90.

[4] 王海林,司嶸嶸,李相銀.測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中引起測(cè)量值偏離的因素分析[J].物理實(shí)驗(yàn),2012,32(5):25-27.

[5] 羅春梅,張克全.物體下落的加速度a對(duì)測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的分析[J].丹東紡專(zhuān)學(xué)報(bào),1996(1):44-46.

[6] 袁樹(shù)青,范學(xué)東,樊林林.用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差分析[J].電子技術(shù),2013,22(5):63-65.

(責(zé)任編輯 陳炳權(quán))

MeasuringtheRotationalInertiaoftheParticlebythePASCORotatingExperimentalDevice

QUAN Xiu’e

(College of Physics and Mechanical & Electrical Engineering,Jishou University,Jishou 416000，Hunan China)

Taking advantage of the PASCO rotational experiment device,the author measured the inertia of a particle through the law of falling bodies.It is found that the falling acceleration a should be the slope of the v-t graph instead of the intercept of a-t graph;and for the same rotation system,the influence of resisting moment on the experiment is eliminated by twice changing the mass m of the hanging object.To reduce the error of resisting moment at the second falling,the smaller the difference Δmis,the more accurate the experimental results will be,and the minimum relative error will reach 0.54%.

the PASCO rotating experiment device;rotational inertia;falling acceleration;resisting momen

1007-2985(2014)06-0045-03

2014-08-10

湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目(13C750)

全秀娥(1969—)，女，湖南張家界人，吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，主要從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.

O313.3

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.012