一、 實(shí)驗(yàn)主題

基于二次根式知識的拼圖實(shí)驗(yàn).

二、 問題背景

幾何圖形的分割和剪拼與人們?nèi)粘Ｉ铌P(guān)系密切.將一塊或幾塊形狀不合要求的材料通過巧妙的分割，拼成形狀合適的成品，具有實(shí)用價(jià)值.而解決問題的過程，既動腦又動手，可以鍛煉我們的思維，提高實(shí)踐能力和邏輯思維，還會給我們帶來成功的喜悅.

三、 探究意義

之前，我們通過對“勾股定理”的學(xué)習(xí)認(rèn)識了無理數(shù)，學(xué)會了在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)，感受了人類認(rèn)識世界、改變世界的歷程.通過對“二次根式”的學(xué)習(xí)，我們又進(jìn)一步加深了對“二次根式”性質(zhì)的認(rèn)識，而通過本次探究活動，我們將利用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)之趣.

四、 課題介紹

本次活動分為四個層次. 層次一：將兩個相同的正方形，剪、拼成一個大的正方形. 層次二：將幾個常見圖形剪、拼成一個大正方形. 層次三：畫一個圖形，并將之剪、拼成一個大正方形. 層次四：通過拼圖尋找一般規(guī)律，并能解決簡單的問題.

五、 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

剪刀、膠水、正方形紙板2張、網(wǎng)格紙若干張以及A4紙若干張.

六、 實(shí)驗(yàn)方法

合作交流型學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、概括性學(xué)習(xí)等方法.

七、 實(shí)驗(yàn)要求

1. 回顧八年級關(guān)于勾股定理的相關(guān)知識，回顧在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)的方法.（圖1）

2. 體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，逐步學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析、解決問題.

3. 能夠運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識解決幾何分割、剪拼的相關(guān)問題.

4. 積極參與數(shù)學(xué)活動，能夠提出自己的想法，參與對活動的評價(jià)過程，提高歸納和說理能力.

5. 培養(yǎng)不怕困難的品質(zhì)，發(fā)展合作意識和科學(xué)求知的精神.

八、 階段性實(shí)驗(yàn)

1. 活動一：思考—操作

（1） 如圖2，兩塊邊長為1的小正方形紙板，請你剪一剪，拼成一塊大的正方形，貼在下邊的方框中.

【活動說明】作為本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的第一個活動，該活動中出現(xiàn)的問題比較簡單，主要是讓學(xué)生積累初步的活動經(jīng)驗(yàn)，為下面的活動打下基礎(chǔ). 運(yùn)用二次根式的性質(zhì)易知兩個正方形的對角線長為，而（）2的結(jié)果是2，這正是拼成的大正方形的面積，沿著對角線剪開，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所準(zhǔn)備的網(wǎng)格紙中，分別按圖3所示進(jìn)行涂色，并將涂色部分的圖形剪出來，再將它們逐一剪、拼成正方形.

【活動說明】活動（2）的內(nèi)容建構(gòu)在活動（1）的活動經(jīng)驗(yàn)之上.本活動沒有限定裁剪方法，故靈活性比較強(qiáng)，目的在于拓展同學(xué)們的思維.通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)上述4幅圖片中，陰影部分的面積之和都等于5，所以，我們只需將圖形拼成邊長為的正方形即可.

（3） 如圖4，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1. 請?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫圖、裁剪、拼圖.

①畫出從點(diǎn)A出發(fā)的一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長度為2.

②畫出以第①小題中的AB為邊的一個等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù).

③從點(diǎn)A出發(fā)進(jìn)行適當(dāng)裁剪，拼出一個面積為8的正方形，并貼在下面的方框中.

【活動說明】上述問題是對二次根式知識的綜合運(yùn)用，通過前兩個活動的操作，同學(xué)們已經(jīng)積累了一定的切割和拼接經(jīng)驗(yàn)，因此，上述問題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識，初步形成的活動體會會進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力.

2. 活動二：操作——概括

（1） 圖5是由邊長為1的n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形.

它們經(jīng)過適當(dāng)分割（指只用剪刀沿直線剪開，不借助其他任何工具）后都能拼成一個大正方形，其分割線（圖5中實(shí)線）的最少條數(shù)與小正方形的個數(shù)之間關(guān)系見下表，請?zhí)顚懴卤碇械目瞻滋帲?/p>

（2） 如圖6，邊長為1的5個連續(xù)小正方形所組成的圖案按（1）中的要求經(jīng)過4次分割后能拼成一個大正方形，其拼成后的圖形見方格紙.

邊長為1的10個連續(xù)小正方形組成的圖形（如圖7），是否也能按照（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？如果能，請?jiān)趫D7中畫出分割線，并將分割后拼成的大正方形拼出來，粘在圖7中.

（3） 你是否還能舉出一種非n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形，按（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？試試看！

【活動說明】活動二的三個問題分為三個層次. 層次一：通過觀察和對比，明確n2個小正方形拼成大正方形需要分割線的最少條數(shù).層次二：通過觀察圖7，讓前面的活動經(jīng)驗(yàn)和問題（2）的內(nèi)容產(chǎn)生共鳴，思維得到碰撞，從而產(chǎn)生解決圖7中問題的方法.層次三：通過概括和總結(jié)，結(jié)合活動經(jīng)驗(yàn)，尋找富有個性的解決問題的方法，尋找一般規(guī)律，培養(yǎng)化歸思想，形成數(shù)形結(jié)合的解題意識.活動中，同學(xué)們通過小組合作，采用比較和歸納的方法，通過逐步嘗試，完成了對解決一般問題方法的總結(jié)，提高了概括能力，提升了符號意識.

【活動收獲】

在本節(jié)課的探究過程中，你有哪些感受與收獲？回顧你的探究心路歷程，請將你的探究經(jīng)驗(yàn)、感悟和發(fā)現(xiàn)寫成數(shù)學(xué)小論文.

九、 研究論文

【活動說明】撰寫數(shù)學(xué)小論文就是以“數(shù)學(xué)寫作活動”來指導(dǎo)學(xué)習(xí)，也可稱為“反思小文章”.它是同學(xué)們將所學(xué)知識、技能、經(jīng)驗(yàn)、思想方法進(jìn)行“內(nèi)化”的一種過程，對理解數(shù)學(xué)概念、表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識起著很重要的作用.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）endprint

一、 實(shí)驗(yàn)主題

基于二次根式知識的拼圖實(shí)驗(yàn).

二、 問題背景

幾何圖形的分割和剪拼與人們?nèi)粘Ｉ铌P(guān)系密切.將一塊或幾塊形狀不合要求的材料通過巧妙的分割，拼成形狀合適的成品，具有實(shí)用價(jià)值.而解決問題的過程，既動腦又動手，可以鍛煉我們的思維，提高實(shí)踐能力和邏輯思維，還會給我們帶來成功的喜悅.

三、 探究意義

之前，我們通過對“勾股定理”的學(xué)習(xí)認(rèn)識了無理數(shù)，學(xué)會了在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)，感受了人類認(rèn)識世界、改變世界的歷程.通過對“二次根式”的學(xué)習(xí)，我們又進(jìn)一步加深了對“二次根式”性質(zhì)的認(rèn)識，而通過本次探究活動，我們將利用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)之趣.

四、 課題介紹

本次活動分為四個層次. 層次一：將兩個相同的正方形，剪、拼成一個大的正方形. 層次二：將幾個常見圖形剪、拼成一個大正方形. 層次三：畫一個圖形，并將之剪、拼成一個大正方形. 層次四：通過拼圖尋找一般規(guī)律，并能解決簡單的問題.

五、 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

剪刀、膠水、正方形紙板2張、網(wǎng)格紙若干張以及A4紙若干張.

六、 實(shí)驗(yàn)方法

合作交流型學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、概括性學(xué)習(xí)等方法.

七、 實(shí)驗(yàn)要求

1. 回顧八年級關(guān)于勾股定理的相關(guān)知識，回顧在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)的方法.（圖1）

2. 體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，逐步學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析、解決問題.

3. 能夠運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識解決幾何分割、剪拼的相關(guān)問題.

4. 積極參與數(shù)學(xué)活動，能夠提出自己的想法，參與對活動的評價(jià)過程，提高歸納和說理能力.

5. 培養(yǎng)不怕困難的品質(zhì)，發(fā)展合作意識和科學(xué)求知的精神.

八、 階段性實(shí)驗(yàn)

1. 活動一：思考—操作

（1） 如圖2，兩塊邊長為1的小正方形紙板，請你剪一剪，拼成一塊大的正方形，貼在下邊的方框中.

【活動說明】作為本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的第一個活動，該活動中出現(xiàn)的問題比較簡單，主要是讓學(xué)生積累初步的活動經(jīng)驗(yàn)，為下面的活動打下基礎(chǔ). 運(yùn)用二次根式的性質(zhì)易知兩個正方形的對角線長為，而（）2的結(jié)果是2，這正是拼成的大正方形的面積，沿著對角線剪開，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所準(zhǔn)備的網(wǎng)格紙中，分別按圖3所示進(jìn)行涂色，并將涂色部分的圖形剪出來，再將它們逐一剪、拼成正方形.

【活動說明】活動（2）的內(nèi)容建構(gòu)在活動（1）的活動經(jīng)驗(yàn)之上.本活動沒有限定裁剪方法，故靈活性比較強(qiáng)，目的在于拓展同學(xué)們的思維.通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)上述4幅圖片中，陰影部分的面積之和都等于5，所以，我們只需將圖形拼成邊長為的正方形即可.

（3） 如圖4，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1. 請?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫圖、裁剪、拼圖.

①畫出從點(diǎn)A出發(fā)的一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長度為2.

②畫出以第①小題中的AB為邊的一個等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù).

③從點(diǎn)A出發(fā)進(jìn)行適當(dāng)裁剪，拼出一個面積為8的正方形，并貼在下面的方框中.

【活動說明】上述問題是對二次根式知識的綜合運(yùn)用，通過前兩個活動的操作，同學(xué)們已經(jīng)積累了一定的切割和拼接經(jīng)驗(yàn)，因此，上述問題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識，初步形成的活動體會會進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力.

2. 活動二：操作——概括

（1） 圖5是由邊長為1的n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形.

它們經(jīng)過適當(dāng)分割（指只用剪刀沿直線剪開，不借助其他任何工具）后都能拼成一個大正方形，其分割線（圖5中實(shí)線）的最少條數(shù)與小正方形的個數(shù)之間關(guān)系見下表，請?zhí)顚懴卤碇械目瞻滋帲?/p>

（2） 如圖6，邊長為1的5個連續(xù)小正方形所組成的圖案按（1）中的要求經(jīng)過4次分割后能拼成一個大正方形，其拼成后的圖形見方格紙.

邊長為1的10個連續(xù)小正方形組成的圖形（如圖7），是否也能按照（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？如果能，請?jiān)趫D7中畫出分割線，并將分割后拼成的大正方形拼出來，粘在圖7中.

（3） 你是否還能舉出一種非n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形，按（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？試試看！

【活動說明】活動二的三個問題分為三個層次. 層次一：通過觀察和對比，明確n2個小正方形拼成大正方形需要分割線的最少條數(shù).層次二：通過觀察圖7，讓前面的活動經(jīng)驗(yàn)和問題（2）的內(nèi)容產(chǎn)生共鳴，思維得到碰撞，從而產(chǎn)生解決圖7中問題的方法.層次三：通過概括和總結(jié)，結(jié)合活動經(jīng)驗(yàn)，尋找富有個性的解決問題的方法，尋找一般規(guī)律，培養(yǎng)化歸思想，形成數(shù)形結(jié)合的解題意識.活動中，同學(xué)們通過小組合作，采用比較和歸納的方法，通過逐步嘗試，完成了對解決一般問題方法的總結(jié)，提高了概括能力，提升了符號意識.

【活動收獲】

在本節(jié)課的探究過程中，你有哪些感受與收獲？回顧你的探究心路歷程，請將你的探究經(jīng)驗(yàn)、感悟和發(fā)現(xiàn)寫成數(shù)學(xué)小論文.

九、 研究論文

【活動說明】撰寫數(shù)學(xué)小論文就是以“數(shù)學(xué)寫作活動”來指導(dǎo)學(xué)習(xí)，也可稱為“反思小文章”.它是同學(xué)們將所學(xué)知識、技能、經(jīng)驗(yàn)、思想方法進(jìn)行“內(nèi)化”的一種過程，對理解數(shù)學(xué)概念、表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識起著很重要的作用.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）endprint

一、 實(shí)驗(yàn)主題

基于二次根式知識的拼圖實(shí)驗(yàn).

二、 問題背景

幾何圖形的分割和剪拼與人們?nèi)粘Ｉ铌P(guān)系密切.將一塊或幾塊形狀不合要求的材料通過巧妙的分割，拼成形狀合適的成品，具有實(shí)用價(jià)值.而解決問題的過程，既動腦又動手，可以鍛煉我們的思維，提高實(shí)踐能力和邏輯思維，還會給我們帶來成功的喜悅.

三、 探究意義

之前，我們通過對“勾股定理”的學(xué)習(xí)認(rèn)識了無理數(shù)，學(xué)會了在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)，感受了人類認(rèn)識世界、改變世界的歷程.通過對“二次根式”的學(xué)習(xí)，我們又進(jìn)一步加深了對“二次根式”性質(zhì)的認(rèn)識，而通過本次探究活動，我們將利用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)之趣.

四、 課題介紹

本次活動分為四個層次. 層次一：將兩個相同的正方形，剪、拼成一個大的正方形. 層次二：將幾個常見圖形剪、拼成一個大正方形. 層次三：畫一個圖形，并將之剪、拼成一個大正方形. 層次四：通過拼圖尋找一般規(guī)律，并能解決簡單的問題.

五、 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

剪刀、膠水、正方形紙板2張、網(wǎng)格紙若干張以及A4紙若干張.

六、 實(shí)驗(yàn)方法

合作交流型學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、概括性學(xué)習(xí)等方法.

七、 實(shí)驗(yàn)要求

1. 回顧八年級關(guān)于勾股定理的相關(guān)知識，回顧在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)的方法.（圖1）

2. 體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，逐步學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析、解決問題.

3. 能夠運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識解決幾何分割、剪拼的相關(guān)問題.

4. 積極參與數(shù)學(xué)活動，能夠提出自己的想法，參與對活動的評價(jià)過程，提高歸納和說理能力.

5. 培養(yǎng)不怕困難的品質(zhì)，發(fā)展合作意識和科學(xué)求知的精神.

八、 階段性實(shí)驗(yàn)

1. 活動一：思考—操作

（1） 如圖2，兩塊邊長為1的小正方形紙板，請你剪一剪，拼成一塊大的正方形，貼在下邊的方框中.

【活動說明】作為本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的第一個活動，該活動中出現(xiàn)的問題比較簡單，主要是讓學(xué)生積累初步的活動經(jīng)驗(yàn)，為下面的活動打下基礎(chǔ). 運(yùn)用二次根式的性質(zhì)易知兩個正方形的對角線長為，而（）2的結(jié)果是2，這正是拼成的大正方形的面積，沿著對角線剪開，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所準(zhǔn)備的網(wǎng)格紙中，分別按圖3所示進(jìn)行涂色，并將涂色部分的圖形剪出來，再將它們逐一剪、拼成正方形.

【活動說明】活動（2）的內(nèi)容建構(gòu)在活動（1）的活動經(jīng)驗(yàn)之上.本活動沒有限定裁剪方法，故靈活性比較強(qiáng)，目的在于拓展同學(xué)們的思維.通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)上述4幅圖片中，陰影部分的面積之和都等于5，所以，我們只需將圖形拼成邊長為的正方形即可.

（3） 如圖4，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1. 請?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫圖、裁剪、拼圖.

①畫出從點(diǎn)A出發(fā)的一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長度為2.

②畫出以第①小題中的AB為邊的一個等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù).

③從點(diǎn)A出發(fā)進(jìn)行適當(dāng)裁剪，拼出一個面積為8的正方形，并貼在下面的方框中.

【活動說明】上述問題是對二次根式知識的綜合運(yùn)用，通過前兩個活動的操作，同學(xué)們已經(jīng)積累了一定的切割和拼接經(jīng)驗(yàn)，因此，上述問題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識，初步形成的活動體會會進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力.

2. 活動二：操作——概括

（1） 圖5是由邊長為1的n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形.

它們經(jīng)過適當(dāng)分割（指只用剪刀沿直線剪開，不借助其他任何工具）后都能拼成一個大正方形，其分割線（圖5中實(shí)線）的最少條數(shù)與小正方形的個數(shù)之間關(guān)系見下表，請?zhí)顚懴卤碇械目瞻滋帲?/p>

（2） 如圖6，邊長為1的5個連續(xù)小正方形所組成的圖案按（1）中的要求經(jīng)過4次分割后能拼成一個大正方形，其拼成后的圖形見方格紙.

邊長為1的10個連續(xù)小正方形組成的圖形（如圖7），是否也能按照（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？如果能，請?jiān)趫D7中畫出分割線，并將分割后拼成的大正方形拼出來，粘在圖7中.

（3） 你是否還能舉出一種非n2（n為大于1的整數(shù)）個連續(xù)小正方形所組成的圖形，按（1）中的要求經(jīng)過適當(dāng)分割后拼成一個大正方形呢？試試看！

【活動說明】活動二的三個問題分為三個層次. 層次一：通過觀察和對比，明確n2個小正方形拼成大正方形需要分割線的最少條數(shù).層次二：通過觀察圖7，讓前面的活動經(jīng)驗(yàn)和問題（2）的內(nèi)容產(chǎn)生共鳴，思維得到碰撞，從而產(chǎn)生解決圖7中問題的方法.層次三：通過概括和總結(jié)，結(jié)合活動經(jīng)驗(yàn)，尋找富有個性的解決問題的方法，尋找一般規(guī)律，培養(yǎng)化歸思想，形成數(shù)形結(jié)合的解題意識.活動中，同學(xué)們通過小組合作，采用比較和歸納的方法，通過逐步嘗試，完成了對解決一般問題方法的總結(jié)，提高了概括能力，提升了符號意識.

【活動收獲】

在本節(jié)課的探究過程中，你有哪些感受與收獲？回顧你的探究心路歷程，請將你的探究經(jīng)驗(yàn)、感悟和發(fā)現(xiàn)寫成數(shù)學(xué)小論文.

九、 研究論文

【活動說明】撰寫數(shù)學(xué)小論文就是以“數(shù)學(xué)寫作活動”來指導(dǎo)學(xué)習(xí)，也可稱為“反思小文章”.它是同學(xué)們將所學(xué)知識、技能、經(jīng)驗(yàn)、思想方法進(jìn)行“內(nèi)化”的一種過程，對理解數(shù)學(xué)概念、表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識起著很重要的作用.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）endprint