張趙威，吳運(yùn)新,2，任 武

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410083；2.高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗室，長沙 410083)

混凝土泵車作為一種重要的建筑機(jī)械，近些年來得到越來越廣泛的應(yīng)用。在工程應(yīng)用中，泵車臂架的振動性能會直接影響施工質(zhì)量、人員安全和設(shè)備壽命。研究者們在臂架的振動性能上做了大量的工作，代表的有郭立新等[1-2]，其工作主要是基于有限元軟件研究臂架特定姿態(tài)下的振動相關(guān)性能及優(yōu)化；而后吳運(yùn)新[3]建立基于MSC. Partran/Nastran 的變姿態(tài)臂架振動分析系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)變姿態(tài)的振動分析，而這種基于有限元軟件方法計算臂架的振動特性時工作量過大、效率低，在臂架動力學(xué)分析以及車載監(jiān)測[4]中應(yīng)用存在困難。

傳遞矩陣法最初應(yīng)用在計算串聯(lián)轉(zhuǎn)子的振動特性上，發(fā)揮出其建模和計算優(yōu)勢，后經(jīng)不斷發(fā)展形成完善的理論體系。由于其計算量小、建模方便、無需系統(tǒng)總體動力學(xué)方程、效率高等優(yōu)點(diǎn)，被多個領(lǐng)域的學(xué)者們應(yīng)用在許多重要機(jī)械系統(tǒng)工程問題上[5-9]。

為能夠快速、高效的計算臂架任意姿態(tài)固有頻率，本文提出一種數(shù)值方法。首先基于傳遞矩陣法計算臂架力學(xué)模型，以快速計算臂架任意固定姿態(tài)的固有頻率；而后，通過多元函數(shù)擬合[10-11]臂架姿態(tài)與固有頻率，得到固有頻率關(guān)于姿態(tài)的數(shù)值計算公式[12]。并對文中力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，以及數(shù)值方法的計算的效果進(jìn)行相關(guān)研究。

1 力學(xué)模型

混凝土泵車臂架結(jié)構(gòu)主要包含長臂、連桿以及油缸，忽略其較小的幾何特征得到結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。臂架結(jié)構(gòu)較為細(xì)長，而且由多個結(jié)構(gòu)相似六連桿機(jī)構(gòu)部分串聯(lián)而成，因此將臂架劃分成多個子結(jié)構(gòu)能夠有效的提高建模效率。

1. 固定平臺; 2.液壓缸Ⅰ; 3.臂桿Ⅰ; 4.液壓缸Ⅱ; 5.連桿 Ⅰ-Ⅱ; 6.臂桿 Ⅱ; 7. 液壓缸 Ⅲ; 8.連桿 Ⅱ-Ⅲ; 9.臂桿 Ⅲ; 10. 液壓缸 Ⅳ; 11.連桿 Ⅲ-Ⅳ; 12.臂桿 Ⅳ

模型的建立流程：首先將臂架系統(tǒng)分解為兩種子結(jié)構(gòu)，而后進(jìn)一步化分為體元件和鉸元件，用矩陣表示各元件的力學(xué)特性，對這些元件傳遞矩陣按系統(tǒng)的聯(lián)接關(guān)系進(jìn)行組合與拼裝而獲得子結(jié)構(gòu)傳遞方程和傳遞矩陣，而后進(jìn)一步拼裝得到系統(tǒng)總傳遞方程和總傳遞矩陣。最后利用邊界條件，得到該系統(tǒng)的動力學(xué)特性。模型中將長臂部分作為彈性梁元件，連桿、油缸及活塞桿作為剛體元件，液壓缸的油液等效為等剛度的彈簧鉸元件計算[13]。

文中臂架為平面力學(xué)模型，定義各聯(lián)接點(diǎn)狀態(tài)矢量均為：

Zi,j=[XYΘzMzQxQy]T

在模態(tài)坐標(biāo)系下，狀態(tài)矢量中X,Y為線位移；Θz為角位移；Mz為內(nèi)力矩；Qx,Qy為內(nèi)力。

1.1 子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣

根據(jù)臂架的結(jié)構(gòu)特征將臂架劃分為兩種子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B，其簡圖如圖2、3所示。

圖2 子結(jié)構(gòu)A簡圖

子結(jié)構(gòu)A中定義0為子結(jié)構(gòu)輸入端，6為子結(jié)構(gòu)輸出端，1、2、4為剛性體元件，3為平面彈簧鉸，5為等截面歐拉梁元件，則綜合元件的傳遞方程可得式(1), 其中各元件的傳遞矩陣Ui見文獻(xiàn)[5]。

(1)

由交叉點(diǎn)處的位移和受力關(guān)系可得：

(2)

由式(3)和式(2)可得：

(3)

式中：

E3=[0 0 0 1 0 0]

(4)

因此由式(3)可得傳遞方程：

UAZA=0

(5)

式(5)中子結(jié)構(gòu)A的傳遞矩陣UA以及狀態(tài)矢量ZA：

圖3 子結(jié)構(gòu)B簡圖

子結(jié)構(gòu)B中0為子結(jié)構(gòu)輸入端，10為子結(jié)構(gòu)輸出端，2、3、5、7、8、9元件為剛性元件，6元件為平面彈簧鉸，1、4元件為等截面歐拉梁元件。同子結(jié)構(gòu)A的推導(dǎo)方式，根據(jù)各元件之間的聯(lián)接關(guān)系可以得到傳遞方程如式(2)，即可以得到子結(jié)構(gòu)B的傳遞矩陣UB以及狀態(tài)矢量ZB。

(6)

式中

U1,3=U4U3;U1,5=U4E1U9

U2,1=E4U2U1;U2,4=E4U2E1U8

U3,2=-E5U7U6U5

U5,2=-E2U7U6U5

U6,2=E3U7U6U5;U7,1=E2U1

U7,4=-E2U8;U8,3=E2U3

U8,5=-E2U9;U9,4=E3U8

U10,5=E3U9;U11,1=E3U2U1

U11,4=E3U2E1U8

1.2 總傳遞矩陣

臂架是由一個子結(jié)構(gòu)A和N-1個子結(jié)構(gòu)B(本文模型N=4)串聯(lián)拼接組成，因此子結(jié)構(gòu)A的Z5,6與子結(jié)構(gòu)B的Z0, 1,Z0, 5形成聯(lián)接點(diǎn)，子結(jié)構(gòu)B的Z9, 10與其后同樣的子結(jié)構(gòu)B′的Z0, 1,Z0, 5形成新的聯(lián)接點(diǎn)，根據(jù)聯(lián)接點(diǎn)的位移和受力關(guān)系可以得到臂架總傳遞方程如式(3)，其中臂架系統(tǒng)總傳遞矩陣Uall和總特征矢量Zall。

UallZall=0

(7)

式中UA_B,UB_A,UB_B′,UB′_B矩陣如下所示：

UA_B=[O6×12I6]

UB_A=[I6E1I6O6×24]

UB_B’=[O6×30I6]

UB’_B=[I6×6E1I6O6×24]

由邊界條件知，邊界狀態(tài)矢量如下：

子結(jié)構(gòu)A處邊界狀態(tài)矢量：

非末端子結(jié)構(gòu)B(編號記為i)狀態(tài)矢量為：

末端子結(jié)構(gòu)B(編號記為N)狀態(tài)矢量為：

(8)

通過數(shù)值計算的方式求解，預(yù)置有解區(qū)間用二分法逼近計算滿足式(8)容差范圍(本文容差設(shè)為-1e-7～1e-7)的(值，即可得臂架某一固定姿態(tài)下任一階次的固有頻率。

為計算其他任意固定姿態(tài)的固有頻率，需重新修改總傳遞矩陣。模型中傳遞矩陣的連接方式不變，僅元件的傳遞矩陣因元件的角度改變發(fā)生變化，其余均不變。各個元件的旋轉(zhuǎn)角度可由臂架的姿態(tài)角通過幾何解析得到[14]，而后將傳遞矩陣以該轉(zhuǎn)角進(jìn)行坐標(biāo)變換，如式(9)。計算即可得新姿態(tài)下的傳遞矩陣以及傳遞方程。從而得到臂架任意姿態(tài)的任意階固有頻率fk(θ1,θ2,θ3,θ4) (k=1, 2,…)，其中θi為各臂架相對水平面的角度。

(9)

1.3 模型仿真與驗證

以某型號37 m四節(jié)臂泵車臂架為原型，分別使用Matlab編寫的傳遞矩陣法程序和使用ANSYS軟件計算的臂架模型進(jìn)行計算，并對比分析前5階固有頻率。

其中有限元模型，在表中表示為fFEM。模型中的臂桿等承受彎曲載荷的元件均為Beam單元，其中剛性元件的材料彈性模量設(shè)置為所選材料彈性模量的100倍，以達(dá)到近似剛性的效果；油缸及各個連桿元件使用Link單元，其中油缸的剛度體現(xiàn)在單元材料的彈性模量上；光滑鉸則用相鄰節(jié)點(diǎn)釋放轉(zhuǎn)動自由度連接。

表1 力學(xué)模型相對有限元模型計算結(jié)果誤差分析

對比計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，傳遞矩陣法的計算結(jié)果與ANSYS的計算結(jié)果非常接近，除個別較高頻的誤差超過0.5%，其余均處于較小的誤差范圍，尤其是較重視的一階固有頻率更為精準(zhǔn)，從而證明了傳遞矩陣法在臂架動力學(xué)計算的準(zhǔn)確性，由姿態(tài)變換仍能保證較高的計算精度，說明該模型的可靠性。并且該模型效率很高，使用普通微機(jī)計算一個固有頻率值耗時約為0.03～0.05 s(精度為1e-7)，遠(yuǎn)優(yōu)于有限元軟件的計算效率，使得大規(guī)模計算成為可能。

2 擬合回歸方程

臂架在運(yùn)動過程中姿態(tài)變化幅度大，而其固有頻率跟姿態(tài)有著很密切的對應(yīng)關(guān)系，因而可以假想存在一個函數(shù)如式(10)，使得對于任意姿態(tài)都可快速計算其固有頻率值。

f=Fk(θ1,θ2,θ3,θ4)

(10)

因而可使用數(shù)值擬合的方法獲取一個工程上適用的固有頻率計算公式，使得輸入任意姿態(tài)角度即可得到相應(yīng)的固有頻率。

介于在臂架姿態(tài)變換中，是相鄰臂架之間的夾角對固有頻率起到直接作用，所以公式擬合時采用α1,α2,α3,α4作為直接變量，其中αi,θi之間的關(guān)系如式(11)，將f=Fk(θi)關(guān)于αi的函數(shù)方程寫為式(12)：

α1=θ1;α2=θ2-θ1

α3=θ3-θ3;α4=θ4-θ3

(11)

f=Gk(α1,α2,α3,α4)

(12)

由于直接進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的計算量太大，而且會有一些頻率值隨著αi的變化產(chǎn)生突變，直接擬合效果較差，因而將函數(shù)分成三部分進(jìn)行推算如式(13)：

f=Gk(α1,α2,α3,α4)=fk,0+

(13)

式中：fk,0和αi均為0時的基姿態(tài)固有頻率；Gk,i(αi)是單一角度變量下的增量函數(shù)；δk(α1,α2,α3,α4)是補(bǔ)償函數(shù)。

2.1 計算Gk,i (αi)各項系數(shù)

以α1影響的一階固有頻率增量函數(shù)G1,1(α1)為例，保持α2,α3,α4等于零，α1在0～π/2范圍內(nèi)取n(n>50)個點(diǎn)，可以得到n個離散點(diǎn)，對這些點(diǎn)進(jìn)行多項式擬合[15]并去除基項，即可得相對于基量的變化量：

(14)

圖4 G1,1(α1)離散點(diǎn)與曲線

(15)

圖5 G1,4 (α4)離散點(diǎn)與曲線(β1,4=1.134)

突變的情況一般為分為兩段函數(shù)，式中βk,i為分段函數(shù)的分界點(diǎn)。經(jīng)過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)此分界點(diǎn)的角度為臂架之間的死角，其中α3,α4影響較為明顯，圖5為G1,4(α4)的擬合曲線，在有突變的情況下得到的擬合曲線。將四種角度的增量函數(shù)相加，即可得到臂架任意姿態(tài)第k階固有頻率的增量項∑Fk,i(αi)。

2.2 計算δk(α1, α2, α3, α4)各項系數(shù)

增量函數(shù)的疊加所得公式會產(chǎn)生誤差較大，所以在公式前兩項推算之后添加一個補(bǔ)償函數(shù)，意義為：

(16)

使αi在0～π/2中每項變量均取m個點(diǎn)，共計m4種姿態(tài)進(jìn)行二次多項式回歸，多項式的一般形式為：

(l=9,…,15)

(17)

通過這m4個點(diǎn)使用最小二乘擬合，即可得到臂架任意姿態(tài)第k階固有頻率的補(bǔ)償項δk(α1,α2,α3,α4)。

由上述各項系數(shù)及式(11)，帶入式(16)即可得到f=Fk(θ1,θ2,θ3,θ4)，臂架任意姿態(tài)第k階固有頻率的計算值。為評估擬合產(chǎn)生的偏差，對回歸多項式與力學(xué)模型的計算結(jié)果任取10 000種姿態(tài)進(jìn)行誤差統(tǒng)計，結(jié)果如表2，其中η=|fk-Fk|/fk。

表2 經(jīng)驗公式相對力學(xué)模型計算結(jié)果誤差統(tǒng)計

從表2中可以看出回歸公式與力學(xué)模型的誤差絕大多數(shù)都小于3%，一階頻率的誤差更小，所以使用這種擬合方式可以保留力學(xué)模型的計算精度，同時再一次大幅提高求解固有頻率的效率。

3 結(jié) 論

(1) 使用該方法得到的公式計算臂架任意姿態(tài)的固有頻率，可以在保證計算結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，極大地降低求解臂架固有頻率的計算量，提高計算效率，使得車載固有頻率計算成為可能；

(2) 該多元函數(shù)的混合擬合方法，可以解決函數(shù)擬合中的突變問題，同時保證了回歸公式的計算精度。

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